Anwendungsaufgaben: Kurvenfahrten
Kurvenüberhöhung; Steilkurve
Aufgaben:
1 Zu berechnen ist, wie stark die äußere Schiene überhöht sein muss, damit ein Zug mit der Geschwindigkeit v = 108 km/h in einer Kurve vom Radius r = 900 m senkrecht auf die Verbindungslinie der beiden Schienen drückt, so dass Kipp- und Schleudergefahr sowie Abnutzungen vermieden werden. Die Spurweite beträgt s = 1435 mm. Eine Zeichnung einschließlich Kräfteplan ist anzufertigen.
Kräfteplan
\begin
\begin \\ \end
\end
Lösungen
\begin \\ \\ \\ \end
Üblicher ist folgende Näherungslösung:
Für kleine Winkel gilt: \( \sin {\alpha} \thickapprox \tan {\alpha} \thickapprox \alpha \)
Hieraus folgt:
\( \sin {\alpha} = \frac{h}{s} \quad \Rightarrow \quad h=s \cdot \sin{\alpha} \thickapprox s \cdot \tan{\alpha} = s \cdot \frac{F_{rad}}{F_{G}} = s \cdot \frac{m \cdot \frac{v²}{r}}{m \cdot g} = \frac{s \cdot v²}{r \cdot g} \)
Also:
\( h= \frac{1435 \mathrm{mm} \cdot {(\frac{108000\mathrm{m} }{3600 \mathrm{s}}})^2} {900 \mathrm{m} \cdot 9,81 \mathrm{\frac {m}{s^2}}} =146 \mathrm{mm} \)
Kurvenfahrt eines Fahrradfahrers
Bei einer Kurvenfahrt mit dem Fahrrad neigt sich der Fahrer zum Kreismittelpunkt hin. Die Gewichtskraft \(\vec { F } _ { G }\) und die Kraft der Unterlage \(\vec { F } _ { U }\) addieren sich zur Zentralkraft \(\vec { F } _ { Z }\) . Je höher die Bahngeschwindigkeit des Radfahrers bei einem bestimmten Radius ist, desto höher ist auch die notwendige Zentralkraft. Eine höhere Zentralkraft kann nur dann entstehen, wenn sich der Radfahrer stärker neigt. Wird dem Radfahrer die Neigung seines Fahrzeuges bei einer rasanten Kurvenfahrt zu groß und richtet er sich auf, wird der Kurvenradius unweigerlich größer werden, da die Zentralkraft dann nicht mehr den notwendigen Betrag hat.
Die Unterlage muss die Gewichtskraft und die Zentralkraft aufnehmen. Da die Zentralkraft nur eine horizontale Komponente besitzt, muss sie vollständig von der Reibungskraft zwischen Reifen und Unterlage aufgebracht werden. Ist dies nicht möglich, weil die Unterlage zu glatt ist, rutscht der Radfahrer weg. Wir können die maximal mögliche Bahngeschwindigkeit berechnen. Der Reifen beginnt gerade zu rutschen, wenn die Zentralkraft der maximal möglichen Haftreibungskraft entspricht:
\(\left. \begin{array} { l } { F _ { Z } = F _ { R , \text{ max } } } \\ { \frac { m \cdot v _ { \text{ max } } ^ { 2 } } { r } = \mu _ { H } \cdot m \cdot g } \\ { v _ { \text { max } } = \sqrt { \mu _ { H } \cdot g \cdot r } } \end{array} \right.\)
Auch den maximal möglichen Neigungswinkel können wir bestimmen:
\(\text { tan } ( \alpha _ { \text{ max } } ) = \frac { F _ { R , \text{ max } } } { F _ { G } } = \frac { \mu _ { H } \cdot m \cdot g } { m \cdot g } = \mu _ { H }\)