Übungsaufgaben zu den Pfadregeln
Beispiel 1
Eine Urne enthält sechs rote und vier weiße Kugeln, die sich nur durch die Farbe unterscheiden. Außerhalb der Urne stehen noch genügend viele rote und weiße Kugeln als zusätzlicher Kugelvorrat zur Verfügung. Nun werden nacheinander drei zufällige Kugeln aus der Urne gezogen, wobei nach jeder entnommenen Kugel eine andersfarbige Kugel aus dem Vorrat in die Urne gelegt wird.
Zeichnen Sie zu diesem Zufallsexperiment ein Baumdiagramm und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse.
Beispiel 2
In einer Urne befinden sich zwei weiße, drei blaue und eine rote Kugel. Wird eine weiße oder blaue Kugel gezogen, so wird eine rote Kugel in die Urne gelegt. Zieht man allerdings eine rote Kugel, so wird keine Kugel in die Urne gegeben. Es wird zweimal gezogen.
Erstellen Sie ein vollständiges Baumdiagramm und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
\(A\): Es werden zwei rote Kugeln gezogen.
\(B\): Es wird keine blaue Kugel gezogen.
\(C\): Es wird mindestens eine weiße Kugel gezogen.
\( P(A) = \frac {1} {6} \cdot \frac {0} {5} = 0 \)
\( P(B) = \frac {2} {36} + \frac {4} {36} + \frac {2} {30} = \frac {7} {30} \)
\( P(C) = 1- P( \overline C) = 1-\frac {6} {36} -\frac {2} {30}-\frac {3} {30}=\frac {17} {30}\)
Beispiel 3
In einer Kiste befinden sich zehn Edelstahl- und acht Messingschrauben. Ein Bastler entnimmt nacheinander drei Schrauben.
Erstellen Sie ein vollständiges Baumdiagramm und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
\(A\): Der Bastler erhält genau eine Messingschraube.
\(B\): Der Bastler erhält mindestens eine Messingschraube.
\(C\): Der Bastler erhält genau drei Edelstahlschrauben.
\( P(A) = \frac {5} {34} + \frac {5} {34} +\frac {5} {34} = \frac {15} {34} \)
\( P(B) = 1- P( \overline B)=1-\frac {5} {34} = \frac {29} {34} \)
\( P(C) = \frac {5} {34}\)
Beispiel 4
In einem Mischwald wird eine Versuchsfläche auf Schäden durch Wildverbiss an den Jungtrieben der Bäume untersucht. Einzige Nadelbaumart ist die Fichte \((F)\), sie macht \(25 \% \) des Baumbestandes aus. Auf der Versuchsfläche befinden sich außerdem \(45 \%\) Buchen \((B)\), ansonsten gibt es noch Eichen \((E)\). Alle Baumarten kommen auf der Fläche gleichmäßig verteilt vor.
Bei einer Zählung werden folgende Schadensanteile durch Verbiss unter den jeweiligen Baumarten beobachtet: \(20 \% \) bei Fichten, \(30 \% \) bei Buchen und \(25 \% \) bei Eichen. Als Zufallsexperiment wird die Auswahl eines Baums betrachtet; dabei wird die Baumart festgestellt und geprüft, ob Verbiss vorliegt \((V)\) und nicht. Die gegebenen Prozentsätze werden als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
Ermitteln Sie alle Elementarereignisse und berechnen Sie anschließend deren Wahrscheinlichkeit mit Hilfe eines Baumdiagramms.
Aufgaben:
Übungsaufgabe 1
In einer Endkontrolle werden \(5\) Geräte kontrolliert, von denen zwei defekt sind. Nach dem zweiten defekten Gerät, das gefunden wird, wird die Kontrolle beendet. Bestimmen Sie mit Hilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
\(A\): Bereits beim zweiten Test sind alle defekten Geräte gefunden.
\(B\): Das zweite defekte Gerät wird beim vorletzten Test entdeckt.
Übungsaufgabe 2
In einem Lostopf befinden sich \(1300\) Lose, darunter \(80\) Gewinne. Max kauft \(4\) Lose. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens einen Gewinn gezogen hat.
Übungsaufgabe 3
In einer Urne befinden sich zwei weiße, drei blaue und fünf rote Kugeln. Es werden nacheinander drei Kugeln aus der Urne entnommen. Bestimmen Sie mit Hilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
\(A\): Es werden genau zwei weiße Kugeln entnommen.
\(B\): Es wird höchstens eine weiße Kugel entnommen.
\(C\): Es werden drei blaue Kugeln entnommen.
Übungsaufgabe 4
Nun werden die Kugeln bei Übungsaufgabe 3 nach dem Entnehmen in die Urne zurückgelegt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse \(A, B\) und \(C\).
Übungsaufgabe 5
Eine Tierärztin entfernt nacheinander bei \(5\) Hunden Zahnstein. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Hund bei einer Behandlung zubeißt, beträgt \(5\%\). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
\(A\): Genau der dritte Hund beißt zu.
\(B\): Genau ein Hund beißt zu.
\(C\): Mindestens ein Hund beißt zu.
Lösungen
\( P(A) = 0,4 \cdot 0,25 = 0,1 \)
\( P(B) = 0,4 \cdot 0,75 \cdot \frac {2} {3} \cdot 0,5 +0,6 \cdot 0,5 \cdot \frac {2} {3} \cdot 0,5 +0,6 \cdot 0,5 \cdot \frac {2} {3} \cdot 0,5 = 0,3 \)
\( P(E) = 1- \frac {1220} {1330} \cdot \frac {1219} {1299} \cdot \frac {1218} {1298} \cdot \frac {1217} {1297} = 0,22458 \)
\( P(B) = \frac {1} {120} + \frac {1} {72} + \frac {1} {120} + \frac {1} {72} + \frac {1} {120} + \frac {1} {72} = \frac {1} {15} \)
\( P(B) = 1- P(A)= \frac {14} {15} \)
\( P(C) = \frac{1} {120} \)
\( P(A) = 0,096 \)
\( P(B) = 0,896 \)
\( P(C) = 0,027 \)
\( P(A) = 0,95 \cdot 0,95 \cdot 0,05 \cdot 0,95 \cdot 0,95 = 0,04073 \)
Für das Ereignis \(B\) gibt es insgesamt \(5\) Möglichkeiten mit den jeweils gleichen einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
\( P(B) = 5 \cdot 0,95^4 \cdot 0,05 = 0,20363 \)
Das Ereignis \(C\) lässt sich über das Gegenereignis „Es beißt kein Hund zu“ berechnen:
\( P(C) = 1-0,95^5 = 0,22622 \)