Coulomb’sches Gesetz, Feldstärke: Aufgaben
Testen Sie Ihr Wissen an folgenden Beispielen:
Aufgabe 1
1.1 Berechnen Sie, mit welcher Kraft sich zwei gleichnamige Ladungen von je 1,50 nC bei einem Abstand von 0,50 m abstoßen.
1.2 Wie groß ist eine Ladung Q1, die im Abstand von 6,0 cm von einer zweiten Ladung Q2 = 30 nC mit einer Kraft von 0,040 mN angezogen wird?
1.3 Die Oberflächen zweier gleich großer Metallkugeln mit einem Durchmesser von 20,0 cm haben einen Abstand von 1,00 m. Welche Kraft erfahren die Kugeln, wenn die Ladung jeder Kugel 2,50 nC beträgt?
Lösungen
Der Abstand gilt immer vom Mittelpunkt der ladungstragenden Körper. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab. Die Kraft wirkt wechselseitig auf beide Körper (actio gegengleich reactio).
\( F_C=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2}=\frac{1}{4\pi \cdot 8{,}854\cdot 10^{-12}\frac{As}{Vm}} \frac{1{,}5\cdot 10^{-9}\; C \cdot 1{,}5\cdot 10^{-9}\; C}{(0{,}5\; m)^2}=81 \; nN=8{,}1\cdot10^{-8}N \)
Da die beiden Ladungen sich anziehen, müssen die Körper diesmal entgegengesetzt geladen sein.
Es gilt dieselbe Formel wie in Aufgabe 1: \( F_C=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2}\)
Diese muss nach \(Q_1\) umgestellt werden: \(Q_1 =F_C \cdot 4\pi \epsilon_{0} \cdot \frac{r^2}{Q_2}=0{,}04\cdot 10^{-3}\; N \cdot 4\pi \cdot 8{,}854\cdot 10^{-12}\frac{As}{Vm} \cdot \frac{(0{,}06\; m)^2}{30\cdot 10^{-9}\; C}\)
Vorsicht! Setzt man die Werte einfach so in die Formel ein, erhält man kein negatives Vorzeichen für \(Q_1\). Daran muss man selbst denken, oder die anziehende Kraft mit dem negativen Wert \(- 0{,}04\cdot 10^{-3}\; N\) einsetzen.
\( Q_1=-0{,}53 \:nC=-5{,}3\cdot 10^{-10}\;C=-0{,}53\cdot 10^{-9}\;C \)
Der Abstand der Oberflächen ist für die Coulombkraft nicht entscheidend, sondern immer der Abstand der Kugelmittelpunkte:
Um den Korrekten Wert \(r\) für die Formel \(F_C=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2}\) zu finden, muss man also zum Abstand der Oberflächen noch zwei Mal den Radius der Kugeln hinzuzählen.
Es gilt also \(r=1{,}0\; m + 0{,}10\; m + 0{,}10\; m= 1{,}20\; m\)
\( F_C=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2}=\frac{1}{4\pi \cdot 8{,}854\cdot 10^{-12}\frac{As}{Vm}} \frac{2{,}5\cdot 10^{-9}\; C \cdot 2{,}5\cdot 10^{-9}\; C}{(1{,}2\; m)^2}=39 \; nN=3{,}9\cdot 10^{-8}\; N \)
Aufgabe 2
2.0 Zwei Kügelchen mit der Masse 0,600 g sind an zwei 1,10 m langen, oben am selben Punkt befestigten Fäden aufgehängt. Ihre Mitten haben wegen der Abstoßung einen Abstand von r = 15,0 cm.
2.1 Wie groß sind ihre Ladungen, wenn sie beide die gleiche Ladung tragen?
2.2 Das rechte Kügelchen trage nun die doppelte Ladung der linken. Erfahren sie beide die gleiche Auslenkung? Ermitteln Sie die Ladungen der Kügelchen beim Abstand r = 15,0 cm.
Lösungen
Zuerst skizziert man sich die Situation auf: Zwei Kugeln hängen am selben Punkt an Seilen. Durch die abstoßende Coulombkraft sind die Mittelpunkte 15 Zentimeter voneinander entfernt:
Zeichnet man die gestrichelten Hilfslinien ein, so erhält man rechtwinklige Dreiecke. Damit kann man den Winkel \(\alpha\) an der Spitze berechnen.
Außerdem erkennt man, dass das Kräftediagramm aus Gewichtskraft, Coulombkraft und Seilkraft ein ähnliches rechtwinkliges Dreieck (gleiche Winkel!) bildet.
Es gilt \(sin(\frac{\alpha}{2})=\frac{0{,}075\; m}{1{,}1\;m}\). Der Auslenkwinkel einer Kugel beträgt also \(\frac{\alpha}{2}=sin^{-1}(\frac{0{,}075\; m}{1{,}1\;m})=3{,}91^{\circ}\).
Im nächsten Schritt kann man aus Gewichtskraft und dem Winkel den benötigten Betrag der Coulombkraft \(F_C\) berechnen:
\(tan(\frac{\alpha}{2})=\frac{F_C}{F_G}\)
Es ergibt sich \(F_C=F_G \cdot tan(\frac{\alpha}{2}) =m \cdot g \cdot tan(3{,}91^{\circ}) =0{,}0006\; kg \cdot 9{,}81 \frac{N}{kg} \cdot tan(3{,}91^{\circ}) =4{,}02\cdot 10^{-4}\;N\)
Mit der Formel für die Coulomkraft \( F_C=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2}\) und der Vorgabe, dass beide Körper die gleiche Ladung tragen, gilt:
\(Q_{links} \cdot Q_{rechts}=Q^2\)
\( 4{,}02\cdot 10^{-4}\;N=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{Q^2}{(0{,}15\;m)^2}\)
\(Q\) berechnet sich letztendlich zu
\(Q_{links} = Q_{rechts} = Q \approx 3{,}17\cdot 10^{-8}\; C = 31{,}7\cdot 10^{-9}\; C=31{,}7\; nC\)
Ja, sie erfahren die gleiche Auslenkung, da actio gegengleich reactio gilt. Auf beide Körper wirkt also die gleiche Kraft und, da sie dieselbe Masse besitzen, auch dieselbe Auslenkung.
Die Rechnung ändert sich nur leicht:
\(2 \cdot Q_{links} = Q_{rechts}\)
\( F_C=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{Q_{links} \cdot Q_{rechts}}{r^2}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{Q_{links} \cdot 2 \cdot Q_{links}}{r^2}\)
\( 4{,}02\cdot 10^{-4}\;N=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{2 \cdot (Q_{links})^2}{(0{,}15\;m)^2}\)
und somit:
\( Q_{links}\approx 2{,}24 \cdot 10^{-8} \;C = 22{,}4\; nC ; Q_{rechts}\approx 44{,}8\; nC\)
Aufgabe 3
3. Die Ladung Q1 mit -1,50 pC befindet sich in einem kartesischem Koordinatensystem am Punkt P1 (+2,00 cm|0), die Ladung Q2 mit +4,00 pC beim Punkt P2 (-3,0 cm|0). Ermitteln Sie grafisch oder rechnerisch den Betrag und die Richtung der elektrischen Feldstärke im Punkt P3 (+1,00cm|+2,00 cm).
Lösungen
Anmerkung: Da in diesem Beispiel geometrisch ein rechtwinkliges Dreieck entsteht, ist neben der zeichnerischen auch die rechnerische Lösung über den Pythagoras möglich.
Die angewandte Formel für den Betrag des elektrischen Radialfelds im Abstand \(r\) ist \(E(r)=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{r^2}\).
Da die Ladung \(Q_1\) ein negatives Vorzeichen besitzt, ist sie laut Definition eine Senke des elektrischen Feldes. D.h. der Vektor des elektrischen Feldes in Punkt \(P_3\) zeigt zum Punkt \(P_1\) hin.
Da die Ladung \(Q_2\) ein positives Vorzeichen besitzt, ist sie laut Definition eine Quelle des elektrischen Feldes. D.h. der Vektor des elektrischen Feldes in Punkt \(P_3\) zeigt vom Punkt \(P_2\) weg.
Zuerst müssen die Abstände der Ladungen \(Q_1\) und \(Q_2\) vom Punkt \(P_3\) ermittelt werden:
\(r_1^2=(2\;cm)^2+(1\;cm)^2 \Rightarrow r_1\approx 2{,}24\;cm\)
\(r_2^2=(2\;cm)^2+(4\;cm)^2 \Rightarrow r_2\approx 4{,}47\;cm\)
Die Beträge der elektrischen Felder berechnen sich somit zu
\(\left | E_1 \right |=\left | \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{-1{,}50 \cdot 10^{-12}\;C}{(0{,}0224\;m)^2}\right |\approx 26{,}9\;\frac{N}{As} = 26{,}9\;\frac{V}{m}\)
Da man nicht so genau zeichnen kann, wird der Vektorpfeil mit (gerundet) 2,7 cm Länge eingezeichnet.
\(\left | E_2 \right |=\left | \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{4{,}00 \cdot 10^{-12}\;C}{(0{,}0447\;m)^2}\right |\approx 18{,}0\;\frac{N}{As} = 18{,}0\;\frac{V}{m}\)
Der Vektorpfeil wird also mit 1,8 cm Länge eingezeichnet.
Die resultierende elektrische Feldstärke entsteht also durch die vektorielle Addition von \(\vec{E}_1\) und \(\vec{E}_2\), was zeichnerisch oder aber auch mit dem Pythagoras gelöst werden kann:
\(E_{res}^2=E_1^2+E_2^2 \Rightarrow E_{ges}=E_{res}\approx 32{,}4\;\frac{N}{As}=32{,}4\;\frac{V}{m} \)
Der Gesamtvektorpfeil der resultierenden Feldstärke wird also mit (gerundet) 3,2 cm Länge eingezeichnet, seine Richtung ergibt sich aus der Vektoraddition:
Aufgabe 4
4.0 Mit einem Kraftsensor wird die Kraft zwischen zwei ungleichnamig geladenen Metallkugeln gemessen. Beide Kugeln besitzen den gleichen Radius und die Ladung \( \left | Q \right | =33\; nC\). Das Messprotokoll lautet:
4.1 Zeigen Sie durch zeichnerische und rechnerische Auswertung der Messreihe, dass gilt: \( F \sim \frac{1}{r^2}\)
4.2 Ermitteln Sie aus der Steigung bzw. aus dem mittleren Proportionalitätsfaktor die elektrische Feldkonstante \( \varepsilon_0 \).
Lösungen
Man möchte prüfen, ob die Formel \( F = k \cdot \frac{1}{r^2}\) mit dem Proportionalitätsfaktor \( k \) zutrifft.
Mathematisch gesehen ist \( k \) die Steigung einer Geraden \(y=k \cdot x\).
Man berechnet also für jedes Messwertepaar die Proportionalitätskonstante \(k = F\cdot r^2\) und überprüft, ob \( k \) im Rahmen der Messgenauigkeit immer den gleichen Wert besitzt („konstant ist“).
Ist die Proportionalitätskonstante \( k \) stets gleich, so ist \( F \sim \frac{1}{r^2}\). Man spricht: „\(k\) ist proportional zu \(\frac{1}{r^2}\)“.
Damit wäre experimentell gezeigt, dass die Formel \( F = k \cdot \frac{1}{r^2}\) tatsächlich stimmt.
Für die vier Messwerte hier gilt: \( k = \left \{ 1{,}0 \cdot 10^{-5}\: Nm^2; 1{,}0 \cdot 10^{-5}\: Nm^2; 0{,}98 \cdot 10^{-5} \: Nm^2; 0{,}96 \cdot 10^{-5}\: Nm^2 \right \} \)
Diese sind aus physikalischer Sicht nahezu gleich. Damit gilt wohl tatsächlich \( F \sim \frac{1}{r^2}\).
Für die zeichnerische Auswertung benötigt man für jeden Messpunkt den Wert \( \frac{1}{r^2}\), also
\( \frac{1}{(0{,}05\;m)^2}=400\frac{1}{m^2}\), \( \frac{1}{(0{,}06\;m)^2}\approx 278\frac{1}{m^2}\), \( \frac{1}{(0{,}07\;m)^2}\approx 204\frac{1}{m^2}\) und \( \frac{1}{(0{,}08\;m)^2}\approx 156\frac{1}{m^2}\).
Die Punkte \( (\frac{1}{r^2}\; | \; F) \) werden in ein geeignetes Koordinatensystem eingetragen und die zeichnerische Auswertung ergibt im Rahmen der Mess- und Zeichengenauigkeit eine Ursprungsgerade. Diese Ausgleichsgerade mittelt somit über alle Messwerte (und gilt somit als genauer als jede Einzelmessung).
Der gemittelte Proportionalitätsfaktor (Steigung \( \bar{k} \)) bestimmt sich aus einem Steigungsdreieck: \(\bar{k} \approx 0{,}99 \cdot 10^{-5} Nm^2\)
Im Mittel ergibt sich aus Aufgabe 4.1 der Wert \( \bar{k} = 0{,}99 \cdot 10^{-5}\; Nm^2\).
Man vergleicht das Coulomb’sche Gesetz
\( F_C=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{ Q_1 \cdot Q_2}{r^2}\)
mit der oben ermittelten Formel
\( F = k \cdot \frac{1}{r^2}\)
und sieht, dass \( k= \frac{Q_1 \cdot Q_2 }{4\cdot \pi \cdot \varepsilon_0}\) repräsentiert.
Beachten Sie: Da die beiden Kugeln hier den gleichen Ladungsbetrag besitzen sollen, gilt \(Q_1 \cdot Q_2 = Q^2\). (Das negative Vorzeichen der einen Ladung wird hier der Einfachheit halber weggelassen. Es symbolisiert nur, dass sich die beiden Ladungen anziehen. Am Wert für \(\varepsilon_0\) ändert sich dadurch nichts.)
Jetzt kann man \(\varepsilon_0\) beispielsweise aus dem gemittelten Wert \( \bar{k} = 0{,}99 \cdot 10^{-5}\; Nm^2\) berechnen:
\( \bar{k}= \frac{Q_1 \cdot Q_2}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon_0}\; \Rightarrow \; \varepsilon_0 = \frac{Q^2}{4 \cdot \pi \cdot \bar{k}}= \frac{(33\cdot 10^{-9}\;C)^2}{4 \cdot \pi \cdot 0{,}99 \cdot 10^{-5}\; Nm^2 } \approx 8{,}7535… \cdot 10^{-12} \; \frac{As}{Vm} \approx 8{,}8 \cdot 10^{-12} \; \frac{As}{Vm} \)
Aufgabe 5
5.0 Beim Bohr’schen Atommodell des Wasserstoffatoms besitzen der Kern (ein Proton) und das Elektron in der Hülle die Ladung +e bzw. -e. Ihr Abstand beträgt \( 5,3 \cdot 10^{-11} m\).
5.1 Wie groß ist die elektrische Anziehungskraft zwischen Kern und Elektron?
5.2 Vergleichen Sie die elektrische mit der gravitativen Anziehungskraft zwischen Kern und Elektron. Was ist demnach alleine für den Zusammenhalt von Atomkern und Atomhülle verantwortlich?