Anwendungsaufgaben: Kosmische Geschwindigkeit

Im Film „Asterix erobert Rom“ müssen Asterix und Obelix 12 Aufgaben erfüllen um ihre Göttlichkeit unter Beweis zu Stellen. Bei einer dieser Aufgaben müssen sie den Perser Hermes, den angeblich besten Speerwerfer aller Zeiten schlagen. Wie nicht anders zu erwarten, wirft Obelix den Speer natürlich nicht einfach nur „weit“, sondern gleich komplett um die ganze Erde:

Im Folgenden stellt sich nun die Frage, ob es sich ausgezahlt hat, dass Obelix als Kind in den Zaubertrank gefallen ist. Mit welcher Geschwindigkeit hat er den Speer abgeworfen. Oder anders ausgedrückt:

Mit welcher Geschwindigkeit v müsste theoretisch ein Körper der Masse m waagrecht abgeschossen werden, damit er die Erde knapp über ihrer Oberfläche auf einer Kreisbahn umrundet? Wie groß ist dann die Umlaufdauer T?

Zur Vereinfachung werden sämtliche Reibungseffekte (inklusive Luftreibung)  vernachlässigt.

In diesem Fall wirkt die Gewichtskraft als Radial- bzw. Zentralkraft:

\( { F _ { Z } = F _ { G } } \ { \frac { m \cdot v ^ { 2 } } { r_{Erde} } = m \cdot g \quad \Rightarrow \quad v ^ { 2 } = r \cdot g }  \)

\({ v = \sqrt { r_{Erde} \cdot g } = \sqrt { 6,37 \cdot 10 ^ { 6 } \mathrm{m} \cdot 9,81 \frac { \mathrm{m} } { \mathrm{s ^ { 2 }} } } = 7,91 \cdot 10 ^ { 3 } \mathrm{\frac{m}{s}} = 7,91 \mathrm{\frac { k m } { s }} } \)

Hierbei spricht man auch oft von der ersten kosmischen Geschwindigkeit.

Für die Umlaufdauer des geworfenen Speers würde sich folgendes ergeben:

\( T = \frac { 2 \pi \cdot r } { v } = \frac { 2 \pi \cdot 6,37 \cdot 10 ^ { 6 } \mathrm{m} } { 7,91 \cdot 10 ^ { 3 } \mathrm{\frac{m}{s}} } = 5060 \mathrm{s} = 84,3 \mathrm{min} \)