Der Plattenkondensator – Kapazität
Die Flächenladungsdichte \( \sigma \)
Definition:
Unter der \(Flächenladungsdichte\;\sigma\) versteht man den Quotienten aus einer Ladung \(Q\), die gleichmäßig auf einer Fläche \(A\) verteilt ist, und der Fläche \(A\):
\( \sigma=\frac{Q}{A} \)
Sie repräsentiert also die Anzahl der Ladungen pro Fläche:
\(\;\;\;\;\)Kleines \(\sigma \rightarrow\) Kleines E-Feld
\(\;\;\;\;\)Großes \(\sigma \rightarrow\) Großes E-Feld
Es ist leicht einzusehen, dass eine hohe Flächenladungsdichte auch eine hohe elektrische Feldstärke innerhalb des Kondensators zur Folge hat. Tatsächlich sind diese beiden Größen direkt proportional zueinander: \(\sigma\sim E\)
Die Proportionalitätskonstante ist die bereits aus dem Radialfeld bekannte \(elektrische\; Feldkonstante\; \varepsilon_0=8,854\cdot 10^{-12}\frac{As}{Vm}\).
Somit gilt auch \(\boxed{\sigma=\varepsilon_0\cdot E}\).
Die Flächenladungsdichte und insbesondere der Versuch zur Messung der elektrischen Feldkonstante sind nicht mehr Teil des neuen LehrplanPLUS. Der Vollständigkeit halber wird dieser Versuch aber in einer eigenen Seite eingefügt.
Die Kapazität \(C\)
Mit den beiden Formeln für die Flächenladungsdichte \(\sigma\) des Plattenkondensators kann man herleiten:
\(I\;\;\;\;\sigma=\frac{Q}{A}\) und
\(II\;\;\;\;\sigma=\varepsilon_0\cdot E\) ergeben
\(\frac{Q}{A}=\varepsilon_0\cdot E\).
Stellt man nach \(Q\) um und ersetzt die Feldstärke \(E\) mit der Formel für den Plattenkondensator erhält man
\(\boxed{Q=\varepsilon_0\cdot \frac{U}{d} \cdot A}\)
Wie die letzte Gleichung zeigt, verhält sich die auf dem Kondensator gespeicherte Ladung proportional zur angelegten Spannung. Der tatsächliche Betrag der Ladung wird neben der Spannung nur von den Kondensatorabmessungen (Plattenfläche \(A\) und dem Plattenabstand \(d\)) bestimmt. Aus diesem Grund ist es sinnvoll, eine Größe zu definieren, die angibt, wie viel Ladung pro Spannung auf einem Kondensator gespeichert ist. Diese Größe wird als Kapazität bezeichnet:
Definition:
Unter der Kapazität \(C\) eines Kondensators versteht man den Quotienten aus seiner Ladung \(Q\) und der an ihm anliegenden Spannung \(U\):
\(\boxed{C=\frac{Q}{U}}\)
Sie beschreibt also, wie viel Ladung pro \(1\;V\) Spannung auf einen bestimmten Plattenkondensator geschoben werden kann.
Die Einheit ist demnach auch \(\left [ C\right ] =1\frac{As}{V}=1\;F\) (Einheit Farad, nach M. Faraday).
Die Kapazität eines Plattenkondensators ist also durch seine Geometrie vorgegeben:
Aus \(C=\frac{Q}{U}=\frac{\varepsilon_0\cdot \frac{U}{d} \cdot A}{U}\) folgt
\( \boxed{C=\varepsilon_0 \cdot \frac{A}{d}}\).
Die Kapazität ist nicht nur für Plattenkondensatoren ein Maß für die Ladungsspeicherfähigkeit, sondern für alle Körper, die in der Lage sind, elektrische Ladungen zu speichern (z.B. Metallkugeln oder elektrische Leitungen).
Materie im Kondensator
Bei den bisherigen Versuchen war der Raum zwischen den Kondensatorplatten mit Luft gefüllt, also nahezu leer (Luft besitzt bei Normalbedingungen eine etwa um den Faktor 1000 geringere Dichte als beispielsweise Kunststoff). Welche Auswirkung ein eingebrachter Stoff auf die Kapazität des Plattenkondensators hat, soll nun untersucht werden. Im Zusammenhang mit Kondensatoren spricht man von dem eingebrachten Stoff zwischen den Platten von einem Dielektrikum.
Im Dielektrikum entstehen auf atomarer Ebene durch das Kondensatorfeld \( \vec{E}\) Dipole oder bereits vorhandene Dipole werden ausgerichtet. Das elektrische Feld der Dipole \(\vec{{E}‘}\) ist dem Kondensatorfeld entgegengerichtet und schwächt dieses.
Läd man einen Kondensator auf und trennt anschließend die Spannungsquelle ab, kann sich die Ladung auf den Platten nicht ändern, da das Dielektrikum ein Isolator ist und die Spannungsquelle keine Elektronen nachliefern kann. Schiebt man nun ein Dielektrikum, also beispielsweise eine Kunststoffplatte in den Kondensator, nimmt die Feldstärke und damit die Spannung \( \left (U = E \cdot d \right ) \) ab. Die Kapazität des Kondensators hat sich wegen der konstant bleibenden Ladung vergrößert \( \left (C = \frac{Q}{U}\right ) \).
Bleibt der Kondensator mit der Spannungsquelle verbunden, bleiben die Feldstärke und die Spannung konstant. Das kann nur durch zusätzliche Ladungen geschehen. Die Kapazität hat sich wiederum erhöht. Um den Faktor, um den sich die Kapazität erhöht, zu berücksichtigen führt man eine neue elektrische Größe ein. Die Dielektrizitätszahl \( \varepsilon_r \) (sprich: „Epsilon-r“) oder Permittivitätszahl oder relative Permittivität ist der Zahlenfaktor, um den sich die Kapazität erhöht, wenn man den leeren Raum zwischen den Kondensatorplatten vollständig mit dem entsprechenden Dielektrikum ausfüllt.
Für die Kapazität eines Plattenkondensators erhält man damit:
\( \boxed{C=\varepsilon_r \cdot \varepsilon_0 \cdot \frac{A}{d}}\;\;\; Kapazität\; eines\; Plattenkondensators \)
Technische Kondensatoren
Die Kondensatoren, die in der Technik eingesetzt werden, lassen sich in drei Gruppen einteilen:
– Metall-Isolator-Metall-Strukturkondensatoren
– Metall-Isolator-Elektrolyt-Strukturkondensatoren
– Kondensatoren mit veränderbarer Kapazität (Drehkondensatoren und Trimmer)
Neben der Kapazität der Kondensatoren spielen, je nach Einsatz mehr oder weniger, das Temperaturverhalten, der Isolationswiderstand, das Durchschlagsverhalten, die Frequenzabhängigkeit, die Zuverlässigkeit, die Baugröße und die Herstellungskosten eine Rolle. Diese vielen Kennzeichen haben dazu geführt, dass es eine ganze Reihe von Kondensatortypen gibt. Hier eine Zusammenstellung der wichtigsten:
– Luftkondensatoren (0,1 pF – 10 nF)
– Glimmerkondensatoren (0,1 pF – 100 nF)
– Keramikkondensatoren (0,1 pF- 10 µF)
– Lufttrimmer (10 pF – 10 nF)
– Keramiktrimmer (10 pF- 100 nF)
– Drehkondensatoren (10 pF – 100 nF)
– Kunststofffolienkondensatoren (1 nF – 100 µF)
– Papierkondensatoren (10 nF – 100 µF)
– Elektrolytkondensatoren (1 µF – 100000 µF)
Bei den Papierkondensatoren, den Kunststofffolienkondensatoren und den Elektrolytkondensatoren sind die Kondensatorplatten meist nicht starr, sondern man verwendet dünne Folien (meist Aluminiumfolien), die aufgewickelt werden. Nur mit diesen Wickelkondensatoren sind Kapazitäten weit über den nF-Bereich hinaus möglich. Die Elektrolytkondensatoren (Elkos) besitzen dabei eine besonders große Kapazität. Die Elektrolytflüssigkeit oxidiert dabei die Metallfolie und die entstandene, sehr dünne Oxidschicht \( \left ( C \sim \frac{1}{d} \right ) \) dient als Dielektrikum. Die Metalloxidschicht entsteht allerdings nur, wenn auf die richtige Polung geachtet wird. Vertauscht man die Polung, wird die isolierende Oxidschicht abgebaut, es fließt ein großer Strom durch den Kondensator, der ihn bei hohen Spannungen so stark erwärmt kann, dass die Elektrolytflüssigkeit schlagartig verdampft und den Kondensator sprengt, was bei großen Kondensatoren nicht ganz ungefährlich sein kann. Bei den Kondensatoren mit veränderbarer Kapazität unterscheidet man die Trimmer von den Drehkondensatoren. Die Trimmer werden in der Regel nur einmal beim Abgleich der Schaltung eingestellt, wohingegen die Drehkondensatoren während des Betriebs variiert werden. Bei einfachen Radios wird beispielsweise die Empfangsfrequenz in der Regel über Drehkondensatoren eingestellt.