Die Zentralkraft
Bei einer beschleunigten geradlinigen Bewegung ist nach dem zweiten Newtonschen Axiom eine bewegungsverursachende Kraft vorhanden. Auch bei einer Rotationsbewegung ist eine Kraft erforderlich, um den Körper auf der Kreisbahn zu halten.
Wendet man das Gesetz von Newton an, so erhält man:
\(\vec { F } = m \cdot \vec { a } = – m \cdot \omega^2 \cdot \vec { r }\) bzw. \(F = m \cdot a = m \cdot \omega^2 \cdot r = m \cdot \frac { v ^ { 2 } } { r }\)
Diese beschleunigende Zentralkraft ist ebenso wie die Zentralbeschleunigung stets zum Kreismittelpunkt gerichtet.
Ob das Gesetz von Newton auch für Kreisbewegungen Gültigkeit besitzt, muss im Folgenden experimentell bestätigt werden.
Experimentelle Bestätigung mit Zentralkraftgerät
Man vermutet, dass der Betrag der Zentralkraft von folgenden Größen abhängt:
- Masse m des Körpers
- Radius r der Kreisbewegung
- Winkelgeschwindigkeit \(\omega\)
Da der Betrag der Zentralkraft von drei Größen abhängig zu sein scheint, müssen wir drei Teilversuche durchführen. Bei jedem der Teilversuche muss eine Größe variiert werden, während die anderen beiden Größen konstant gehalten werden.
Über einen Kraftmesser wird die Zentralkraft gemessen. Die Zentralkraft dehnt den Kraftmesser, was sich auf den Radius r der Kreisbahn auswirkt. Aus diesem Grund ist die Aufhängung des Kraftmessers höhenverstellbar und während der Versuchsdurchführung muss bei jeder Messung der Radius korrigiert werden. Über einen Motor und einen Frequenzmesser mit Lichtschranke kann die Winkelgeschwindigkeit genau eingestellt werden.
In der ersten Messreihe wird die Masse m variiert:
In zwei weiteren Messreihen wird zum einen der Radius r (bei konstanter Masse m und konstanter Frequenz f) und zum anderen die Frequenz f (bei konstanter Masse m und konstantem Radius r) variiert.
Versuchsauswertung
| m in kg | 0,100 | 0,200 | 0,300 |
| \(F _ { Z }\) in N | 0,60 | 1,22 | 1,76 |
Konstante Größen: r = 0,60 m f = 0,50 Hz
| r in m | 0,30 | 0,60 | 0,90 |
| \(F _ { Z }\) in N | 0,32 | 0,60 | 0,92 |
Konstante Größen: m = 0,100 kg f = 0,50 Hz
| f in Hz | 0,25 | 0,50 | 0,92 |
| \(F _ { Z }\) in N | 0,16 | 0,60 | 2,38 |
Konstante Größen: m = 0,100 kg r = 0,60 m
| \(\omega\) in 1/s | 1,57 | 3,1 | 6,3 |
| \(\omega ^ { 2 }\) in 1\(/ s ^ { 2 }\) | 2,46 | 9,9 | 4,0 |
| \(F _ { Z }\) in N | 0,16 | 0,60 | 2,38 |
Die drei Teilversuche werden nun zusammengefasst:
Teilversuch 1: \(F _ { Z } \sim m\)
Teilversuch 2: \( F _ { Z } \sim r \) \( F _ { Z } \sim m \cdot r \cdot \omega ^ { 2 }\) bzw. \(\frac { F _ { Z } } { m \cdot r \cdot \omega ^ { 2 } } = \text { const. } = k \)
Teilversuch 3: \(F _ { Z } \sim \omega ^ { 2 } \)
Die Proportionalitätskonstante k kann berechnet werden. Wir verwenden dazu exemplarisch die Daten aus der 1. Messung des 1. Teilversuches:
\( k = \frac { F _ { Z } } { m \cdot r \cdot \omega ^ { 2 } } = \frac { 0,60 N } { 0,100 k g \cdot 0,60 m \cdot ( 2 \pi \cdot 0,50 s ^ { – 1 } ) ^ { 2 } } = 1,01 \)
Im Rahmen der Messgenauigkeit besitzt die Proportionalitätskonstante den Wert 1. Weitere Messreihen würden dies bestätigen.
Gesamtergebnis
Den Betrag der Zentral- oder Zentripetalkraft bei einer gleichmäßigen Kreisbewegung erhält man mit der Gleichung:
\(F _ { Z } = m \cdot r \cdot \omega ^ { 2 } \quad \text { mit } \quad v = \omega \cdot r \text { ergibt sich: } \)
\(F _ { Z } = m \cdot r \cdot ( \frac { v } { r } ) ^ { 2 } = m \cdot r \cdot \frac { v ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } = m \cdot \frac { v ^ { 2 } } { r } \)
Mit dem 1. Newton’schen Axiom \(F = m \cdot a \) lässt sich daraus auch der Betrag der Zentralbeschleunigung berechnen:
\( a _ { Z } = r \cdot \omega ^ { 2 } = \frac { v ^ { 2 } } { r } \)