Bewegung geladener Teilchen im Magnetfeld

Die Lorentzkraft – Überlegungen

Hinweis: Die Lorentzkraft steht nicht explizit im Lehrplan, da widerum keine mikroskopischen Teilchen betrachtet werden sollen. Allerdings steht die Formel in der Formelsammlung, weswegen sie hier kurz behandelt wird. Außerdem wurde bereits die Kraftwirkung auf einen elektrischen Leiter im Magnetfeld behandelt, weswegen es ab hier nur ein sehr kleiner Schritt ist. Desweiteren beginnt das Kapitel „Induktion“ mit der Lorentzkraft und ist sehr hilfreich für dessen Verständnis.

In den letzten Abschnitten haben wir die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld untersucht. Wir haben dabei festgestellt, dass die Kraft nur dann auftritt, wenn ein Strom fließt. Stromfluss bedeutet aber, dass sich die Elektronen im Leiter in eine Richtung bewegen. Es ist nun naheliegend, anzunehmen, dass die Kraft nicht nur auf die Elektronen im Stromfluss wirken, sondern auch auf mit dem Leiter mitbewegte Elektronen.

Tatsächlich bewegt sich der Ladungsträger in beiden Bildern gleichförmig von links nach rechts, weswegen in beiden Bildern für die Kraftwirkung \( \vec{F}=I \cdot \left ( \vec{l} \times \vec{B} \right ) \) gilt.

Da sich die negativen Ladungsträger von links nach rechts in \(x\)-Richtung exakt senkrecht zum Magnetfeld bewegen – egal ob durch Stromfluss oder mechanische Bewegung des Drahtes gilt deshalb für den Betrag der Kraft:

\( F=I \cdot l \cdot B \)

Der elektrische Strom beschreibt die Verschiebung von Ladungen pro Zeiteinheit: \( I=\frac{\Delta Q}{\Delta t} \)

Für die Geschwindigkeit der Ladungsträger von links nach rechts gilt in beiden Bildern: \( v=\frac{l}{\Delta t}\;\;bzw.\;\; l=v \cdot \Delta t\)

Beides eingesetzt ergibt

\( F=\frac{\Delta Q}{\Delta t} \cdot v \cdot \Delta t \cdot B \)

Somit ergibt sich für die Kraft: \( F=\Delta Q \cdot v \cdot B \)

Die Lorentzkraft – Ergebnis

Bewegt sich ein Teilchen mit der Ladung \(q\) mit der Geschwindigkeit \(\vec{v}\) senkrecht zu den Feldlinien eines Magnetfeldes mit der Flussdichte \(\vec{B}\), so erfährt es eine Lorentzkraft mit dem Betrag:

\( \boxed{F_L=q \cdot v \cdot B}\;\;\;Betrag\;der\;Lorentzkraft \)

Die allgemeinere, vektorielle Schreibweise der Gleichung für die Lorentzkraft lautet:

\( \boxed{\vec{F_L}=q \cdot \left ( \vec{v} \times \vec{B} \right )}\;\;\;Lorentzkraft\)

Durch die Bildung des Kreuzproduktes werden auch die Fälle richtig behandelt, bei denen der Geschwindigkeitsvektor und der Flussdichtevektor nicht senkrecht aufeinander stehen. Die Komponente des Flussdichtevektors, die in die Richtung des Geschwindigkeitsvektors weist, hat dabei keinen Einfluss auf den Betrag der Lorentzkraft. Der Kraftvektor, den man durch die Bildung des Kreuzproduktes erhält, steht immer senkrecht auf dem Flussdichtevektor und dem Geschwindigkeitsvektor! Anders ausgedrückt, es ist keine Kraftkomponente in Bewegungsrichtung vorhanden! Damit ist es unmöglich, an geladenen Teilchen mit Magnetfeldern Beschleunigungsarbeit zu verrichten, weshalb es auch keine potenzielle Energie des magnetischen Feldes gibt. Die geladenen Teilchen können durch Magnetfelder allenfalls abgelenkt werden.

Exkurse – Anmerkung

Die folgenden Beispiele behandeln zwar Phänomene mit mikroskopischen elektrisch geladenen Teilchen im magnetischen Feld. Exemplarisch werden an diesen wichtigen Experimenten der Physik aber die Kraftgesetze an bewegten elektrisch geladenen Körpern im magnetischen Feld demonstriert, insbesondere die Lorentzkraft im Zusammenspiel mit der elektrischen Kraft:

• Im Fadenstrahlrohr wirkt die Lorentzkraft als Zentripetalkraft. Mit dieser Versuchsanordnung kann letztendlich die Masse von kleinen geladenen Teilchen, bis hin zu Elementarteilchen, bestimmt werden.
• Im Geschwindigkeitsfilter wirken elektrische und magnetische Kraft auf ein bewegtes geladenes Teilchen derart, dass sich beide Kräfte ausgleichen. Tatsächlich durchlaufen ausschließlich ähnlich schnelle Teilchen die Anordnung ungestört. Der Geschwindigkeitsfilter ist die Voraussetzung der beiden folgenden Anwendungen:
• Im Massenspektrometer werden gleich schnelle geladene Teilchen auf eine Kreisbahn in einem Magnetfeld geschickt. Wie beim Fadenstrahlrohr kann über die Zentripetalkraft nun die Masse dieser Teilchen bestimmt werden.
• Mit der Hall-Sonde wird die Stärke von Magnetfeldern gemessen. Auch hier wird das Prinzip des Geschwindigkeitsfilters verwendet: Das zu messende Magnetfeld baut eine elektrische Spannung auf, bis sich elektrische und magnetische Kraft ausgleichen.

Exkurs – Das Fadenstrahlrohr

Befindet sich in einer fast vollständig evakuierten Röhre eine geringe Menge Wasserstoffgas, so wird ein Elektronenstrahl durch die Wechselwirkung der Elektronen mit den Gasmolekülen sichtbar. Eine solche Röhre wird als Fadenstrahlrohr bezeichnet. Mit dem Fadenstrahlrohr ist es, wie wir zeigen werden, möglich, den Quotienten aus Elektronenladung und Elektronenmasse zu bestimmen. Da wir die Elektronenladung schon vom Milikanversuch her kennen, können wir mit dem Fadenstrahlrohr die Elektronenmasse ermitteln. Zunächst muss das Fadenstrahlrohr von einem möglichst homogenen Magnetfeld durchdrungen werden. In der Regel verwendet man für seine Erzeugung ein sogenanntes Helmholtz-Spulenpaar, das das Fadenstrahlrohr umgibt. Über die Spulenstromstärke kann die Flussdichte eingestellt werden. Die Beschleunigungseinheit ist so angeordnet, dass der Geschwindigkeitsvektor der Elektronen senkrecht auf dem Flussdichtevektor steht. Wie wir wissen, wirkt auf die bewegten Elektronen nun eine Lorenztkraft, die wiederum senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor und dem Flussdichtevektor steht. Die Lorentzkraft lenkt die Elektronen nun von ihrer geraden Bahn ab, der Geschwindigkeitsvektor ändert also seine Richtung. Wichtig ist nun, dass sich der Vektor der Lorentzkraft mit dem Geschwindigkeitsvektor mitdreht, also weiterhin ein 90°-Winkel zwischen den beiden Vektor liegt. Es ist nicht das erste Mal, dass uns eine Kraft begegnet, die immer quer zu einem Geschwindigkeitsvektor gerichtet ist. Die Lorentzkraft wirkt als Zentralkraft! Die Elektronen werden auf eine Kreisbahn gelenkt:

Den Kreisradius des Fadenstrahls können wir berechnen. Der Betrag der Lorentzkraft entspricht dem Betrag der Zentralkraft:

\( F_L=F_Z \)

\( e \cdot v \cdot B =m \cdot \frac{v^2}{r} \)

Die Geschwindigkeit der Elektronen nach der Beschleunigungseinheit ist:

\( e \cdot U_a = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \rightarrow v=\sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U_a}{m}} \)

Wir kürzen, quadrieren und setzen ein:

\( e \cdot B=m \cdot \frac{v}{r}\)

\(e^2 \cdot B^2 =m^2 \cdot \frac{2 \cdot e \cdot U_a}{m}\cdot \frac{1}{r^2}\)

Nach dem Umstellen erhalten wir:

\( e \cdot B^2=\frac{m \cdot 2 \cdot U_a}{r^2} \)

\( \frac{e}{m}=\frac{2 \cdot U_a}{r^2 \cdot B^2}\)

Damit haben wir eine Gleichung gefunden, mit der wir die sogenannte spezifische Ladung berechnen können:

\( \frac{e}{m}=\frac{2 \cdot U_a}{r^2 \cdot B^2}=1,7588 \cdot 10^{11}\frac{As}{kg}\)

Da wir, wie oben bereits erwähnt, die Ladung des Elektrons schon kennen, können wir nun die Elektronenmasse berechnen:

\( m=\frac{e}{1,7588 \cdot 10^{11}\frac{As}{kg}}=9,11 \cdot 10^{-31}kg\)

Nicht nur bei Elektronen findet diese Art der Massenbestimmung Anwendung. Auch bei anderen geladenen Teilchen, wie etwa dem Proton, kann die Masse bzw. die Ladung über den Radius der Kreisbahn im Magnetfeld bestimmt werden. Dies wird beim weiter unten angeführten Massenspektrometer vorgestellt.

Exkurs – Der Geschwindigkeitsfilter

Für etliche Anwendungen in der Physik werden Teilchen einer bestimmten Geschwindigkeit benötigt. Der unten gezeichnete Geschwindigkeitsfilter besteht aus zwei sich überlagernden Feldern. Ein elektrisches Feld, gebildet durch Kondensatorplatten, wird von einem senkrecht dazu stehenden Magnetfeld überlagert. Auf die geladenen Teilchen, die senkrecht zu den elektrischen Feldlinien in den Kondensator eintreten wirkt eine elektrische Kraft, die das Teilchen je nach Ladung und Kondensatorpolarität nach oben oder unten ablenkt. Unabhängig von der Ladungsart wirkt immer in entgegengesetzter Richtung die Lorentzkraft. Da die Lorentzkraft abhängig von der Geschwindigkeit ist, muss ein Teilchen eine ganz bestimmte Geschwindigkeit haben, um den Kondensator ohne Ablenkung passieren zu können. Tritt keine Ablenkung auf, dann ist die elektrische Kraft betragsmäßig genauso groß wie die Lorentzkraft. Ist ein Teilchen zu schnell oder zu langsam, trifft es ober- oder unterhalb des Lochs in der Blende auf:

Die Geschwindigkeit, mit der das Loch in der Blende von einem Teilchen passiert wird, lässt sich mit dem folgenden Kraftansatz bestimmen:

\( \left | \vec{F_L}\right |=\left | \vec{F_{el}}\right |\)

\( q \cdot v \cdot B = q \cdot E \)

\( \boxed{v=\frac{E}{B}}\;\;\;Durchlassgeschwindigkeit\;beim\;Geschwindigkeitsfilter\)

Interessanterweise kommen in der letzten Gleichung weder die Ladung noch die Masse vor. Für die Durchlassgeschwindigkeit des Filters kommt es nur auf das Verhältniss von Flussdichte zu elektrischer Feldstärke an. Wichtig ist allerdings, dass die Teilchen geladen sind, damit elektrische und magnetische Kräfte wirken können. Bei neutralen Atomen erreicht man dies durch eine Ionisierungseinheit, die für Elektronenmangel oder -überschuss sorgt. Die Masse der Teilchen spielt nur dann eine Rolle, wenn die Teilchen das Loch in der Blende nicht durchqueren. Leichtere Teilchen treffen dann weiter vom Loch entfernt auf die Blende auf oder beschreiben sehr komplizierte Bahnen.

Exkurs – Das Massenspektrometer

Eine Anwendung des Geschwindigkeitsfilters ist der Massenspektrograph, mit dem die Massen von Elementarteilchen, Atomen oder Molekülen sehr genau bestimmt werden können. Des weiteren kann man bei Stoffgemischen sehr genau deren Zusammensetzung ermitteln. Nach dem Passieren des Geschwindigkeitsfilters ist beim Massenspektrographen nur noch ein Magnetfeld und damit eine Lorentzkraft vorhanden. Sie zwingt die Teilchen auf eine Kreisbahn, da sie, wie wir schon besprochen haben, als Zentralkraft wirkt. Der Kreisbahnradius ergibt sich zu:

\( F_L=F_Z \)

\( q \cdot v \cdot B=m \cdot \frac{v^2}{r}\)

\( r=\frac{m \cdot v}{q \cdot B} \)

Bei konstant gehaltenen \( v\), \(B\) und \(q\) ist der Radius \(r\) proportional zur Teilchenmasse. Am Ende ihrer Flugbahn prallen die Teilchen auf eine Photoplatte und hinterlassen dort schwarze Markierungen. Die Schwärzung der Teilchen ist ein Maß für die Anzahl der auftreffenden Teilchen mit den unterschiedlichen Massen:

Exkurs – Der Hall-Sensor

Die Lorentzkraft auf Elektronen im Leiterinneren bewirkt einen weiteren, sehr wichtigen Effekt. Man verwendet diesen Effekt u. a. dazu, die Flussdichte eines magnetischen Feldes zu messen. Wir betrachten ein Metall- oder Halbleiterplättchen, das durch das Anlegen einer Spannung von einem Strom durchflossen wird. Wird das Plättchen nun von einem Magnetfeld durchsetzt, dessen Flussdichtevektor senkrecht auf der Bewegungsrichtung der Elektronen steht, entsteht eine Lorentzkraft, die wiederum senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor und dem Flussdichtevektor steht:

Die Lorentzkraft drängt je nach Richtung des Flussdichtevektors die Elektronen nach oben oder unten. Dadurch entsteht an der Ober- und Unterkante Elektronenüberschuss bzw. -mangel. Die unterschiedliche Konzentration an Ladungsträgern bewirkt den Aufbau eines elektrischen Feldes und damit einer Spannung zwischen Ober- und Unterkante des Plättchens. Diese Spannung wird als Hallspannung bezeichnet. Das elektrische Feld erzeugt nun sehr schnell eine Gegenkraft zur Lorentzkraft, die dafür sorgt, dass die Elektronenwanderung und damit der Anstieg der Hallspannung stoppt. Nach sehr kurzer Zeit entsteht ebenfalls die Bedingung eines Geschwindigkeitsfilters und es gilt damit:

\( \left | \vec{F_L}\right |=\left | \vec{F_{el}}\right |\)

Unter der Bedingung, dass der Vektor der Driftgeschwindigkeit senkrecht auf dem Flussdichtevektor steht gilt:

\( e \cdot v \cdot B =e \cdot E \)

Die elektrische Feldstärke im Plättchen berechnet sich aus der Spannung \(U_H\) zwischen der Ober- und der Unterkante des Plättchens und dessen Höhe \(h\) zu \(E = \frac{U_H}{h}\). Daraus folgt:

\(e \cdot v \cdot B=e \cdot \frac{U_H}{h}\)

\( \boxed{U_H=B \cdot v \cdot h}\;\;\;Hallspannung\;(I)\)

In der letzten Gleichung erkennt man, dass sich die Hallspannung proportional zur Flussdichte verhält. Das ist der Grund, warum sich ein Hallplättchen so gut zur Messung von magnetischen Feldern eignet. Da die Driftgeschwindigkeit der Elektronen im Halbleiterplättchen mit der Stromstärke verknüpft ist, kann man die Gleichung für die Hallspannung noch umformen.

\(I\) ist somit:

\(I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{n \cdot V \cdot e}{\Delta t}=\frac{n \cdot A \cdot l \cdot e}{\Delta t}\)

Die Driftgeschwindigkeit der Elektronen ist:

\(v=\frac{l}{\Delta t}\)

Wir ersetzten in der obigen Gleichung für die Stromstärke die Größe \(l\) durch \(v \cdot \Delta t\):

\(I=\frac{n \cdot A \cdot v \cdot \Delta t \cdot e}{\Delta t}\)

Damit haben wir unseren gesuchten Zusammenhang zwischen der Stromstärke und der Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger gefunden. Die Stromstärke durch einen Leiter ist proportional zur Driftgeschwindigkeit, der Ladungsträgerdichte und dem Leiterquerschnitt:

\( \boxed{I=n \cdot A \cdot v \cdot e}\;\;\;Zusammenhang\;zwischen\;Stromstärke\;und\;Driftgeschwindigkeit\)

Wir stellen die obige Gleichung nach \(v\) um und ersetzen die Querschnittfläche \(A\) unseres rechteckigen Hallplättchens durch \(h \cdot d\), wobei \(d\) die Dicke des Hallplättchens ist:

\( U_H=B \cdot v \cdot h=B \cdot \frac{I}{n \cdot A \cdot e}\cdot h=B \cdot \frac{I}{n \cdot h \cdot d \cdot e}\cdot h\)

Die Höhe \(h\) des Hallplättchens fällt heraus und wir erhalten die folgende Gleichung:

\(\boxed{U_H=\frac{B \cdot I}{n \cdot d \cdot e}}\;\;\;Hallspannung\;(II)\)

Für eine große Hallspannung ist gut, wenn die Dicke des Plättchens klein und die Ladungsträgerdichte gering ist. Dazu im Widerspruch steht, dass der Strom durch die Hallsonde möglichst groß sein soll. Aus diesem Grund werden häufig Halbleiter eingesetzt, die den Strom realtiv gut leiten und eine wesentlich kleinere Ladungsträgerdichte besitzen als Metalle.