Abbildungen und Funktionen
Misst man die Geschwindigkeit eines Körpers zu verschiedenen Zeitpunkten, so kann man versuchen, anhand der Messwerte eine Gesetzmäßigkeit zwischen der verstrichenen Zeit und der zugehörigen gemessenen Geschwindigkeit zu ermitteln.
Aus Sicht der Mathematik werden hier Zahlenpaare aus zwei Zahlenmengen gebildet (hier: eine Menge von Zeitpunkten und eine Menge von Geschwindigkeiten), um anschließend einen Zusammenhang zwischen den Partnern eines jeden Zahlenpaares untersuchen zu können.
- Die Art und Weise, wie diese Zahlenpaare gebildet werden, wird in der Mathematik als Relation bezeichnet.
- Wenn dabei nur solche Zahlenpaare entstehen, bei denen der jeweils erste Wert dieser Zahlenpaare nur einmal vorkommt, bezeichnet man eine solche Relation als Funktion.
Im Mathematikunterricht der Oberstufe beschäftigt man sich im Teilgebiet „Analysis“ mit der Untersuchung von Funktionen.
Definition: Funktion
Gegeben seien zwei beliebige Teilmengen der reellen Zahlen \( \mathrm D \subseteq \mathbb R \) und \( \mathrm W \subseteq \mathbb R \).
Eine Abbildung, die jedem Element \( d \in \mathrm D \) genau ein Element \( w \in \mathrm W \) zuordnet, heißt Funktion.
- Die Ausgangsmenge \( \mathrm D\) ist die Definitionsmenge der Funktion,
- die Zielmenge \(\mathrm W\) heißt Wertemenge der Funktion.
Für die Benennung von Funktionen wählt man meistens Kleinbuchstaben (z.B. \(f, g, h\)), sowie nach Bedarf weitere Buchstaben. Dass eine Funktion, die den Zusammenhang zwischen einer Definitions- bzw. Wertemenge \(\mathrm D\) und \(\mathrm W\) beschreibt, mit dem Buchstaben \(f\) bezeichnet wird, stellt man folgendermaßen dar:
- \(f:D \rightarrow W\)
Um den Zusammenhang zwischen einem Element \(d\) (aus der Definitionsmenge \(\mathrm D\)) und \(w\) (aus der Wertemenge \(\mathrm W\)) zu zeigen, schreibt man:
- \(f:d \mapsto w\)
- oder auch \(f(d)=w\) (Lies: „\(\ f\) von \(d\) ist \(w\ \)“).
Bezeichnungen:
- Das Element \(d\) heißt Argument.
- \(w\) heißt Funktionswert der Funktion \(f\) für das Argument \(d\) (auch auch: an der „Stelle“ \(d\)).
Die Zahlenpaare entstehen dadurch, dass zuerst ein Wert aus der Definitionsmeng gewählt wird und anschließend einem Wert aus der Wertemenge „zugeordnet“ wird. Welches Element \(d \in \mathrm D\) welchem Element \(w \in \mathrm W\) zugeordnet wird, kann auf mehrere Arten festgelegt werden:
Vorschlag 1: Zusammenhang zwischen \(\mathrm D\) und \(\mathrm W\) durch Auflistung aller Zahlenpaare festlegen
Sofern es eine überschaubare, beschränkte Anzahl an Elementen in der Definitionsmenge gibt, ist eine Auflistung z.B. in Form einer Tabelle möglich.
Beispiel
Die folgende Tabelle stellt einen möglichen Zusammenhang zwischen Mengen \(\mathrm D=\{1,2,3,4,5\}\) und \(\mathrm W=\{0, 1\}\) her.
| \(d\in\mathrm D\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| \(w\in\mathrm W\) | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
\(\ \)
Da hier jeder Wert aus \(d\in\mathrm D\) genau einmal verwendet wird, darf diese Paarbildung als „Funktion“ bezeichnet werden.
Gibt man dieser Funktion den Namen \(a\), so kann man nun schreiben:
\(a(1) =0\), \(a(2) =1\), \(a(3) =0\), \(a(4) =1\) und \(a(5) =0\).
Beispiel
Jeder Teilnehmer einer medizinischen Studie erhält zu Beginn der Studie eine eindeutige Nummer zugeordnet. Im weiteren Verlauf werden die Teilnehmer gewogen und ihre Größe gemessen. Hierbei hat der Teilnehmer Nr. 3329 ein Masse von 85 kg bei einer Körpergröße von 177 cm. Die Funktion \(g\) ordnet nun jeder Teilnehmernummer die passende Körpergröße zu. Hier wäre also \(g(3329)=177\ cm\). Über die entsprechenden Nummern und Körpergrößen ist die Funktion \(g\) festgelegt.
Vorschlag 2: Zusammenhang zwischen \(\mathrm D\) und \(\mathrm W\) durch eine Gleichung festlegen
Beispiel
Gegeben ist die Funktion \(f: \{-2;-1;0;1;2\} \to \mathrm W\subset\mathbb R\) durch die Gleichung \(w=2 d^2 -3\) für \(d\in \{-2;-1;0;1;2\}\).
- Solange man in dieser Gleichung den Buchstaben \(d\) nicht mit einem konkreten Wert belegt, nennt man diesen Platzhalter „Variable„.
- Wählt man für \(d\) den konkreten Wert \(-2\) (der unbedingt in der zugrunde liegenden Definitionsmenge enthalten sein muss), so liefert diese Gleichung den Wert \(w=2\cdot (-2)^2 -3 =2\cdot 4-3=8-3=5\).
- Die Gleichung \(w=2 d^2 -3\) wird auch als Funktionsgleichung von \(f\) bezeichnet.
- Der Term \(2 d^2 -3\), mit dem der Wert von \(w\) berechnet werden kann, heißt Funktionsterm von \(f\). Die Kurzschreibweise für den Funktionsterm von f ist \(f(d)\).
- Die Funktionsgleichung \(w=2 d^2 -3\) lässt sich also auch in der Form \(f(d)=2 d^2 -3\) darstellen. Wählt man für \(d\) z.B. den konkreten Wert \(-2\), so kann man somit schreiben: \(f(-2)=2\cdot (-2)^2 -3 =2\cdot 4-3=8-3=5\).
- Will man den Zurodnungscharaker der Funktion betonen, schreibt man \(f:d\mapsto 2 d^2 -3\).
- Die Wertemenge \(\mathrm W\) wird in diesem Fall nicht vorgegeben, sondern durch die zugrundeliegende Definitionsmenge und die Funktionsgleichung indirekt festgelegt. Sie kann nachträglich ermittelt werden.
Aufgabe
Berechnen Sie die zugehörigen Werte zu den verbleibenden Elementen der Definitionsmenge \( \mathrm D\) und geben Sie die Wertemenge an.
Vorschlag 3: Zusammenhang zwischen \(\mathrm D\) und \(\mathrm W\) graphisch festlegen
Es ist üblich, für
- die Elemente aus der Definitionsmenge anstelle des Buchstabens \(d\) den Buchstaben \(x\)
- die Elemente aus der Wertemenge anstelle des Buchstabens \(w\) den Buchstaben \(y\)
zu verwenden.
Da die Buchstaben \(x\) und \(y\) üblicherweise für die Bezeichnung der Achsen in einem Koordinatensystem verwendet werden, ist es naheliegend, Punkte in einem Koordinatensystem als Zahlenpärchen zu interpretieren und somit zur Festlegung einer Funktion zu verwenden.
Die \(x\)-Werte der Definitionsmenge befinden sich auf der horizontalen Achse (üblicherweise: \(x\)-Achse) und die zugehörigen Funktionswerte \(f(x)\) auf der vertikalen Achse (üblicherweise: \(y\)-Achse).
- Die Menge aller Punkte im Koordinatensystem, die zur Definition einer Funktion verwendet werden, heißt „Graph der Funktion“ (oder auch Funktionsgraph).
- Für den Graphen einer Funktion \(f\) schreibt man kurz \(G_f\).
Die 5 Punkte \(P_1 (-2|5)\), \(P_2 (-1|{-1})\), \(P_3 (0|{-3})\), \(P_4 (1|{-1})\) und \(P_5 (2|5)\) in dem nebenstehenden Koordinatensystem bilden den Graphen der Funktion \(f\).
ACHTUNG:
Es ist durchaus möglich ist, dass mehrere Punkte eines Funktionsgraphen die gleichen \(y\)-Koordinate haben können, aber niemals die gleiche \(x\)-Koordinate.
