Bestimmung von quadratischen Funktionstermen
Gegeben: Scheitelpunkt S und ein weiterer Punkt P
Beispiel:
Der Graph einer quadratischen Funktion \(f\) hat den Scheitelpunkt \(S(2|3)\) und verläuft durch den Punkt \(P(4| 1)\).
Bestimmen Sie den Funktionsterm.
Ansatz: Mit der Scheitelpunktform
Schrittfolge:
1. Ansatz: \(f(x)=a(x-x_s)^2+y_s\)
2. \(S(x_s | y_s)\) einsetzen
3. Koordinaten von \(P(x| y) \) einsetzen
Im Beispiel:
\(f(x)=a(x-x_s)^2+y_s\)
\(S(2| 3)\): \(f(x)=a(x-2)^2+3\)
\(P(4| 1)\): \(1=a(4-2)^2+3\)
\( \Rightarrow 1=4a+3 \Rightarrow -2=4a \Rightarrow a=-\frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow f(x)=-\frac{1}{2}(x-2)^2+3\)
Gegeben: Nullstellen und ein weiterer Punkt \(P\)
Beispiel:
Der Graph einer quadratischen Funktion \(f\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x_1=-5\) und \(x_1=2\) und verläuft durch den Punkt \(P(1| -12)\).
Bestimmen Sie den Funktionsterm.
Ansatz: Mit der Linearfaktorform
Schrittfolge:
1. Ansatz: \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)
2. Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) einsetzen
3. Koordinaten von \(P(x| y) \) einsetzen
4. nach \(a\) auflösen
Im Beispiel:
\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)
\(x_1=-5\) und \(x_2=2\) einsetzen: \(f(x)=a(x-(-5))(x-2)=a(x+5)(x-2)\)
Koordinaten von \(P(1| -12)\) einsetzen:
\(-12=a(1+5)(1-2)\)
\( \Rightarrow -12=a\cdot 6 \cdot (-1) \Rightarrow -12=-6a \Rightarrow a=2 \)
\( \Rightarrow f(x)=2(x+5)(x-2)\)
Funktionsterm anhand eines vorgegebenen Graphen bestimmen
Beispiel:
Bestimmen Sie den Funktionsterm der abgebildeten Parabel.
Schrittfolge:
1. Ansatz mit SPF: \(f(x)=a(x-x_s)^2+y_s\)
2. Scheitelpunkt-Koordinaten ablesen und in SPF einsetzen
3. \(a\) bestimmen:
Variante 1:
ausgehend vom Scheitelpunkt 1 Einheit nach rechts und \(a\) Einheiten nach oben bzw. unten bis auf den Graphen
Variante 2:
Koordinaten eines weiteren Punktes ablesen, in SPF einsetzen und nach \(a\) auflösen
Im Beispiel:
\(f(x)=a(x-x_s)^2+y_s\)
\(S(2| -3)\): \(f(x)=a(x-2)^2-3\)
Variante 1:
ausgehend vom SP \(1\) nach rechts und \(0,5\) nach oben \(\Rightarrow a=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f(x)=\frac{1}{2}(x-2)^2-3\)
Variante 2:
Koordinaten von \(P(0| -1)\) einsetzen:
\(-1=a(0-2)^2-3\)
\(-1=4a-3 \)
\(\Rightarrow 2=4a \Rightarrow a=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f(x)=\frac{1}{2}(x-2)^2-3\)
Interaktive Übung
Auftrag:
Ermitteln Sie den passenden Funktionsterm zur dargestellten Parabel.
Hinweise zum Applet:
- Dieses Applet erzeugt zufällig Graphen von quadratischen Funktionen (Parabeln).
- Mit der Schaltfläche „Neu“ wird eine neue Parabel dargestellt.
- Der \(y\)-Wert eines Punktes \(P\) auf dem Graphen wird exakt angezeigt. Der Punkt \(P\) kann auf dem Graphen verschoben werden.
- Für die Berechnung des konstanten Vorfaktors kann optional eine Eingabezeile eingeblendet werden (dazu bitte ein Häkchen bei „Nebenrechnung“ setzen).
- Die Lösungsschaltfläche wird nur angezeigt, wenn die Eingabe für Nebenrechnungen ausgeschaltet wird.