Der Energieerhaltungssatz bei harmonischen Schwingungen
Elongationsenergie und kinetische Energie
Freie mechanische Schwingungen kommen nur zustande, wenn für einen Körper eine stabile Gleichgewichtslage existiert. Um den Körper aus der Gleichgewichtslage zu entfernen, muss Arbeit verrichtet werden. Wir spüren das beispielsweise, wenn wir den Schwinger eines Feder-Schwere-Pendels nach oben oder unten auslenken. Bei einer harmonischen Schwingung berechnet sich die zu verrichtende Arbeit zu:
\(W=\frac{1}{2} \cdot D \cdot s^{2}\)
Das System gewinnt dadurch Energie. Diese Energie nennen wir Elongationsenergie:
\(E_{\text {elong }}=\frac{1}{2} \cdot \mathbf{D} \cdot \mathrm{A}^{2}\)
Wird der Körper nach dem Auslenken losgelassen, wandelt sich die Elongationsenergie \(E_{elong}\) in kinetische Energie \(E_{kin}\) um, die ihr Maximum beim Nulldurchgang des Schwingers besitzt. Anschließend wird \(E_{kin}\) wieder in \(E_{elong}\) umgewandelt usw.
Ist keine Reibung vorhanden, bleibt die am Anfang verrichtete Arbeit erhalten.
Dass die Gesamtenergie des Systems bei nicht vorhandener Reibung konstant bleibt, lässt sich zeigen, wenn wir die Gleichungen für die Elongationsenergie und die kinetische Energie aufstellen und addieren:
\(E_{\text {elong }}(t)=\frac{1}{2} \cdot D \cdot(s(t))^{2}=\frac{1}{2} \cdot D \cdot(A \cdot \sin (\omega \cdot t))^{2}=\frac{1}{2} \cdot D \cdot A^{2} \cdot(\sin (\omega \cdot t))^{2}\)
\(E_{{\text {elong }}}(t)=\frac{1}{2} \cdot D \cdot A^{2} \cdot \sin ^{2}(\omega \cdot t)\)
\(E_{kin}(t)=\frac{1}{2} \cdot m \cdot (v(t))^{2}=\frac{1}{2} \cdot m \cdot(A \cdot \omega \cdot \cos (\omega \cdot t))^{2}=\frac{1}{2} \cdot m \cdot A^{2} \cdot \omega^{2} \cdot (cos(\omega \cdot t))^2\)
\(\text { mit } \omega=\sqrt{\frac{D}{m}} \text { ergibt sich: }\)
\(E_{kin}(t)=\frac{1}{2} \cdot m \cdot A^{2} \cdot \frac{D}{m} \cdot \cos ^{2}(\omega \cdot t)\)
\(E_{k i n}(t)=\frac{1}{2} \cdot D \cdot A^{2} \cdot \cos ^{2}(\omega \cdot t)\)
Die Summe aus Elongationsenergie und kinetischer Energie bleibt also stets konstant. Sie ist gleich der Elongationsenergie ½·D·A2, die bei der Auslenkung am Anfang aufgewendet wurde.
Die Graphen der Elongationsenergie, der kinetischen Energie und der Gesamtenergie
In der Animation unten ist der zeitliche Verlauf der Energien eines Fahrbahnwagens dargestellt. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Wagen rechts von der Ruhelage losgelassen. Die Elongationsenergie muss deshalb zum Zeitpunkt t = 0 maximal sein, während die kinetische Energie Null ist. Die Gleichung für die Elongationsenergie beinhaltet deshalb einen cos-Term, die Gleichung für die kinetische Energie einen sin-Term:
Bei jedem Nulldurchgang des Körpers ist die Geschwindigkeit des Körpers maximal und damit auch seine kinetische Energie. Befindet sich der Körper dagegen in den Umkehrpunkten, ist seine kinetische Energie 0 und seine Elongationsenergie maximal. Die Elongationsenergie und die kinetische Energie besitzen deshalb die doppelte Frequenz der Auslenkung. Betrachten wir uns die folgenden Additionstheoremen:
\(\mathrm{E}_{\text {elong }}(\mathrm{t})+\mathrm{E}_{\mathrm{kin}}(\mathrm{t})=\frac{1}{2} \cdot \mathrm{D} \cdot \mathrm{A}^{2} \cdot \sin ^{2}(\omega \cdot \mathrm{t})+\frac{1}{2} \cdot \mathrm{D} \cdot \mathrm{A}^{2} \cdot \cos ^{2}(\omega \cdot \mathrm{t})=\)
\(=\frac{1}{2} \cdot \mathrm{D} \cdot \mathrm{A}^{2} \cdot\left(\sin ^{2}(\omega \cdot \mathrm{t})+\cos ^{2}(\omega \cdot \mathrm{t})\right)=\frac{1}{2} \cdot \mathrm{D} \cdot \mathrm{A}^{2}=\mathrm{E}_{\mathrm{ges}}=\text { const. }\)
An der Zwei im Argument der cos-Funktion bestätigt sich unsere Überlegung, dass sich die Elongationsenergie und die kinetische Energie mit der doppelten Frequenz der Auslenkung ändern.
Gedämpfte harmonische Schwingungen
Überlässt man ein Pendel nach dem Auslenken sich selbst, führt es eine freie mechanische Schwingung durch. Dabei treten unvermeidliche Schwingungsenergieverluste durch Reibung in der Aufhängung und im umgebenden Medium auf. Dies äußert sich in der Abnahme der Schwingungsamplitude. Jede freie Schwingung ist also eine mehr oder weniger stark gedämpfte Schwingung. Je nach dem Grad der Dämpfung kann man drei Fälle unterscheiden.
Versuch: Versuchsbeschreibung
Ein Pohl’sches Pendel wird ausgelenkt und sich anschließend selbst überlassen. Die Stärke der Dämpfung wird mit Hilfe einer Wirbelstrombremse variiert. Ein xy-Schreiber erfasst die Auslenkung in Abhängigkeit der Zeit.
Versuchsdurchführung:
Versuchsergebnis:
a) Schwingfall
Bei schwacher Dämpfung sind viele Schwingungsperioden beobachtbar. Erhöhen wir die Dämpfung, so sind nur noch wenige Ausschläge zu beobachten. Die Schwingungsdauer nimmt mit steigender Dämpfung leicht zu.
b) Aperiodischer Grenzfall
Beim Aperiodischen Grenzfall führt das Pendel gerade keine ganze Schwingung mehr durch. Bei dieser Dämpfung erreicht das schwingende System nach kürzester Zeit seine Ruhelage. Bei Messgeräten mit Zeigern oder bei intakten Stoßdämpfern liegt dieser Fall vor.
c) Kriechfall
Bei noch größerer Dämpfung kriecht der Pendelkörper in seine Ruhelage zurück.