Schaltung von Kondensatoren
Parallelschaltung
Die Spannung \( U_0 \) der Spannungsquelle liegt an allen Kondensatoren an:
\( U_0=U_1=U_2=U_3 \)
Für die Einzelladungen erhält man:
\( Q_1=C_1 \cdot U_1; \;\;\;Q_2=C_2 \cdot U_2; \;\;\;Q_3=C_3 \cdot U_3\)
Die Gesamtladung der Kondensatoren ergibt sich zu:
\( Q_{ges}=Q_1+Q_2+Q_3 \)
Die drei Einzelkondensatoren können durch eine Ersatzkapazität \( C_{ges} \) ersetzt werden, wobei an der Ersatzkapazität \( U_0\) anliegt und die Ladung \( Q_{ges} \) gespeichert ist:
\( Q_{ges}=Q_1+Q_2+Q_3=C_1 \cdot U_1 + C_2 \cdot U_2 + C_3 \cdot U_3=\)
\( =C_1 \cdot U_0 + C_2 \cdot U_0 + C_3 \cdot U_0= \left (C_1+C_2+C_3 \right ) \cdot U_0 =\)
\( =C_{ges} \cdot U_0 \)
Zusammengefasst gilt:
\( \boxed{C_{ges}=C_1+C_2+C_3} \;\;\;Gesamtkapazität\;bei\;Parallelschaltung \)
Reihenschaltung
Die Spannung \( U_0 \) der Spannungsquelle teilt sich auf die Kondensatoren auf:
\( U_0=U_1+U_2+U_3\)
Die Spannungsquelle \( \left (U_0\right ) \) läd die obere Platte von \(C_1\) positiv auf. Sie entzieht ihr Elektronen der Ladung \( -Q \) und führt sie der unteren Platte von \(C_3\) zu. Beide Ladungen influenzieren auf den zweiten Platten ihres Kondensators Ladungen \( ( -Q \) auf \( C_1 \) und \( +Q \) auf \( C_3 ) \). Die influenzierten Ladungen wirken nach innen weiter und geben auch dem inneren Kondensator \( C_2 \) die Influenzladungen \(+Q\) und \(-Q\). Die Ladungen der vier innen liegenden Platten heben sich auf. Sie behalten ihre Gesamtladung Null bei. Das sollte uns nicht wundern, sind sie doch über die Spalte in den Kondensatoren isoliert (Trotzdem fließt während des Ladevorgangs in den Verbindungsleitungen zwischen den Kondensatoren ein Strom). Die Ladung, die die einzelnen Kondensatoren tragen sind demnach gleich groß und entsprechen der von außen aufgebrachten Ladung \(Q_0\):
\(Q_0=Q_1=Q_2=Q_3\)
Die Teilspannungen an den Kondensatoren berechnen sich zu:
\(U_1=\frac{Q_1}{C_1}; \;\;\; U_2=\frac{Q_2}{C_2}; \;\;\; U_3=\frac{Q_3}{C_3} \)
Wie bei der Parallelschaltung kann man eine Ersatzkapazität \( C_{ges} \) ermitteln, die die Ladung \( Q_0 \) trägt:
\( U_0=U_1+U_2+U_3=\frac{Q_1}{C_1}+\frac{Q_2}{C_2}+\frac{Q_3}{C_3}=\frac{Q_0}{C_1}+\frac{Q_0}{C_2}+\frac{Q_0}{C_3}=Q_0 \cdot \frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3} \)
mit \(U_0=Q_0 \cdot \frac{1}{C_{ges}} \) ergibt sich:
\( \boxed{\frac{1}{C_{ges}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}} \;\;\; Gesamtkapazität\;bei\;Reihenschaltung\)
Exkurs: Kapazität einer Kugel mit Radius \( R \)
Die Definition der Kapazität gilt für alle Körper, die Ladungen aufnehmen können. Wie wir bereits wissen, berechnet sich das Potenzial einer Kugel im Außenraum mit dem Bezugsniveau im Unendlichen (bzw. der „Erde“) mit:
\( \varphi(r)=\frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon_0} \cdot Q \cdot \frac{1}{r} \)
Auf der Kugeloberfläche einer Kugel mit dem Radius \( R \) herrscht damit das Potenzial:
\( \varphi(r)=\frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon_0} \cdot Q \cdot \frac{1}{R} \)
Damit erhält man für die Kapazität:
\( C=\frac{Q}{U}=\frac{Q}{\frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon_0} \cdot Q \cdot \frac{1}{R}} \)
\( \boxed{C=4\pi \cdot \varepsilon_0 \cdot R} \;\;\;Kapazität\;einer\;geladenen\;Kugel\;mit\;Radius\;R \)