Mechanische Arbeitsarten
Hubarbeit
Wollen wir einen Körper im Gravitationsfeld der Erde von einer Höhe \(h_{1}\) auf eine Höhe \(h_{2}\) senkrecht anheben, müssen wir eine Kraft aufwenden. Unter der Voraussetzung, dass der Körper mit konstanter Geschwindigkeit gehoben wird, besitzt diese Kraft (Hubkraft) den gleichen Betrag wie die Gewichtskraft des Körpers. Da beim senkrechten Anheben Hubkraft und Weg die gleiche Richtung besitzen, ergibt sich für die Hubarbeit:
\(W_{Hub} = F_{G} \cdot (h_{2} – h_{1}) = F_{G} \cdot Δh\)
Die obige Gleichung kann jedoch nur dann fehlerfrei angewendet werden, wenn man den Körper nicht zu weit von der Erdoberfläche entfernt. Ab einer Höhe von etwa 30 km verringert sich die Gewichtskraft nämlich um mehr als ein Prozent.
Transportieren wir den Körper über eine schräge Rampe um die Höhe \(Δh\) nach oben, haben Kraft und Weg unterschiedliche Richtungen. Die Kraft, die in Wegrichtung aufzuwenden ist, hat sich verringert, dafür erhöht sich aber der zurückgelegte Weg \(Δs\). Man kann zeigen, dass die zu verrichtende Arbeit, gegenüber dem direkten senkrechten Transport, gleich bleibt:
\(\vec{F_{S}}\) entspricht der Hangabtriebskraft, wobei \(α\) dabei der Neigungswinkel der schrägen Rampe ist:
\(F_{S} = F_{G} \cdot sin(α)\)
Der gesamte zurückgelegte Weg \(Δs\) beträgt:
\(Δs = \frac{Δh}{sin(α)}\)
Damit erhält man für die Hubarbeit:
\(W_{Hub} = F_{S} \cdot Δs = F_{G} \cdot sin(α) \cdot \frac{Δh}{sin(α)} = F_{G} \cdot Δh\)
Allgemein gilt: Die Hubarbeit hängt nicht vom eingeschlagenen Weg, sondern nur von der Höhendifferenz ab:
\(W_{Hub} = F_{G} \cdot Δh = m \cdot g \cdot Δh~~~~~~~~~~Die~Hubarbeit\)
Beschleunigungsarbeit
Ein zunächst ruhender Körper soll durch eine konstante Kraft, die längs eines Weges wirkt, auf eine Geschwindigkeit \(v\) beschleunigt werden. Wenn die beschleunigende Kraft \(\vec{F_{a}}\) entlang des Weges \(\vec{Δs}\) erfolgt, ergibt sich für den Betrag der Beschleunigungsarbeit:
\(W_{a} = F_{a} \cdot Δs\)
Durch den Kraftbetrag \(F_{a}\) erfährt der Körper eine Beschleunigung \(a\), die von der Größe seiner Masse \(m\) abhängt:
\(F_{a} = m \cdot a\)
Mit \(v^{2} = 2 \cdot a \cdot Δs~\) bzw. \(~a = \frac{v^{2}}{2 \cdot Δs}~\) erhält man: \(W_{a} = m \cdot \frac{v^{2}}{2 \cdot Δs} \cdot Δs\), wobei sich \(Δs\) kürzen lässt:
\(W_{a} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}~~~~~~~~~~Die~Beschleunigungsarbeit\)
Besitzt der Körper bereits eine Geschwindigkeit \(v_{1}\) und soll auf die Geschwindigkeit \(v_{2}\) beschleunigt werden, kann man die Beschleunigungsarbeit folgendermaßen berechnen:
\(W_{a} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{2}^{2}~-~\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{1}^{2}~\) bzw. zusammengefasst:
\(W_{a} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (v_{2}^{2}~-~ v_{1}^{2})\)
Spannarbeit
Wollen wir eine Feder dehnen, müssen wir eine Kraft aufbringen. Wie wir wissen, steigt die Kraft nach dem Hooke’schen Gesetz proportional zur Dehnung der Feder an. Die Fläche im s-F-Diagramm, die hier ein Maß für die verrichtete Spannarbeit ist, berechnet sich zu:
\(W_{Sp} = \frac{1}{2} \cdot F_{Sp} \cdot Δs\)
Für den Betrag der Spannkraft gilt:
\(F_{Sp} = D \cdot Δs\)
Eingesetzt ergibt sich:
\(W_{Sp} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot Δs \cdot Δs\) bzw. zusammengefasst:
\(W_{Sp} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot Δs^{2}~~~~~~~~~~Die~Spannarbeit\)
Besitzt die Feder bereits eine Dehnung \(s_{1}\) und soll die Dehnung \(s_{2}\) erhalten, kann man die Spannarbeit folgendermaßen berechnen:
\(W_{Sp} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s_{2}^{2}~ – \frac{1}{2} \cdot D \cdot s_{1}^{2}\) bzw. zusammengefasst:
\(W_{Sp} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot (s_{2}^{2}~ – s_{1}^{2})\)