Bestimmung von linearen Funktionstermen

Bestimmung des Funktionsterms anhand eines Punktes und der Steigung

Beispiel:
Der Graph einer linearen Funktion \(f\) enthält den Punkt \(P(4| 8)\) und hat die Steigung \(3\).
Bestimmen Sie den Funktionsterm \(f(x)\).

Methode 1: Mit der allgemeinen Form

Schrittfolge:

1. Ansatz: \(f(x)=mx+t\)

2. \(m\) einsetzen

3. Koordinaten von \(P(x|y) \) einsetzen

Im Beispiel:

\(f(x)=mx+t\)

\(m = 3\) einsetzten:    \(f(x)=3x+t\)

Koordinaten von \(P(4| 8)\) einsetzen:

\(8=3 \cdot 4+t \quad\Rightarrow\quad t = -4\)

\( \quad\Rightarrow\quad f(x)=3x-4\)

Methode 2: Mit der Punkt-Steigungs-Form

Durch den Ansatz mit der Punkt-Steigungs-Form wird das Aufstellen des Funktionsterms besonders einfach.
Die gegebene Steigung und die Koordinaten des Punktes müssen hier einfach nur eingesetzt werden.

Schrittfolge:

1. Ansatz: \(f(x)=m(x-x_0)+y_0\)

2. \(m\) einsetzen

3. Koordinaten von \(P(x_0| y_0) \) einsetzen

Im Beispiel:

\(f(x)=m(x-x_0)+y_0\)

\(m = 3\) einsetzen: \(f(x)=3(x-x_0)+y_0\)

Koordinaten von \(P(4|8)\) einsetzen:
\(f(x)=3(x-4)+8 =3x-4\)

Übung 1

Bestimmung des Funktionsterms anhand von zwei Punkten

Beispiel:
Der Graph einer linearen Funktion \(f\) geht durch die Punkte \(P(-2| 10)\) und \(Q(4| -5)\).
Bestimmen Sie einen möglichen Funktionsterm \(f(x)\).

Methode 1: Mit der allgemeinen Form

Schrittfolge:

1. Ansatz: \(f(x)=mx+t\)

2. \(m = \frac {\Delta {y}}{\Delta{x}}\) berechnen und einsetzen

3. z. B. Koordinaten von \(P(x| y) \) einsetzen

Im Beispiel:

\(f(x)=mx+t\)

\(m = \frac {{y_2-y_1}}{{x_2-x_1}}= \frac {-5-10}{4-(-2)}= \frac {-15}{6}=-2,5\)

\(f(x)=-2,5x+t\)

Koordinaten von \(P(-2| 10)\) einsetzen:

\(10=-2,5 \cdot (-2) +t \quad\Rightarrow\quad t = 5\)

\( \quad\Rightarrow\quad f(x)=-2,5x+5\)

Methode 2: Mit der Punkt-Steigungs-Form

Schrittfolge:

1. Ansatz: \(f(x)=m(x-x_0)+y_0\)

2. \(m = \frac {\Delta {y}}{\Delta{x}} = \frac {{y_2-y_1}}{{x_2-x_1}}\) berechnen und einsetzen

3. z. B. Koordinaten von \(P(x_0| y_0) \) einsetzen

Im Beispiel:

\(f(x)=m(x-x_0)+y_0\)

\(m = \frac {{y_2-y_1}}{{x_2-x_1}} = \frac {-5-10}{4-(-2)}= \frac {-15}{6}=-2,5\)

\(f(x)=-2,5(x-x_0)+y_0\)

Koordinaten von \(P(-2| 10)\) einsetzen:

\(f(x)=-2,5 (x-(-2))+10 =-2,5 (x+2)+10\)

\( \quad\Rightarrow\quad f(x)=-2,5x+5\)

Übung 2

a) \( m= \frac {5-3}{6-2} =\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \)
\( (2 | 3) \) in \(y=\frac {1} {2} x+t \) einsetzen:

\(3=\frac {1}{2} \cdot 2+t \rightarrow t=2 \)

\(y= \frac {1} {2} x+2\)
b) \( m= \frac {3-3}{4-(-2)} =\frac{0}{6}=0 \)
\( (-2 | 3) \) in \(y=0 x +t \) einsetzen:

\(3=0 \cdot (-2) +t \rightarrow t=3 \)

\(y=3\)
c) \( m= \frac {4-(-2)}{-2-2} =\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2} \)
\( (2 | -2) \) in \(y=-\frac {3} {2} x+t \) einsetzen:

\(-2=-\frac {3}{2} \cdot 2+t \rightarrow t=1 \)

\(y=- \frac {3} {2} x+1 \)

Funktionsterm anhand eines vorgegebenen Graphen bestimmen

Beispiel:
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Geraden.

Schrittfolge:

1. Ansatz: \(f(x)=mx+t\)

2. Steigung \(m\):
Ermittlung mit einem Steigungsdreieck.

3. \(y\)-Achsenabschnitt \(t\):
    Direktes Ablesen am Graphen.

Im Beispiel:

\(f(x)=mx+t\)

\(m=\frac{ \Delta {y}}{ \Delta {x}} =\frac{ 2}{1}=2\)

\(t = 1\)

\(\Rightarrow f(x)=2x+1\)

Interaktive Übung

Auftrag:
Ermitteln Sie den passenden Funktionsterm zur dargestellten Gerade.

Hinweise zum Applet:

  • Dieses Applet erzeugt zufällig Graphen von linearen Funktionen.
  • Der \(y\)-Wert eines Punktes \(P\) auf der Geraden wird exakt angezeigt. Der Punkt \(P\) kann auf der Geraden verschoben werden.
  • Für die Berechnung des konstanten Vorfaktors kann optional eine Eingabezeile eingeblendet werden (dazu bitte ein Häkchen bei „Nebenrechnung“ setzen).
  • Die Lösungsschaltfläche wird nur angezeigt, wenn die Eingabe für Nebenrechnungen ausgeschaltet wird.
 

 

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