Übungsaufgaben zur stochastischen Unabhängigkeit

Beispiele

Beispiel 1

Bei einer Untersuchung bezüglich Augen- und Haarfarbe unter \(1000\) Personen waren \(200\) Personen rothaarig, \(400\) hatten grüne Augen. \(80\) Personen waren rothaarig und hatten auch grüne Augen.

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Ereignisse \(A\): „Person hat grüne Augen“ und \(B\): „Person hat rote Haare“ stochastisch abhängig sind.

Zuerst muss man die folgenden Wahrscheinlichkeiten berechnen:

\( P(A) = \frac {400} {1000}  =0,4 \)

\( P(B) = \frac {200} {1000}  =0,2 \)

\( P(A∩B) = \frac {80} {1000}  =0,08 \)

Nun muss man noch die Definition der stochastischen Unabhängigkeit prüfen:

\( P(A) \cdot P(B)=0,4 \cdot 0,2 =0,08=P(A∩B) \)

Damit folgt: Die Ereignisse \(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig.

Beispiel 2

Eine Reisegruppe besteht aus \(18\) Damen und \(4\) Herren. \(10\) Damen und ein Herr wollen eine Tanzveranstaltung besuchen.

Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Ereignisse \(D\): „Eine zufällig aus der Reisegruppe ausgewählte Person ist eine Dame“ und \(T\): „Eine zufällig aus der Reisegruppe ausgewählte Person will die Tanzveranstaltung besuchen“ stochastisch unabhängig sind.

Zuerst muss man die folgenden Wahrscheinlichkeiten berechnen:

\( P(D) = \frac {18} {22} = \frac {9} {11} \)

\( P(T) = \frac {11} {22} = \frac {1} {2} \)

\( P(D∩T) = \frac {10} {22} = \frac {5} {11} \)

Nun muss man noch die Definition der stochastischen Unabhängigkeit prüfen:

\( P(D) \cdot P(T)=\frac {9} {11} \cdot \frac {1} {2} =\frac {9} {22} ≠ \frac {5} {11} =P(D∩T) \)

Damit folgt: Die Ereignisse \(D\) und \(T\) sind stochastisch abhängig.

Übungsaufgaben

Übungsaufgabe 1

In einer Schule gibt es \(64\%\) der männliche Schüler. Unter allen Schülerinnen und Schülern befinden sich \(8\%\) Linkshänder. Eine linkshändig schreibende Schülerin trifft man mit einer Wahrscheinlichkeit von \(2\%\) an.

Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Ereignisse \(M\): „Eine zufällig ausgewählte Person ist männlich“ und \(L\): „Eine zufällig ausgewählte Person ist Linkshänder“ stochastisch unabhängig sind.

Übungsaufgabe 2

Es werden zwei Laplace-Münzen geworfen.

Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Ereignisse \(A\): „Es fällt höchstens einmal Zahl“ und \(B\): „Jede Seite erscheint wenigstens einmal“ stochastisch unabhängig sind.

Übungsaufgabe 3

Nun werden drei Laplace-Münzen geworfen. Überprüfen Sie die Ereignisse \(A\) und \(B\) aus Übungsaufgabe 2 rechnerisch auf stochastische Unabhängigkeit.

Übungsaufgabe 4

In einer Produktion werden unabhängig voneinander Schrauben und Schraubenmuttern hergestellt. Die Wahrscheinlichkeit für eine defekte Schraube beträgt \(0,05\) und für eine fehlerhafte Mutter \(0,01\). Aus der Produktion werden eine Schraube und eine Mutter entnommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Teile zusammenpassen.

Im Text sind die folgenden Wahrscheinlichkeiten gegeben:

\( P(M)=0,64 \)

\( P(L)=0,08 \)

\( P(L ∩ \overline {M} )=0,02 \)

Zur Bestimmung der nötigen Wahrscheinlichkeiten ist hier eine Vierfeldertafel praktisch:

\[\begin{array} {c|c}  &  A  & \overline {M}  & Summe \\ \hline  L  & 0,06 & 0,02 & 0,08 \\ \hline \overline {L}  & 0,58 & 0,34 & 0,92 \\ \hline Summe & 0,64 & 0,36 & 1 \end{array}\]

Aus der Vierfeldertafel lässt sich ablesen: \( P(L∩M)=0,06 \)

\( P(L) \cdot P(M)=0,08 \cdot 0,64 =0,0512≠0,06=P(L∩M) \)

Somit sind die Ereignisse \(L\) und \(M\) stochastisch abhängig.

\( \Omega=\{KK;KZ;ZK;ZZ\} \)

\( A=\{KK;KZ;ZK\} \)

\( B=\{KZ;ZK\} \)

Damit ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:

\( P(A) = 0,75 \)

\( P(B) = 0,5 \)

\( A ∩ B=\{KZ;ZK\} \)

\( P(A) \cdot P(B)=0,75 \cdot 0,5 =0,375≠0,5=P(A∩B) \)

Die Ereignisse \(A\) und \(B\) sind stochastisch abhängig.

\( \Omega=\{KKK;KKZ;KZK;ZKK;ZZK; ZKZ;KZZ;ZZZ\} \)

\( A=\{KKK;KKZ;KZK;ZKK\} \)

\( B=\{KKZ;KZK;ZKK;ZZK;ZKZ;KZZ\} \)

Damit ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:

\( P(A) = 0,5 \)

\( P(B) = 0,75 \)

\( A ∩ B=\{KKZ;KZK;ZKK\} \)

\( P(A) \cdot P(B)=0,5 \cdot 0,75 =0,375=P(A∩B) \)

Die Ereignisse \(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig.

Da Schraube und Mutter voneinander unabhängig hergestellt werden, kann man davon ausgehen, dass die Ereignisse \(S\): „Schraube ist in Ordnung“ und \(M\): „Mutter ist in Ordnung“ voneinander stochastisch unabhängig sind. Damit gilt:

\( P(S∩M)= P(S) \cdot P(M)=0,95 \cdot 0,99 =0,9405 \)

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