Waagrechter und schiefer Wurf

Waagrechter Wurf

Waagrechter Wurf: Versuchsbeschreibung

Zwei gleichartige Kugeln werden an einem mit einer Feder gespannten Stab lose aufgehängt. Nach dem Lösen der Feststellschraube wird die rechte Kugel mit der Geschwindigkeit \(v_0\) waagrecht abgeschossen. Im selben Augenblick beginnt die linke Kugel senkrecht nach unten zu fallen.

Waagrechter Wurf: Versuchsbeobachtung und -ergebnis

Beide Kugeln schlagen gleichzeitig auf.

Die Fallbewegung der rechten Kugel verläuft genauso wie die Fallbewegung der linken Kugel, wird also durch die waagrechte Bewegung nicht beeinflusst. Beim waagrechten Wurf überlagern sich zwei Bewegungen:

a) In waagrechter Richtung bewegt sich der Körper gleichförmig, also mit konstanter Geschwindigkeit.

b) In senkrechter Richtung bewegt sich der Körper gleichmäßig beschleunigt.

Damit können die Koordinaten und die Geschwindigkeitskomponenten zum Zeitpunkt \(t\) ermittelt werden.

a) x-Koordinate: \(x = v_0 \cdot t \;\;\;\;\; v_x = v_0 = const.\) (die Luftreibung wird vernachlässigt)

b) y-Koordinate: \(y = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \;\;\;\;\; v_y = g \cdot t \)

Für die Gestalt der Bahnkurve spielt es keine Rolle, wo sich der Körper zur Zeit \(t\) befindet. Wir eliminieren deshalb \(t\), indem wir die Gleichung \( x = v_0 \cdot t\) nach \(t\) umstellen und in die Gleichung für die y-Koordinate einsetzen:

\(t=\frac{x}{v_0} \;\rightarrow \; y(x)=\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2=\frac{1}{2} \cdot g \cdot \left ( \frac{x}{v_0}\right )^2=\frac{1}{2} \cdot g \cdot \frac{x^2}{v_0^2}\)

\( \boxed{y(x)=\frac{g}{2v_0^2} \cdot x^2}\;\;\;\;Wurfparabelgleichung\;für\;waagrechten\;Wurf\)

Die Gleichung der Bahnkurve hat die Form \(y = a \cdot x^2\). Damit handelt es sich um eine parabelförmige Kurve, man spricht auch von einer Wurfparabel.

Waagrechter Wurf: Beispiel

Eine Kugel wird mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0 = 3,50 \frac{m}{s}\) aus einer Höhe von 2,00 m waagrecht abgeschossen.

Zeichnen Sie die Wurfparabel und ermitteln Sie die Geschwindigkeit der Kugel unmittelbar vor dem Aufschlag. Wie groß ist dabei der Winkel der Kugel gegenüber der Horizontalen? Wie weit kommt die Kugel in x-Richtung bis zu ihrem Aufschlag auf dem Boden?

Vorher ermitteln wir \(v_y\):

\(v_y=\sqrt{2 \cdot g \cdot h} =  \sqrt{2 \cdot 9,8 \frac{m}{s^2} \cdot 2,00\;m}=6,3 \frac{m}{s}\)

Und daraus mit dem Pythagoras \(v\):

\(v=\sqrt{v_y^2+v_0^2}=\sqrt{\left ( 6,3 \frac{m}{s}\right )^2 + \left ( 3,5 \frac{m}{s}\right )^2}=7,2\frac{m}{s}\)

Der Winkel gegenüber der Horizontalen lässt sich mit der Tangensfunktion berechnen:

\( tan(\alpha)=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{v_y}{v_0}=\frac{6,3 \frac{m}{s}}{3,5 \frac{m}{s}}=1,80\)

Daraus errechnet sich \( \alpha=61^{\circ}\)

Für die Berechnung der Wurfweite wird die Zeit berechnet, bis die Kugel aufschlägt. Während dieser Zeit bewegt sich die Kugel mit konstanter Geschwindigkeit in x-Richtung weiter:

Wir verwenden die Gleichung \(h(t)=\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \)

Umgestellt ergibt sich \(t=\sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}=\sqrt{\frac{2 \cdot 2,00\;m}{9,8\frac{m}{s^2}}}=0,64\;s\)

So weit kommt die Kugel in x-Richtung bis zum Aufschlag: \(x=v_0 \cdot t=3,5\frac{m}{s} \cdot 0,64\;s=2,24\;m\)

Schiefer Wurf: Grundprinzipien

Für den schiefen Wurf gelten die gleichen Prinzipien wie für den waagrechten Wurf:

a) In waagrechter x-Richtung bewegt sich der Körper gleichförmig, also mit konstanter Geschwindigkeit.

Für die x-Koordinate gilt \(x(t)=v_x \cdot t\) mit \(v_x=const.\) bei vernachlässigter Luftreibung.

Kennt man die schiefe Abschussgeschwindigkeit \(v_r\), so kann man \(v_x\) berechnen: \(v_x=v_r \cdot cos(\alpha)\) (siehe Bild unten)

b) In senkrechter Richtung bewegt sich der Körper gleichmäßig beschleunigt. Zusätzlich besitzt das Wurfgeschoss allerdings eine Anfangsgeschwindigkeit \(v_y\) in y-Richtung.

Somit gilt für die y-Koordinate \(y(t)=-\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_y \cdot t (+y_0)\) mit Starthöhe \(y_0\) (Hier behandelt wird der Fall \(y_0=0\)).

Auch hier kann man \(v_y\) aus \(v_r\) berechnen: \(v_y=v_r \cdot sin(\alpha)\)

Schiefer Wurf: Wurfparabel

Man erhält die Gleichung der Bahnkurve \(y(x)\), indem man die aus a) gewonnene Gleichung \(t=\frac{x}{v_x}\) in die Gleichung für die y-Koordinate aus b) einsetzt:

\(y(t)=-\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_y \cdot t  \;(+y_0)\;\rightarrow\; y(x)=-\frac{1}{2} \cdot g \cdot \left (\frac{x}{v_x} \right )^2 + v_y \cdot \frac{x}{v_x}\;(+y_0)\)

Also: \(\boxed{y(x)=-\frac{g}{2 \cdot v_x^2} \cdot x^2 + \frac{v_y}{v_x} \cdot x \;\;(+y_0)} \;\;\;\;\;Wurfparabelgleichung\)

Es ist möglich den Bruch \(\frac{v_y}{v_x}\) durch \(tan(\alpha)=\frac{v_y}{v_x}\) zu ersetzen, ebenso wie \(v_x=v_0 \cdot cos(\alpha)\).

Die Wurfparabelgleichung erhält somit die Form \(y(x)=-\frac{g}{2 \cdot v_o^2 \cdot (cos(\alpha))^2} \cdot x^2+tan(\alpha) \cdot x \;\; (+y_0)\).

Merke:

Hat man die Parabel-Bahnkurve \(y(x)\) hergeleitet, dann können physikalische Fragen leicht mathematisch gelöst werden:

• „Berechne die maximale Flughöhe des Wurfgeschosses.“ \(\rightarrow\) Berechnung des Scheitelpunktes über \(x_s=\frac{-b}{2a}\).
• „Berechne die Weite bis zum Auftreffen auf dem Boden.“ \(\rightarrow\) Berechnung des Schnittpunktes zwischen Parabel und „Boden“ (z.B. x-Achse).
• „Welche Höhe besitzt der Golfball 85 Meter vom Abschlag entfernt?“ \(\rightarrow\) Einsetzen von \(x=85\;m\) in die Bahngleichung: \(y(85\;m)\).

Schiefer Wurf: Ablauf

In den folgenden Bildern wird in kleinen Schritten erklärt, wie ein schiefer Wurf abläuft:

Hier können Sie diesen Beispiel-Wurf nochmal als Stroboskop-Aufnahme nachverfolgen:

Schiefer Wurf: Maximale Wurfweite

Die Wurfweite kann, wenn man die Gleichung für die Bahnkurve \(y(x)\) besitzt, wie zuvor erläutert durch eine einfache Schnittpunkt-Berechnung ermittelt werden. Allerdings zeigen die obigen Bilder, dass auch ein physikalischer Ansatz möglich ist:

Ist die Bewegung wie im obigen Beispiel symmetrisch, dann benötigt die Kugel die gleiche Zeit zum Hochsteigen wie zum Herunterfallen.

Die „Steigzeit“ kann leicht über die Bewegungsgleichung \(v(t)=a \cdot t +v_0\) berechnet werden, da die im oberen Punkt \(v(t)=0\) gilt:

\(0=-g \cdot t_{Steig} + v_y\) \(\rightarrow\) \(t_{Steig}=\frac{v_y}{g}\)

Für die gesamte Flugzeit hier im symmetrischen Beispiel gilt also \(t_{ges}=2 \cdot \frac{v_y}{g}\) (hoch und runter).

Da die Geschwindigkeit in x-Richtung konstant bleibt, kann man jetzt die Wurfweite leicht berechnen:

\(\boxed{W=x(t_{ges})=v_x \cdot t_{ges}=v_x \cdot 2 \cdot \frac{v_y}{g}} \;\;\;\;\; Wurfweite\)

Anmerkung: Auch die Steighöhe (vgl. Scheitelpunkt) kann nun durch Einsetzen von \(t_{Steig}\) in \(y(t)=-\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_y \cdot t  \;(+y_0)\) berechnet werden.

Um nun den Winkel für die maximale Wurfweite zu ermitteln, ersetzt man in der Formel für die Wurfweite \(W=x(t_{ges})=v_x \cdot 2 \cdot \frac{v_y}{g}\) die Geschwindigkeiten \(v_x=v_0 \cdot cos(\alpha)\) und \(v_y=v_0 \cdot sin(\alpha)\):

\(W=v_0 \cdot cos(\alpha) \cdot 2 \cdot \frac{v_0 \cdot sin(\alpha)}{g}=\frac{2 \cdot v_0^2}{g} \cdot cos(\alpha) \cdot sin(\alpha)\)

Mit einem Blick in die mathematische Formelsammlung erhält man \(W=\frac{2 \cdot v_0^2}{g} \cdot \frac{1}{2} \cdot sin(2 \alpha)\).

So erhält man eine weitere Formel für die Wurfweite:

\(\boxed{W=\frac{v_0^2 \cdot sin(2 \alpha)}{g}} \;\;\;\;\; Wurfweite\)

Es ist einsichtig, dass der Wert für \(W\) maximal ist, wenn der Sinus seinen Maximalwert 1 annimmt:

\(sin(2 \alpha)=1 \rightarrow 2 \alpha=90^{\circ} \rightarrow \alpha=45^{\circ}\)

Schlussfolgerung:

Bei vernachlässigter Luftreibung und symmetrischer Bahnkurve liegt der optimale Wurfwinkel bei \(\alpha=45^{\circ}\).

Schiefer Wurf: Beispiel

In der obigen Animation wird eine Kugel mit der Startgeschwindigkeit \(v_0=6,5\frac{m}{s}\) unter einem Winkel von \(\alpha=53^{\circ}\) gegenüber dem Boden abgeschossen.

a) Berechnen Sie die Wurfweite, die maximale Höhe und die Steigzeit der Kugel.

b) Die Kugel soll an der Stelle \(x=3,0\;m\) auftreffen. Ermitteln Sie den dafür nötigen Abschusswinkel (zwei Lösungen!) und die Zeit von Start bis Landung für beide Lösungen.

Lösung:

a) Die Wurfweite kann über die Bahnkurve \(y(x)\) berechnet werden, oder auch durch die Berechnung der Steigzeit.

Für beide Wege müssen wir zuerst \(v_x\) und \((v_y\) berechnen:

\(v_x=v_0 \cdot cos(\alpha)=6,5\frac{m}{s} \cdot cos(53^{\circ})\approx 3,91\frac{m}{s}\) und

\(v_y=v_0 \cdot sin(\alpha)=6,5\frac{m}{s} \cdot sin(53^{\circ})\approx 5,19\frac{m}{s}\).

Mathematisch mit Bahnkurve y(x):

Für die Bahnkurve ergibt sich aus \(y(x)=-\frac{1}{2} \cdot g \cdot \left ( \frac{x}{v_x} \right )^2 +v_y \cdot \frac{x}{v_x}\):

\( y(x)=-\frac{1}{2} \cdot 9,8\frac{m}{s^2} \cdot \left ( \frac{x}{3,91\frac{m}{s}} \right )^2+5,19\frac{m}{s} \cdot \frac{x}{3,91\frac{m}{s}}\)

Die Schnittpunkte findet man durch Nullsetzen des Terms: \(y(x)=0\)

Klammert man die offensichtliche Lösung ein \(x_1=0\) aus, so bleibt \( 0=-\frac{1}{2} \cdot 9,8\frac{m}{s^2} \cdot \left ( \frac{1}{3,91\frac{m}{s}} \right )^2 \cdot x+ \frac{5,19\frac{m}{s}}{3,91\frac{m}{s}}\) stehen.

Somit ergibt sich für \(x_2=W \approx 4,14\;m\)

Der höchste Punkt liegt am Scheitelpunkt mit \(x_s=\frac{4,14\;m}{2} \rightarrow y_s(x_s)=y_s(2,07\;m)=y(x)=-\frac{1}{2} \cdot 9,8\frac{m}{s^2} \cdot \left ( \frac{2,07\;m}{3,91\frac{m}{s}} \right )^2+5,19\frac{m}{s} \cdot \frac{2,07\;m}{3,91\frac{m}{s}}\approx 1,37\;m\)

Physikalisch mit Steigzeit:

Die Kugel benötigt bis zum höchsten Punkt \(t_{Steig}=\frac{v_y}{g}=\frac{5,19\frac{m}{s}}{9,8\frac{m}{s^2}}\approx 0,53\;s\)

Da sie also \(t_{ges}=2 \cdot 0,53\;s=1,06\;s\) Zeit hat, um in x-Richtung zu fliegen, kommt sie \(x(t_{ges})=v_x \cdot t_{ges}=3,91\frac{m}{s} \cdot 1,06\;s \approx 4,14\;m\) weit.

Die Steighöhe wird hier berechnet mit \(y(t_{Steig})=-\frac{1}{2} \cdot g \cdot t_{Steig}^2+v_y \cdot t_{Steig}=-\frac{1}{2} \cdot 9,8\frac{m}{s^2} \cdot (0,53\;s)^2+v_y \cdot 0,53\;s  \approx 1,37\;m\)

b) Für diese Aufgabe kann man die oben hergeleitete Formel für die Wurfweite verwenden: \(W=\frac{v_0^2 \cdot sin(2 \alpha)}{9,8\frac{m}{s^2}}\):

\(3,0\;m=\frac{(6,5\frac{m}{s})^2 \cdot sin(2 \alpha)}{9,8\frac{m}{s^2}}\)

\(2 \alpha =arcsin\left ( \frac{3,0\;m \cdot 9,8\frac{m}{s^2}}{\left ( 6,5\frac{m}{s}\right )^2}\right ) \approx\ 44^{\circ}\)

Somit wird die Wurfweite 3,0 m durch die beiden Winkel \(\alpha_1=22^{\circ}\) und aus Gründen, die mit der Sinus-Funktion zusammenhängen, bei \(\alpha_2=68^{\circ}\) erreicht.

\(v_{y1}=v_0 \cdot sin(\alpha)=6,5\frac{m}{s} \cdot sin(22^{\circ})\approx 2,43\frac{m}{s} \rightarrow t_{Steig1}=\frac{2,43\frac{m}{s}}{9,8\frac{m}{s^2}} \approx 0,248\;s\)

Das bedeutet, die Kugel fliegt insgesamt etwa \(t_{ges1}=2 \cdot 0,248\;s \approx 0,50\;s\).

Test: \(W_1=v_{x1} \cdot 2 \cdot t_{Steig1}=6,5\frac{m}{s} \cdot cos(22^{\circ}) \cdot 2 \cdot 0,248\;s \approx 3,0\;m\)

\(v_{y2}=v_0 \cdot sin(\alpha)=6,5\frac{m}{s} \cdot sin(68^{\circ})\approx 6,03\frac{m}{s} \rightarrow t_{Steig2}=\frac{6,03\frac{m}{s}}{9,8\frac{m}{s^2}} \approx 0,615\;s\)

Das bedeutet, die Kugel fliegt insgesamt etwa \(t_{ges2}=2 \cdot 0,615\;s \approx 1,2\;s\).

Test: \(W_2=v_{x2} \cdot 2 \cdot t_{Steig2}=6,5\frac{m}{s} \cdot cos(68^{\circ}) \cdot 2 \cdot 0,615\;s \approx 3,0\;m\)