Die Gravitationsdrehwaage
Historischer Hintergrund
Der Wert der Gravitationskonstanten G wurde erst 100 Jahre nach der Entdeckung des Newton’schen Gravitationsgesetzes experimentell bestimmt. Hierzu baute der Engländer Cavendish 1798 eine Waage die noch Kräfte im Bereich \( 10^{-10} \mathrm{N} \) anzeigte.
Versuchsbeschreibung
An einem waagrechten Stab sind an den Enden zwei kleine Bleikugeln mit der Masse \( m=15,0 \mathrm{g} \) befestigt. Der Stab ist in seiner Mitte an einem langen, dünnen Draht befestigt und kann sich deshalb frei bewegen. Ein Glasgehäuse (unten nicht eingezeichnet) schützt ihn dabei vor Luftzug. Am Stab ist ein kleiner Spiegel befestigt, der die horizontalen Bewegungen der Kugeln durch einen Lichtzeiger im Abstand \( L=4,86 \mathrm{m} \) stark vergrößert sichtbar werden lässt.
Zunächst befinden sich die zwei schweren Bleikugeln mit der Masse \( M=1,50 \mathrm{kg} \) in einer symmetrischen Position zu den kleinen. Bei Versuchsbeginn werden die großen Bleikugeln den kleinen angenähert. Die kleinen Kugeln „fallen“ nun auf die großen beschleunigt zu, im Prinzip genauso, wie ein Stein auf die Erde fallen würde.
Der Lichtzeiger registriert die Ausrenkung S. In Zeitabständen von \( 30 \mathrm{s} \) werde an der Wand Markierungen angebracht und so die Ausrenkung S als Funktion der Zeit aufgenommen.
Versuchsdurchführung
Versuchsauswertung
Zunächst wird aus der Ausrenkung S der „Fallweg“ s bestimmt. Dabei berücksichtigen wir, dass für kleine Winkel \( \tan{\alpha} \approx \alpha \) ist:
\( \tan (2 \varphi) = \frac{S}{L} \approx 2 \phi \qquad \rightarrow \qquad \varphi = \frac{S}{2L} \)
\( \tan (\varphi) = \frac{S}{l} \approx \varphi \quad \qquad \rightarrow \qquad \varphi = \frac{S}{l} \)
\( \frac{S}{2L} =\frac{s}{l} \)
\(s= \frac{l}{2L} \cdot S = \frac{5,0 \cdot 10^{-2} \mathrm{m} }{2 \cdot 4,86 \mathrm{m}} \cdot S = 5,14 \cdot 10^{-3} \mathrm{m} \cdot S \)
Auf dem „Fallweg“ lässt sich die Beschleunigung der kleinen Kugeln berechnen:
\(s= \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2} \)
\( a = \frac{2s}{t^{2}} \)
Der Mittelwert der Beschleunigung errechnet sich zu \( a= 4,36 \cdot 10^{-8} \frac{m}{s^{2}} \). Aus dem zweiten Newton’schen Gesetz und dem Gravitationsgesetz folgt:
\(F= G\cdot \frac{m \cdot M}{r^{2}} = m \cdot a \)
\(G = \frac{a \cdot r^{2}}{M} = \frac{4,36 \cdot 10^{-8} \mathrm{\frac{m}{s^{2}}} \cdot (4,6 \cdot 10^{-2} \mathrm{m})^{2} }{1,50 \mathrm{kg}} = 6,2 \cdot 10^{-11} \mathrm{\frac{m^{3}}{kg \cdot s^{2}}} \)
Der ermittelte Wert ist etwas zu klein, da die großen Kugeln auf die entfernter liegenden kleinen Kugeln Kräfte ausüben, die der Drehbewegung entgegen wirken.
Es sei noch angemerkt, dass der Versuch in der Praxis nur sehr schwer durchzuführen ist. Es genügen kleinste Erschütterungen, wie sie beispielsweise an einer belebten Straße oder in einem stark frequentierten Gebäude auftreten, um die Versuchsergebjisse stark zu verfälschen. Grund sind die winzigen Gravitationskräfte. Sie betragen in unserem Versuch betragsmäßig nur \( F = m \cdot a = 15 \cdot 10^{-3} \mathrm{kg} \cdot 4,36 \cdot 10^{-8} \mathrm{ \frac{m}{s^{2}}} = 6,5 \cdot 10^{-10} \mathrm{N} \). Die Gravitationskonstante ist deshalb bis heute eine der am ungenausten bestimmten Naturkonstanten.