Beispiele und Übungsaufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit

Beispiele

Beispiel 1

Bei einer Untersuchung bezüglich Augen- und Haarfarbe unter \(1000\) Personen waren \(200\) Personen rothaarig, \(400\) hatten grüne Augen. \(80\) Personen waren rothaarig und hatten auch grüne Augen. Es werden die Ereignisse \(A\): „Person hat grüne Augen“ und \(B\): „Person hat rote Haare“ festgelegt.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine rothaarige Person grüne Augen hat.

Zuerst muss man die folgenden Wahrscheinlichkeiten berechnen:

\( P(B) = \frac {200} {1000}  =0,2 \)

\( P(A∩B) = \frac {80} {1000}  =0,08 \)

Nun kann man die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit verwenden:

\( P_B (A) = \frac {P(A∩B)} {P(B)}=\frac {0,08} {0,2}=0,4 \)

Bemerkung: In diesem Fall stimmt \( P_B (A) \) mit \( P(A) \) überein, da die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig sind. (siehe Beispiele stochastische Unabhängigkeit)

\( P(A) = \frac {400} {1000}  =0,4 \)

Somit hat die Bedingung \(B\) keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit, mit der das Ereignis \(A\) auftritt.

Beispiel 2

Eine Reisegruppe besteht aus \(18\) Damen und \(4\) Herren. \(10\) Damen und \(2\) Herren wollen eine Tanzveranstaltung besuchen. Es werden die Ereignisse \(D\): „Eine zufällig aus der Reisegruppe ausgewählte Person ist eine Dame“ und \(T\): „Eine zufällig aus der Reisegruppe ausgewählte Person will die Tanzveranstaltung besuchen“ festgelegt.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person der Reisegruppe, die die Tanzveranstaltung besucht, weiblich ist.

Zuerst muss man die folgenden Wahrscheinlichkeiten berechnen:

\( P(T) = \frac {11} {22} = \frac {1} {2} \)

\( P(D∩T) = \frac {10} {22} = \frac {5} {11} \)

Nun muss man die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit verwenden:

\( P_T (D)= \frac {P(D∩T)} {P(T)}= \frac {5/11} {1/2}=\frac {10} {11} \)

Bemerkung: In diesem Fall stimmt \( P_T (D) \) nicht mit \( P(D) \) überein, da die beiden Ereignisse stochastisch abhängig sind. (siehe Beispiele stochastische Unabhängigkeit)

\( P(D) = \frac {18} {22} = \frac {9} {11} \)

Somit hat die Bedingung \(T\) einen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit, mit der das Ereignis \(D\) auftritt. Aus diesem Grund muss hier zwingend die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit verwendet werden.

Übungsaufgaben

Übungsaufgabe 1

In einer Großstadt trifft man \(67\%\) der Personen als Fußgänger an, nur \(20\%\) fahren mit dem Fahrrad und der Rest ist mit dem öffentlichen Nahverkehr unterwegs. Ca. jede dritte Person studiert aktuell und \(10\%\) der Personen in der Innenstadt sind fahrradfahrende Studenten.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student mit dem Fahrrad angetroffen wird.

Übungsaufgabe 2

Im Kino kaufen sich \(70\%\) aller Gäste Popcorn, wobei \(60\%\) die süße und \(40\%\) die salzige Variante bevorzugen. Außerdem kaufen \(4\) von \(5\) Kinobesuchern sich ein Getränk, \(36\%\) aller Gäste haben sich sowohl süßes Popcorn als auch ein Getränk gekauft.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast mit süßem Popcorn in der Hand sich auch ein Getränk kauft.

Übungsaufgabe 3

An drei von fünf Tagen ist das Wetter tagsüber mehrheitlich sonnig, windiges Wetter bei bewölktem Himmel tritt nur an jedem zehnten Tag auf.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass an einem bewölktem Tag der Wind weht.

Übungsaufgabe 4

Bei einer Geschwindigkeitskontrolle werden \(8\%\) der vorbeifahrenden Fahrzeuge wegen überhöhter Geschwindigkeit geblitzt. \(70\%\) der geblitzten FahrerInnen erhalten keinen Punkt in der Flensburger Verkehrsdatei.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Person geblitzt wurde und Punkt(e) in Flensburg erhält.

\(F\): Die Person ist mit dem Fahrrad unterwegs.

\(S\): Die Person studiert aktuell.

Im Text sind die folgenden Wahrscheinlichkeiten gegeben:

\( P(S) = \frac {1} {3}  \)

\( P(S∩F) = 0,1 \)

Nun kann man die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit verwenden:

\( P_S (F) = \frac {P(S∩F)} {P(S)}=\frac {0,1} {1/3}=0,3 \)

\(G\): Die Person hat sich ein Getränk gekauft.

\(S\): Die Person hat sich süßes Popcorn gekauft.

Im Text sind die folgenden Wahrscheinlichkeiten gegeben:

\( P(S) = 0,7 \cdot 0,6 =0,42 \)

\( P(G∩S) = 0,36 \)

Nun kann man die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit verwenden:

\( P_S (G) = \frac {P(G∩S)} {P(S)}=\frac {0,36} {0,42}= \frac {6} {7} \)

\(S\): Das Wetter ist sonnig.

\(W\): Das Wetter ist windig.

Im Text sind die folgenden Wahrscheinlichkeiten gegeben:

\( P(S) = \frac {3} {5} =0,6 \)

\( P( \overline S ∩W) = \frac {1} {10}=0,1 \)

Nun kann man die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit verwenden:

\( P_{\overline S} (W) = \frac {P(\overline S∩W)} {P(\overline S)}=\frac {0,1} {1-0,6}= 0,25 \)

\(B\): Die Person wird bei der Kontrolle geblitzt.

\(F\): Die Person erhält einen Punkt in Flensburg.

Im Text sind die folgenden Wahrscheinlichkeiten gegeben:

\( P(B) = 0,08 \)

\( P_B(F) = 0,7 \)

Nun kann man die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit verwenden und auflösen:

\( P_B (F) = \frac {P(B∩F)} {P(B)} \)

\( P(B∩F) = {P(B)} \cdot P_B (F)=0,08 \cdot 0,7=0,056 \)

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