Impulsdiagramme: Aufgaben
Aufgabe 1
1. Bei einem Crashtest wird ein Unfall an einer rechtwinkligen Kreuzung nachgestellt. Zwei Autos der Massen \(m_1=1,2\;t\) und \(m_2=1,5\;t\) werden derart ineinander gesteuert, dass sie genau in einem 90°-Winkel aufeinander treffen. Die Autos verkeilen sich beim Aufprall ineinander und rutschen beide gemeinsam weiter.
1.1 Ermitteln Sie sowohl rechnerisch als auch zeichnerisch den Winkel und den Betrag der Geschwindigkeit der beiden Autos direkt nach dem Aufprall, wenn die Geschwindigkeiten vor dem Aufprall \(v_1=40\frac{km}{h}\) und \(v_2=50\frac{km}{h}\) betragen.
1.2 Die Gleitreibungszahl zwischen blockierenden Reifen und Asphalt beträgt \(\mu =0,5\). Ermitteln Sie, wie viele Meter die ineinander verkeilten Autos noch gemeinsam Rutschen. (Zusatz: Berechnen Sie die kinetischen Energien vor und nach dem Stoß.)
Die Impulse der beiden Fahrzeuge betragen:
\(|\vec{p}_1|=p_1=1200\;kg \cdot 40\frac{km}{h}=1200 \;kg \cdot \frac{40\; m}{3,6\;s}\approx 13333\;Ns\)
\(p_2=1500 \;kg \cdot \frac{50\; m}{3,6\;s}\approx 20833 \;Ns\)
Rechnerisch:
Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Pythagoras \(p_{ges}^2=p_1^2+p_2^2=(13333\;Ns)^2+(20833\;Ns)^2 \Rightarrow p_{ges}=24734\;Ns\)
Die Geschwindigkeit nach dem Stoß beträgt also \(v_{ges}=\frac{p}{m_1+m_2}=\frac{24734\;Ns}{2700\;kg}\approx 9,2\frac{m}{s}\).
Fahrzeug 1 wird aus seiner Fahrtrichtung mit dem Winkel \(\alpha=arctan(\frac{20833\;Ns}{13333\;Ns})\approx 57°\) abgelenkt.
Zeichnerisch: Maßstab \(2000\;Ns \;\widehat{=} 1\;cm\)
Die Länge von 12,4 cm entspricht einem Impuls von etwa 24800 Ns und somit \(v_{ges}=\frac{24800\;Ns}{2700\;kg}\approx 9,2\frac{m}{s}\).
Über Kräfte:
\(F_{Brems}=F_{Reibung}=\mu \cdot m \cdot g=0,5 \cdot 2700\;kg \cdot 9,8\frac{m}{s^2}\approx 13,2\;kN\)
bzw. \(a_{Brems}=0,5 \cdot 9,8\frac{m}{s^2}=4,9 \frac{m}{s^2}\)
Mit der Formel \(v^2=2\cdot a \cdot s\) ermittelt sich die Rutschstrecke zu \(s=\frac{v^2}{2a}=\frac{(9,2\frac{m}{s})^2}{2\cdot 4,9 \frac{m}{s^2}}\approx 8,6 \;m\)
Energien vorher:
\(E_{kin,1}=\frac{1}{2}m_1 v_1^2=\frac{1}{2}1200\;kg \cdot (40\frac{km}{h})^2=\frac{1}{2}\cdot 1200\;kg \cdot (\frac{40\;m}{3,6\;s})^2\approx 74\;kJ\)
\(E_{kin,2}=\frac{1}{2}m_2 v_2^2=\frac{1}{2}1500\;kg \cdot (50\frac{km}{h})^2=\frac{1}{2}\cdot 1500\;kg \cdot (\frac{50\;m}{3,6\;s})^2\approx 145\;kJ\)
Energie nachher:
\(E_{kin,ges}=\frac{1}{2}\cdot 2700\;kg \cdot (9,2\frac{m}{s})^2\approx 114\;kJ\)
Das heißt, es sind 105 kJ in Verformungsarbeit übergegangen.
Zusatz: Rutschstrecke über Reibarbeit \(W_R=F_R \cdot s \Rightarrow s=\frac{W_R}{F_R}=\frac{114\;kJ}{\mu \cdot m \cdot g}=\frac{114\;kJ}{13230\;N}\approx8,6\;m\)
Aufgabe 2
2. Der Crashtest aus Aufgabe 1 wird so modifiziert, dass zwischen den Richtungen der beiden Fahrzeuggeschwindigkeiten ein Winkel von 60° liegt. Ansonsten bleiben die Angaben identisch. Zeichnen Sie das Impulsdiagramm und ermitteln Sie Richtung und den Betrag der Geschwindigkeit nach dem Stoß.
Maßstab \(2000\;Ns \;\widehat{=} 1\;cm\)
Die Fahrzeuge rutschen etwa 37° zur Bewegungsrichtung des Fahrzeugs 1 vor dem Stoß weiter.
Die Länge von 14,9 cm entspricht einem Impuls von etwa 29800 Ns und somit \(v_{ges}=\frac{29800\;Ns}{2700\;kg}\approx 11\frac{m}{s}\).
Aufgabe 3
3. Der Crashtest aus Aufgabe 1 wird so modifiziert, dass die beiden Fahrzeuge leicht schräg aufeinander zufahren. Eine Drohne macht im zeitlichen Abstand von \(\Delta t=0,1\;s\) Bilder aus der Vogelperspektive vom Aufprall. Die nachfolgende Grafik zeigt den Bildausschnitt der Fotos der Drohne und die Positionen der beiden Fahrzeuge bei jedem einzelnen aufgenommenen Bild bis zum Aufprall. Das Koordinatensystem sei in Metern und die Massen der Fahrzeuge werden aus Aufgabe 1 übernommen.
Ermitteln Sie die Geschwindigkeiten der beiden Fahrzeuge aus der Grafik, bestimmen Sie daraus auch die Impulse der Fahrzeuge. Zeichnen Sie ein Impulsdiagramm und ermitteln Sie, in welche Richtung und mit welchem Geschwindigkeitsbetrag beide Fahrzeuge ineinander verkeilt weiterrutschen.
Fahrzeug 1 legt 10 Meter in einer Sekunde zurück: \(v_1=10\frac{m}{s} \; \widehat{=} \; 36\frac{km}{h}\)
Fahrzeug 2 legt 10,25 Meter in 0,6 Sekunden zurück: \(v_2=\frac{10,3\;m}{0,6\;s}\approx 17\frac{m}{s} \; \widehat{=} \; 61\frac{km}{h}\)
Impulse:
\(p_1=m_1 \cdot v_1=1200\;kg \cdot 10\frac{m}{s}=12000\;Ns\)
\(p_2=m_2 \cdot v_2=1500\;kg \cdot 17\frac{m}{s}=25500\;Ns\)
Maßstab \(2000\;Ns \;\widehat{=} \;1\;cm\)
Fahrzeug 1 wird um 143° zurückreflektiert.
Die Länge von 7,4 cm entspricht einem Impuls von etwa 14800 Ns und somit ist der Geschwindigkeitsbetrag nach dem Stoß \(v_{ges}=\frac{14800\;Ns}{2700\;kg}\approx 5,5\frac{m}{s}\).
Aufgabe 4
4. Auch der folgende teilelastische Stoß wird von oben betrachtet. Zwei Objekte A und B mit den Massen \(m_A=2,0\;kg\) und \(m_B=1,0\;kg\) treffen mit gleichem Geschwindigkeitsbetrag genau senkrecht aufeinander (siehe Bild). Objekt A bewegt sich nach dem Stoß exakt im 45°-Winkel nach rechts unten und mit halbem Geschwindigkeitsbetrag weiter. Reibungskräfte werden bei dieser Aufgabe vernachlässigt.
Zeichnen Sie ein Impulsdiagramm und ermitteln Sie, in welche Richtung sich Objekt B nach dem Stoß weiterbewegt. Treffen Sie auch eine Aussage über den Geschwindigkeitsbetrag von Objekt B nach dem Stoß. (Zusatz: Zeigen Sie mit einer Energiebetrachtung, dass es sich um einen teilelastischen Stoß gehandelt haben muss. Verwenden Sie dafür \(v=4\frac{cm}{s}\))
Da keine Geschwindigkeitsbeträge angegeben sind muss das Impulsdiagramm mit ausgedachtem Maßstab gezeichnet werden:
Hier gewählt ist 4 cm für den ursprünglichen Geschwindigkeitsvektor. Bei Objekt B ist durch die Masse \(m_B=1\;kg\) der Impuls- und Geschwindigkeitsvektor gleich lang. Objekt B mit doppelter Masse besitzt natürlich einen Impulsvektor mit doppelter Länge.
Das bedeutet, dass sich der Geschwindigkeitsbetrag von Objekt B um 32,5 % vergrößert. Objekt B bewegt sich ca. 13° zur y-Achse nach rechts unten.
Zusatz:
Kinetische Energien vorher:
\(E_{kin,A}=\frac{1}{2} \cdot m_A v_A^2=\frac{1}{2} \cdot 2\;kg \cdot (4\frac{cm}{s})^2 =1,6 \cdot 10^{-3}\;J\)
\(E_{kin,B}=\frac{1}{2} \cdot m_B v_B^2=\frac{1}{2} \cdot 1\;kg \cdot (4\frac{cm}{s})^2 =0,8 \cdot 10^{-3}\;J\)
Energie nachher:
\(E’_{kin,A}=\frac{1}{2} \cdot m_A u_A^2=\frac{1}{2} \cdot 2\;kg \cdot (2\frac{cm}{s})^2 =0,4 \cdot 10^{-3}\;J\)
\(E’_{kin,B}=\frac{1}{2} \cdot m_B u_B^2=\frac{1}{2} \cdot 1\;kg \cdot (5,3\frac{cm}{s})^2 \approx 1,4 \cdot 10^{-3}\;J\)
Das heißt, es sind 0,6 mJ in Verformungsarbeit übergegangen. Da die beiden Objekte sich nach dem Stoß wieder getrennt weiterbewegen, handelt sich auch nicht um einen vollkommen unelastischen Stoß, sondern um einen teilelastischen Stoßvorgang.
Aufgabe 5
5. Zwei Objekte A und B besitzen die Massen \(m_A=1,5\;kg\) und \(m_B=3,5\;kg\).
Objekt A trifft mit einem Geschwindigkeitsbetrag von \(v_A=8,0\frac{m}{s}\) so auf das ruhende Objekt B, dass sich die Objekte nach dem Stoß mit den Geschwindigkeitsbeträgen \(u_A=3,0\frac{m}{s}\) und \(u_B=4,0\frac{m}{s}\) weiterbewegen. Reibungskräfte werden bei dieser Aufgabe vernachlässigt.
Zeichnen Sie ein Impulsdiagramm und ermitteln Sie so, in welche Richtungen sich die beiden Objekte nach dem Stoß weiterbewegen. (Tipp: Sie benötigen einen Zirkel.)
Zusatz: Zeigen Sie durch Energiebetrachtung, dass es sich nicht um einen vollelastischen Stoß handeln kann.
Da die Geschwindigkeiten angegeben sind, kennt man die Impulse und somit die Länge der Vektoren im Impulsdiagramm.
Allerdings sind keine Richtungen angegeben, weswegen man das Dreieck im Impulsdiagramm konstruieren muss.
Impulse:
\(p_A=m_A \cdot v_A=1,5\;kg \cdot 8,0\frac{m}{s}=12\;Ns \; \widehat{=} \; p_{ges}\)
\(p_B=0\;Ns\)
\(p’_A=m_A \cdot u_A=1,5\;kg \cdot 3,0\frac{m}{s}=4,5\;Ns\)
\(p’_B=m_B \cdot u_B=3,5\;kg \cdot 4,0\frac{m}{s}=14\;Ns\)
Maßstab \(1\;Ns\; \widehat{=} \; 1\;cm\)
Der Gesamtimpuls im System besteht aus dem Anfangsimpuls des Objekts A. Dieser muss nach dem Impulserhaltungssatz auch nach dem Stoß gleich bleiben (In Richtung und Länge).
Man zieht Kreise mit den Radien 4,5 cm und 14 cm um das Impulsdreieck zu konstruieren. Man erkennt, dass das Objekt A beispielsweise nach links oben zurück reflektiert wird und sich Objekt B nach rechts unten bewegt. (Eine gespiegelte Lösung mit dem unteren Schnittpunkt der beiden Kreise ist natürlich möglich. Welche Lösung die „richtige“ ist, geht aus der Angabe nicht hervor.)
Zusatz:
Kinetische Energie vorher:
\(E_{kin,A}=\frac{1}{2} \cdot m_A v_A^2=\frac{1}{2} \cdot 1,5\;kg \cdot (8\frac{cm}{s})^2 =48\;J\)
Kinetische Energien nachher:
\(E’_{kin,A}=\frac{1}{2} \cdot m_A u_A^2=\frac{1}{2} \cdot 1,5\;kg \cdot (3\frac{cm}{s})^2 =6,75\;J \approx 7\;J\)
\(E’_{kin,B}=\frac{1}{2} \cdot m_B u_B^2=\frac{1}{2} \cdot 3,5\;kg \cdot (4\frac{cm}{s})^2 =28\;J\)
Insgesamt gehen ca. 13 J in Verformungs- und Wärmeenergie über. Der Stoß kann also nicht vollkommen elastisch sein.