Newton’sche Gesetze: Aufgaben (Teil 3)

Aufgabe 9: schiefe Ebene

9.0 Auf einer schiefen Ebene der Länge \( L= 9{,}5\: \mathrm{m} \) und der Höhe \( H= 3{,}0\: \mathrm{m} \) liegt ein Körper der Masse \( 8{,}0\: \mathrm{kg} \).

9.1 Berechnen Sie den Betrag der Hangabtriebskraft.

9.2 Berechnen Sie den Betrag der Normalkraft.

\(  \sin(\alpha) = \frac{H}{L}=\frac{3{,}0\: \mathrm{m}}{9{,}5\: \mathrm{m}}=0{,}316 \)

\( \alpha=18{,}4° \)

\( F_H=F_G \cdot \sin(\alpha)=m \cdot g\cdot \sin(\alpha)= 8{,}0\: \mathrm{kg} \cdot 9{,}81\: \mathrm{\frac{m}{s²}} \cdot \sin(18{,}4°)=24{,}8\: \mathrm{N}\)

\( F_N=F_G \cdot \cos(\alpha)=m \cdot g\cdot \cos(\alpha)= 8{,}0\: \mathrm{kg} \cdot 9{,}81\: \mathrm{\frac{m}{s²}} \cdot \cos(18{,}4°)=74{,}5\: \mathrm{N}\)

Aufgabe 10: reibungsfreie schiefe Ebene

10.0 Ein zunächst ruhender Körper gleitet reibungsfrei eine schiefe Ebene hinunter, die einen Winkel von \( \alpha =10{,}0° \) mit der Ebene aufweist.

10.1 Berechnen Sie den Betrag der Beschleunigung, die der Körper aufweist.

10.2 Ermitteln Sie den Betrag der Geschwindigkeit, die der Körper besitzt, nachdem er eine Höhendifferenz von \( 2{,}00 \; \mathrm{m} \) überwunden hat.

\( F_{\mathrm{res}}=m\cdot a=  F_H=m \cdot g\cdot \sin(\alpha) \)

\(  a=  g\cdot \sin(\alpha) = 9{,}81 \; \mathrm{\frac{m}{s²}}\cdot \sin(10{,}0°)  = 1{,}70 \; \mathrm{\frac{m}{s²}} \)

\( v²=2ax \)

\( v = \sqrt{2a \cdot x} =\sqrt{2a \cdot \frac{H}{\sin(\alpha)}} =\sqrt{2\cdot 1{,}70 \; \mathrm{\frac{m}{s^2}} \cdot \frac{2{,}00 \; \mathrm{m}}{\sin(10{,}0°)}}=6{,}26 \; \mathrm{\frac{m}{s}}\)

Aufgabe 11: Schiefe Ebene mit Reibung

11.0 Auf einer schiefen Ebene liegt ein Körper der Masse m. Die Haftreibungszahl beträgt 0,30, die Gleitreibungszahl 0,20.

11.1 Wie groß muss der Neigungswinkel \( \alpha \) sein, damit der Körper zu gleiten beginnt?

11.2 Berechnen Sie den Betrag der Beschleunigung, die der Körper bei diesem Neigungswinkel erfährt.

Der Körper beginnt in dem Moment zu rutschen, in dem der Betrag der Hangabtriebskraft den Betrag der maximalen Haftreibungskraft erreicht:

\( F_H=F_R \)

\( F_H=\mu_H \cdot F_N\)

\(F_G \cdot \sin(\alpha) =\mu_H \cdot F_G \cdot \cos(\alpha) \)

\( \mu_H= \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\tan(\alpha) \)

\( \alpha= 16{,}7° \)

\( F_{\mathrm{res}}=m\cdot a=  F_H – F_R=m \cdot g\cdot \sin(\alpha) – \mu_{gl} \cdot m \cdot g \cdot cos(\alpha) \)

\(  a=  g\cdot (\sin(\alpha)- \mu_{gl} \cdot cos(\alpha) )= 9{,}81 \mathrm{\frac{m}{s²}}\cdot (\sin(16{,}7°) – 0{,}20 \cos(16{,}7°))   = 0{,}94 \mathrm{\frac{m}{s²}} \)

Aufgabe 12: Versuchsaufbau auf schiefer Ebene

12.0 Ein Gewicht mit der Masse \( m_1=0{,}500 \; \mathrm{kg} \) ist über eine Schnur und eine reibungsfrei gelagerte Rolle mit einem Klotz der Masse \( m_2=1{,}00 \; \mathrm{kg} \) verbunden, der auf einer schiefen Ebene mit der Neigung 20,0° liegt.

12.1 Welche Haftreibungszahl muss mindestens vorhanden sein, damit der Klotz nicht nach oben rutscht?

12.2 Ermitteln Sie den Betrag der Beschleunigung, die beide Körper erfahren, wenn die Gleitreibungszahl den Wert 0,10 besitzt.

\( F_{G_1}=F_{H_2}+F_{R_2} \)

\( m_1 \cdot g = m_2 \cdot g\cdot \sin(\alpha) + \mu_{h} \cdot m_2 \cdot g \cdot cos(\alpha) \)

\( \mu_{h}= \frac{m_1 \cdot g-m_2 \cdot g\cdot \sin(\alpha)}{m_2 \cdot g \cdot cos(\alpha)}   \)

\( \mu_{h}= \frac{0{,}500 \mathrm{kg} \cdot 9{,}81 \mathrm{\frac{m}{s²}}-1{,}00 \mathrm{kg} \cdot 9{,}81 \mathrm{\frac{m}{s²}} \cdot \sin(20{,}0°)}{1{,}00 \mathrm{kg} \cdot 9{,}81 \mathrm{\frac{m}{s²}} \cdot \cos(20{,}0°)}  =0{,}168 \)

\( F_{\mathrm{res}}= F_{G_1}-F_{H_2} – F_{R_2} \)

\( m_{\mathrm{gesamt}} \cdot a = m_1 \cdot g – m_2 \cdot g\cdot \sin(\alpha) – \mu_{gl} \cdot m_2 \cdot g \cdot cos(\alpha) \)

\( a= \frac{m_1 \cdot g – m_2 \cdot g\cdot \sin(\alpha) – \mu_{gl} \cdot m_2 \cdot g \cdot cos(\alpha) }{m_1 + m_2}    \)

\( a=  0{,}419 \; \mathrm {\frac{m}{s²}} \)

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