Lineare Funktionen – Grundeigenschaften
Hinführung
In vielen Situationen hängen die Funktionswerte \(y\) direkt vom Wert von \(x\) ab. Dabei tritt \(x\) nur in der ersten Potenz \(x^1\) (linear) auf.
Beispiel
Ein Stromanbieter verlangt einen monatlichen Grundpreis von \(5{,}00€\) und einen Verbrauchspreis von \(0{,}25€\) pro verbrauchter Kilowattstunde (kWh). Die monatlichen Gesamtkosten \(K\) in € in Abhängigkeit vom Verbrauch \(x\) in kWh können durch einen linearen Funktionsterm \(K(x)\) dargestellt werden.
a) Erstellen Sie eine Wertetabelle für die Kosten bei einem Verbrauch von 0 bis 100 kWh in Schritten von 10 kWh.
b) Stellen Sie die Kosten \(K\) in Abhängigkeit vom Verbrauch \(x\) für \(0\leq x \leq 100\) kWh graphisch dar.
c) Geben Sie einen Funktionsterm für \(K(x)\) an.
Struktur der Wertetabelle:
\(\begin{array} {c|c} x & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90 & 100 \\ \hline K(x) \end{array}\)
a) \(\begin{array} {c|c} x & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90 & 100 \\ \hline K(x) & 7{,}5 & 10 & 12{,}5 & 15 & 17{,}5 & 20 & 22{,}5 & 25 & 27{,}5 & 30\end{array}\)
b)
c) \(K(x) = 0,25x+5\)
Definition
Eine Funktion \(f\) mit einem Funktionsterm, der sich in der Form \(m\cdot x+t \) \((m,t \in \mathrm{I\!R}, m\neq 0)\) darstellen lässt, heißt lineare Funktion.
\(m\) heißt Steigung, \(t\) heißt \(y\)-Achsenabschnitt.
Beispiel
Die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x) = -2\cdot(x-3)+4\) und der Definitionsmenge \(D_f=\mathrm{I\!R}\) ist eine lineare Funktion, denn der Term \(-2\cdot(x-3)+4\) lässt sich durch einfaches Ausmultiplizieren und Zusammenfassen in die Form \(-2\cdot x + 10\) bringen.
- Die Gleichung \(f(x) = m\cdot x+t \) heißt allgemeine Form der Funktionsgleichung.
- Die Gleichung \(f(x) = m\cdot(x\ {-} \ x_0) + y_0 \) heißt Punkt-Steigungs-Form der Funktionsgleichung.
Interaktive Übung: Einfluss von \(m\) und \(t\)
Experimentieren Sie mit dem folgenden Applet und untersuchen Sie dabei anschaulich den Einfluss von \(m\) und \(t\) auf die Gerade. Notieren Sie Ihre Erkenntnisse.
Wenn \(m\) größer wird, dann …
Wenn \(m\) kleiner wird, dann …
Wenn \(m\) positiv ist, dann …
Wenn \(m\) negativ ist, dann …
Wenn \(t\) größer wird, dann …
Wenn \(t\) kleiner wird, dann …
Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt
Bedeutung der Steigung \(m\): Änderung des \(y\)-Wertes um \(\Delta y\), wenn \(x\) um \(\Delta x = 1\) zunimmt.
Das Verhältnis \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) heißt Steigung einer Geraden.
Ist \(m > 0\), so steigt die Gerade.
Ist \(m < 0\), so fällt die Gerade.
Beispiel 1: \(f(x) = 1{,}5x+1\)
\(y\)-Achsenabschnitt: \(t = -1\)
Steigung: \(m=1{,}5=\frac{3}{2}\): Der y-Wert ändert sich jeweils um \(\Delta y = +1{,}5\), wenn \(x\) um \(\Delta x = 1\) zunimmt.
Ausgehend vom Schnittpunkt mit der y-Achse findet man damit einen zweiten Punkt des Graphen:
Möglichkeit 1: für \(m=1{,}5\)
„Gehe \(\Delta x = 1\) nach rechts und \(\Delta y = +1,5\) nach oben.“
Möglichkeit 2: für \(m=1{,}5=\frac{3}{2}\):
„Gehe \(\Delta x = 2\) (Nenner) nach rechts und \(\Delta y = 3\) (Zähler) nach oben.“
Beispiel 2: \(f(x) = -x-1\)
\(y\)-Achsenabschnitt: \(t = 1\)
Steigung: \(m=-1\): Der \(y\)-Wert ändert sich jeweils um \(\Delta y = -1\), wenn \(x\) um \(\Delta x = 1\) zunimmt.
\(m=-1=\frac{-1}{1}\)
„Gehe \(\Delta x = 1\) (Nenner) nach rechts und \(\Delta y = -1\) (Zähler) nach unten.“
Interaktives Erforschen: Steigung und Steigungsdreieck
Experimentieren Sie mit dem folgenden Applet und erkennen Sie den Zusammenhang zwischen der Steigung und dem zugehörigen Steigungsdreieck.
Die Steigung einer Straße
Vor einer Bergstraße steht das Verkehrsschild „Steigung 12%“ so bedeutet dies, dass bei einer waagrechten Entfernung von 100m ein Höhenunterschied von 12m zu bewältigen ist. Bei einer horizontalen Entfernung von 200m geht es dann 24 m nach oben.
Das Verhältnis von Senkrechter zu waagrechter Strecke ist immer konstant und wird auch in der Straßenverkehrsordnung Steigung genannt.
\(m=\frac{24m}{200m}=\frac{12m}{100m}=\frac{12}{100}=0,12=12\%\)
Übung
Zeichnen Sie die Graphen von folgenden Funktionen auf einem Blatt Papier in ein Koordinatensystem.
a) \(f(x)= 4x-2\)
b) \(g(x)= \frac{3}{2}x\)
c) \(h(x)= x+0,5\)
d) \(k(x)= \frac{1}{2}x\)
e) \(l(x)= \frac{1}{4}-1\)
f) \(m(x)= -\frac{1}{4}x\)
g) \(n(x)= -\frac{2}{3}x\)
h) \(o(x)= -\frac{3}{2}x+3\)
i) \(p(x)= -3x\)
Überprüfen Sie ihre Lösungen mit dem folgenden interaktiven Applet, indem Sie dort den Funktionsterm eingeben.