Schwingungen: Aufgaben (Teil 2)

Aufgaben:

1.0 Der Schwingungsvorgang eines Feder-Schwere-Pendels wird untersucht. Am unteren Ende der Feder ist ein Körper der Masse 0,25 kg aufgehängt, der sich entlang einer nach oben orientierten y-Achse bewegt. Zum Zeitpunkt t=0 wird eine Video-Software gestartet, die mit Hilfe einer Kamera die Geschwindigkeit des Körpers in gleichbleibenden Zeitabständen erfasst. Das unten stehende Diagramm enthält sämtliche erfassten Wertepaare.

1.1 Erläutern Sie kurz, weshalb die Schwingung harmonisch sein könnte.

1.2 Ermitteln Sie, wie groß der Zeitabstand zwischen den einzelnen Messungen ist.

1.3 Bestimmen Sie die Periodendauer, die Amplitude der Auslenkung und die Amplitude der Beschleunigung.

1.4 Das unten stehende Diagramm, das über einen längeren Zeitraum aufgenommen wurde, zeigt, dass die Schwingung gedämpft ist. Ermitteln Sie mithilfe des Diagramms den prozentualen Anteil an der Gesamtenergie der Schwingung, welcher in den ersten 16 Sekunden in Wärmeenergie umgewandelt wird.

2.0 Der Pendelkörper eines Feder-Schwere-Pendels besitzt eine Masse von 120 g und wird zu einer nahezu ungedämpften Schwingung mit einer Amplitude von 5,0 cm angeregt. Die Abhängigkeit der Auslenkung y von der Zeit t wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

\(y(t)=-5,0 cm \cdot cos(7,85\frac{1}{s} \cdot t)\)

2.1 Berechnen Sie die Schwingungsdauer und die Federkonstante.

2.2 Ermitteln bzw. geben Sie an, welche Beschleunigung der Pendelkörper jeweils in den Umkehrpunkten und dem Nulldurchgang erfährt.

2.3 Geben Sie die zugehörige Gleichung für die kinetische Energie des Pendelkörpers mit eingesetzten und gekürzten Werten an.

2.4 Berechnen Sie die kinetische Energie des Pendelkörpers zum Zeitpunkt 0,30 s. Verwenden Sie anschließend diesen Wert, um den Betrag der Geschwindigkeit des Pendelkörpers zu bestimmen.

2.5 Beim Feder-Schwere-Pendel spielen drei mechanische Energieformen eine Rolle. Nennen Sie diese und erläutern Sie, welche Änderungen sie auf dem Weg vom oberen zum unteren Umkehrpunkt erfahren.

Lösungen

Die Diagramme für Auslenkung, Geschwindgkeit und Beschleunigung in Abhängigkeit der Zeit enthalten bei einer harmonischen Schwingung sinusförmige Graphen. Dies scheint hier der Fall zu sein.

Zehn Zeitintervalle entsprechen 1,0 Sekunden. Δt = 1,0 s/10 = 0,10 s

T = 1,6 s

vmax = A . ω = A . (2.π/T)

A = (vmax . T)/(2.π) = (1,1 m/s . 1,6 s)/(2.π) = 0,28 m

amax = vmax . ω = vmax . (2.π/T) = 1,1 m/s . (2.π/1,6 s) = 4,3 m/s2

v(0 s) ≈ -1,1 m/s und v(16 s) ≈ -0,85 m/s

Ekin ∼ v2 ⇒ Ekin(16 s)/Ekin(0 s) = (0,85/1,1)2 = 60%

Wärmeenergie = 40%

\(T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{7,85\frac{1}{s}}=0,80s\)

\(T=2π\sqrt{\frac{m}{D}}\)

\(D=4π^{2}\frac{m}{T^{2}}=4π^{2}\frac{0,12kg}{(0,80s)^{2}}=7,4\frac{N}{m}\)

\(|F_{Rü}|=y \cdot D = -0,050m \cdot 7,4\frac{N}{m} = 0,37 N\)

\(|a|=\frac{|F_{Rü}|}{m}=\frac{0,37N}{0,12kg}=3,08 \frac{m}{s^{2}}\)

Oberer Umkehrpunkt: \(a=-3,08 \frac{m}{s^{2}}\)

Unterer Umkehrpunkt: \(a=+3,08 \frac{m}{s^{2}}\)

Nulldurchgang: \(a=0\)

\(v(t)=\dot{y(t)}=+0,050m \cdot7,85\frac{1}{s} \cdot sin(7,85\frac{1}{s} \cdot t)\)=

\(v(t)=0,3925\frac{m}{s} \cdot sin(7,85\frac{1}{s} \cdot t)\)

\(E_{kin}(t)=\frac{1}{2} \cdot m \cdot (v(t))^2=\)

\(E_{kin}(t)=\frac{1}{2} \cdot 0,120kg \cdot (0,3925\frac{m}{s} \cdot sin(7,85\frac{1}{s} \cdot t))^2=\)

\(E_{kin}(t)=9,25mJ \cdot (sin(7,85\frac{1}{s} \cdot t))^2\)

\(E_{kin}(0,30s)=9,25mJ \cdot (sin(7,85\frac{1}{s} \cdot 0,30s))^2 =6,55mJ\)

\(|v(0,30s)|=\sqrt{\frac{2 \cdot E_{kin}}{m}}=\sqrt{\frac{2 \cdot 6,55mJ}{0,120kg}}=0,33\frac{m}{s}\)

Kinetische Energie: Sie nimmt zunächst von Null ausgehend zu, bis sie im Nulldurchgang maximal ist, um dann wieder (sinusförmig) auf Null zu sinken.

Höhenenergie, Lageenergie: Sie nimmt stetig ab und ist im unteren Umkehrpunkt minimal. Der tatsächliche Wert hängt vom gewählten Bezugsniveau ab.

Spannenergie der Feder: Sie nimmt stetig zu. (Voraussetzung ist allerdings, dass die Feder im oberen Umkehrpunkt nicht gestaucht, sondern gedehnt ist.)

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