Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit

Unter \(1000\) Personen wurde eine Umfrage durchgeführt, ob die Person gerne liest \((L)\) und ob die Person Brillenträger ist bzw. Kontaktlinsen nutzt \((B)\). Es ergab sich, dass \(450\) Personen gerne lesen und \(500\) Personen eine Brille bzw. Kontaktlinsen tragen. Außerdem gibt es \(240\) Brillenträger, die gleichzeitig gerne lesen.

Hängen die beiden Ereignisse voneinander ab? Wir veranschaulichen die Zahlen zunächst in einer Vierfeldertafel und berechnen die restlichen Werte:

\[\begin{array} {c|c}  &  L  & \overline {L}  & Summe \\ \hline  B  & 240 & 260 & 500 \\ \hline \overline {B}  & 210 & 290  & 500 \\ \hline Summe & 450 & 550 & 1000 \end{array}\]

Für die Wahrscheinlichkeit eines Brillenträgers gilt: \( P(B) = \frac {500} {1000}=0,5 \)

Wenn wir nur auf die Leser schauen, gilt im Baumdiagramm mit der ersten Pfadregel: \(P(L∩B) = P(L) \cdot P_L (B) \)

Hierbei tritt eine spezielle Wahrscheinlichkeit \(P_L (B) \) auf, die Wahrscheinlichkeit eines Brillenträgers unter der Gruppe der Leser. Hierbei handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Um ihren Wert zu erhalten, lösen wir den Ansatz auf: \(P_L (B) = \frac {P(L∩B)} {P(L)} \)

In unserem Fall ergibt sich: \(P_L (B) = \frac {240/1000} {450/1000}=\frac {8} {15} > 0,5 \)

Somit ist die Wahrscheinlichkeit, unter den Lesern einen Brillenträger zu finden nicht gleich groß wie die Wahrscheinlichkeit, unter allen befragten Personen einen Brillenträger zu finden. Die Ereignisse beeinflussen sich gegenseitig und man sagt daher, die beiden Ereignisse sind stochastisch abhängig.