Gravitation: Aufgaben

Naturkonstanten

Bei allen unten aufgeführten Aufgaben  können Sie folgende Naturkonstanten als bekannt voraussetzen und für die Lösung verwenden:

Gravitationskonstante: \(G= 6,673 \cdot 10^{-11} \mathrm{\frac{m^{3}}{kg \cdot s^{2}}} \)

Erdradius: \( r_{E}= 6378 \mathrm{km} \)

Erdmasse: \( M = 5,974 \cdot 10^{24} \mathrm{kg} \)

Aufgabe 1: International Space Station (ISS)

1.0 Die Internationale Raumsta­tion ISS umrundet die Erde auf einer niedrigen und an­nähernd kreisförmigen Um­laufbahn ohne Eigenantrieb. Ihre Masse beträgt 455 Ton­nen.

1.1 Die mittlere Bahnhöhe der ISS beträgt  \( 400 \mathrm{km} \) über der Erdoberfläche. Sie umkreist die dabei 15,5-mal am Tag. Ermitteln Sie den Betrag der Bahngeschwindigkeit der Raumstation.

1.2 Berechnen Sie die Fallbeschleunigung, die ein Astronaut auf der ISS, also in einer Höhe von \( 400 \mathrm{km} \) über der Erdoberfläche, erfährt.

1.3 Der in Teilaufgabe 1.2 errechnete Wert für die Fallbeschleunigung ist nicht gleich null. Trotzdem kann man beobachten wie die Astronauten oder lose Ausrüstungsgegenstände in der ISS schwerelos herumschieben. Erklären Sie wie dies möglich ist.

Lösungen zur Aufgabe 1

\( u= 2\pi \cdot (r_{E} + h) = 2 \pi \cdot (6378 + 400) \mathrm{km}= 42587 \mathrm{km} \)

\( T= \frac{1 \mathrm{d}}{15,5} = \frac{24 \cdot 60 \cdot 60 \mathrm{s}}{15,5} = 5574 \mathrm{s} \)

\( v=\frac{u}{T}= \frac{42587 \mathrm{km}}{5574 \mathrm{s} } = 7,64 \mathrm{\frac{km}{s}} \)

\( F_{Z} = F_{G} \)

\( m \cdot a_{Z} = G \cdot \frac{m \cdot M}{(r_{E}+h)²} \)

\(  a_{Z} =g_{\text{ISS}}= G \cdot \frac{M}{(r_{E}+h)²} = 6,673 \cdot 10^{-11} \mathrm{\frac{m^{3}}{kg \cdot s^{2}}}  \cdot   \frac{5,974 \cdot 10^{24} \mathrm{kg} }{(6,378 \cdot 10^{6}+400 \cdot 10^{3})² \mathrm{m^2}}   = 8,68 \mathrm{\frac{m}{s^2}}     \)

Erklärung für das Bezugssystem eines außenstehenden Beobachters:

Die Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft und hält somit die Raumstation inklusive aller Insassen und Gegenstände auf der kreisförmigen Bahn um die Erde. Alle Körper und Gegenstände unterliegen der gleichen Fallbeschleunigung (siehe 1.2) und befinden sich daher im ständigen freien Fall um die Erde.

Alternative Erklärung für das Bezugssystem eines Beobachters im beschleunigten System der Raumstation:

In diesem Bezugssystem wirkt neben der Zentripetalkraft noch eine nach außen gerichtete Zentrifugalkraft. Diese ist der Zentripetalkraft entgegengerichtet und betragsmäßig gleich groß. Beide Kräfte heben sich auf, so dass die resultierende Kraft gleich Null ist.

Aufgabe 2: Planetenbewegungen um die Sonne

2.0 Die Planeten durchlaufen bei ihrem Umlauf um die Sonne näherungsweise Kreisbahnen mit dem Radius r. Die Umlaufdauer wird im Folgenden mit T, die Gravitationskonstante mit G und die Masse der Sonne mit \( M_{S} \) bezeichnet.

2.1 Zeigen Sie, dass der Zusammenhang \( T^{2}=\frac{4 \pi^{2}}{G \cdot M_{S}} \cdot r^{3} \) gilt.

2.2.0 Im folgenden Diagramm sind für die Planeten Merkur, Venus und Mars die Quadrate ihrer Umlaufzeiten über die dritte Potenz ihrer Kreisbahnradien aufgetragen.

2.2.1 Erläutern Sie kurz, warum man anhand des Diagramms erkennen kann, dass \( T^{2} \sim r^{3} \) gilt und bestimmen Sie mit Hilfe des Diagramms die Masse \( M_{S} \) der Sonne.

2.2.2 Ermitteln Sie mit Hilfe des Diagramms aus der allgemein bekannten Umlaufdauer \(T_{E} \) der Erde den Radius \( r_{E} \) der Erde um die Sonne.

Lösungen

\( F_{Z} = F_{G} \)

\( m \cdot \omega^{2} \cdot r = G \cdot \frac{m \cdot M_{S}}{r²} \)

\( m \cdot (\frac{2 \pi}{T})² \cdot r =G \cdot \frac{m \cdot M_{S}}{r²} \)

\( \frac{4 \pi^{2}}{T²} \cdot r = G \cdot \frac{ M_{S}}{r²} \)

\(T² = \frac{4 \pi²}{G \cdot M_{S}} \cdot r³ \)

Im Rahmen der Messgenauigkeit liegen die Punkte auf einer Ursprungsgeraden, also gilt \( T \sim r³ \) bzw. \(T² = k \cdot r³ \) mit \( k= \text{sonst.} \)

Für die Steigung der Ursprungsgeraden gilt:

\( \frac{\Delta T²}{\Delta r³} = \frac{30 \cdot 10^{14} \mathrm{s^2}}{10 \cdot 10^{33} \mathrm{m³}}= 3,0 \cdot 10^{-19} \mathrm{\frac{s²}{m³}}=k \)

Mit \(T²=k \cdot r³= \frac{4 \pi²}{G\cdot M_{S}} \cdot r³ \) folgt \(k= \frac{4 \pi²}{G \cdot M_{S}} \) bzw. \( M_{S}= \frac{4 \pi²}{k \cdot G} \)

Für die Masse der Sonne ergibt sich also:

\( M_{S}= \frac{ 4 \pi^2  }{ 3,0 \cdot 10^{-19} \mathrm{\frac{s²}{m³}} \cdot 6,673 \cdot 10^{-11} \mathrm{\frac{m³}{kg \cdot s^2}}  } = 2,0 \cdot 10^{30} \mathrm{kg}\)

Die Umlaufdauer der Erde um die Sonne beträgt \( T_{E}=365 \mathrm{d} = 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 \mathrm{s} \)

Da im Diagramm nur die quadrierten Umlaufdauern aufgetragen sind, muss dies umgerechnet werden:

\( {T_{E}}²=9,95 \cdot 10^{14} \mathrm{s²} \)

Nun kann man den zugehörigen Wert für \(r³ \) aus dem Diagramm ablesen:

Aus dem Diagramm folgt: \( {r_{E}}³ = 3,3 \cdot 10^{33} \mathrm{m³} \quad \rightarrow \quad r_{E}= 1,5 \cdot 10^{11} \mathrm{m} \)

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