Die Spannkraft einer Feder: Das Hooke’sche Gesetz

Einführung

Nicht nur in der Physik ist die Messung von Kräften sehr wichtig. Wie wir schon in einem vorherigen Kapitel festgestellt haben, können wir Kräfte selbst nicht sehen, nur ihre Wirkungen auf Körper. Eine dieser Wirkungen ist die Verformung von Körpern. Bei einfachen Kraftmessern verwendet man die Verformung (Dehnung) von Federn um Kräfte zu messen.

In diesem Kapitel soll untersucht werden, welcher Zusammenhang zwischen einer Kraft an einer Feder und deren Dehnung besteht.

Versuchsbeschreibung

Verschiedene Gewichtsstücke G werden an eine Feder gehängt. Mit einem Lineal wird die Dehnung der Feder gemessen. Beim Anhängen der Gewichtsstücke wird darauf geachtet, dass keine Schwingung entsteht.

Versuchsdurchführung

Versuchsauswertung

Um eine Vorstellung von der Beziehung zwischen dem Betrag F der Kraft \( \vec{F} \) an der Feder und deren Dehnung s zu erhalten, werden die Messwerte in einem s-F-Diagramm aufgetragen. Vorher wurden die Gewichtskräfte der einzelnen Gewichtsstücke mit der Gleichung \( F= m \cdot g \) berechnet.

Anschließend kann eine Ursprungsgerade in das Koordinatensystem eingezeichnet werden. Daher gilt folgende Beziehung:

\( F \sim s \) bzw. \( F= k \cdot s \) (wobei k eine Konstante ist)

der Wert von k lässt sich bestimmen aus:

\( k= \frac{\Delta F}{\Delta s} \)

Dieser Quotient muss für alle Messwertepaare den selben Wert besitzen. Zur Überprüfung werden für alle Wertepaare die Quotienten \(  \frac{F}{s} \) berechnet und in die Tabelle eingetragen. Im Rahmen der Messgenauigkeit ist der Quotient tatsächlich konstant. Als Mittelwert ergibt sich \(  k=49,3 \frac{N}{m} \).

In der Physik wird der Quotient als Federkonstante oder auch als Federhärte bezeichnet und besitzt in der Regel den Formelbuchstaben D. Der Begriff der Federhärte ist sinnvoll gewählt, benötigt man doch umso mehr Kraft eine Feder zu dehnen, je größer D ist. Der wert der Federhärte von \(  49,3 \frac{N}{m} \) für unsere Feder gibt an. dass man 49,3 N benötigen würde, um sie einen Meter zu strecken. Mit dieser Aussage muss man jedoch vorsichtig sein. Dehnt man eine Feder nämlich zu stark, verlässt man man den linearen Bereich, in dem F proportional zu s ist. Man benötigt ab einer bestimmten Dehnung immer mehr Kraft um die Feder weiter zu dehnen und die Angabe einer konstanten Federhärte ist nicht mehr sinnvoll. Nur in dem Bereich, in dem der Quotient \(  D=\frac{F}{s} \) konstant ist, ist das sogenannte Hooke’sche Gesetz erfüllt.

Ein Federkraftmesser hat in diesem Bereich, in dem das Hooke’sche Gesetz erfüllt ist, eine gleichmäßig unterteilte Skala. Das ist sehr bequem, aber noch Voraussetzung für die Kraftmessung. Es gibt viele Messinstrumente, die eine ungleichmäßig unterteilte Skala haben. Ein wichtiger grund, warum man den Hooke’schen Bereich nicht verlassen sollte ist der, dass die Feder bei zu starker Dehnung nicht mehr in ihren Ausgangszustand zurückkehrt (im schlimmsten Fall würde sie reißen). Eine solche irreversible Dehnung würde auch die Federhärte verändern und die Skala würde nicht mehr stimmen. Aus diesem Grund gibt es bei Federkraftmessern eine mechanische Begrenzung.

Versuchsergebnis

Die Dehnung s einer Feder ist innerhalb eines gewissen Bereichs zum Betrag F der Kraft proportional. In diesem Bereich gilt das Hooke’sche Gesetz:

\( F= D \cdot s \)

mit der konstanten Federhärte D.

Für die Einheit gilt: \( \ [D] = 1 \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}   \)