Analyse der Graphen von Bewegungsgleichungen

Flächen und Steigungen

Im Kapitel „Gleichförmige geradlinige Bewegung“ wurde bereits darauf hingewiesen, dass die Fläche unter einem Geschwindigkeitsgraphen eine Bedeutung zukommt: Die unter dem Graphen mit der x-Achse eingeschlossene Fläche repräsentiert den zurückgelegten Weg. Dies ist unter Anderem ein Grund dafür, dass Sie im Mathematik-Unterricht bis zum Abitur erlernen, wie man auch die kompliziertesten Flächen unterhalb eines Graphen berechnen kann (\(\rightarrow\) Integralrechnung).

Zusätzlich sind auch die Steigungen in diesen Graphen wichtig: Sie geben Änderungsraten an.

Im folgenden Applet soll sichtbar gemacht werden, dass

  • eine Fläche unter dem Beschleunigungsgraph die Änderung der Geschwindigkeit repräsentiert.
  • eine Fläche unter dem Geschwindigkeitsgraph die Änderung des Ortes repräsentiert.
  • eine Steigung an einer Stelle im Ortsgraphen die Momentangeschwindigkeit an diesem Ort repräsentiert.
  • eine Steigung an einer Stelle im Geschwindigkeitsgraphen die Momentanbeschleunigung an diesem Ort repräsentiert.

Dabei gilt: Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, Flächen unterhalb der x-Achse negativ. Eine Steigung von links unten nach rechts oben wird als positiv definiert, eine Steigung von links oben nach rechts unten negativ.

Zusätzlich sollen natürlich auch die Graphen unterschiedlichster Bewegungen anschaulich dargestellt werden, sowie die Auswirkungen von Startgeschwindigkeiten und Startorten auf Momentangeschwindigkeiten und momentane Orte.

Geogebra-Applet

Das Applet kann auch hier auf einer eigenen Seite aufgerufen werden.

 

 

Übung

Beachten Sie, dass beim Start des Applets, dass sowohl die Fläche unter dem Beschleunigungsgraphen, die Steigung im Ortsgraphen und auch die Momentangeschwindigkeit denselben Wert besitzen:

  1. Klicken Sie auf die vorgefertigten Beispiele und verstehen Sie, welche Beschleunigungswerte dahinterstecken.
  2. Versuchen Sie, sich die Bewegungsabläufe zu den jeweiligen Beschleunigungen vorzustellen und die Graphen somit zu verstehen.
  3. Nutzen Sie den Zeitschieber, um sich momentane Werte von Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung anzusehen.
  4. Fügen Sie zu den jeweiligen Beispielen unterschiedliche Startorte und Startgeschwindigkeiten hinzu und beobachten die Auswirkungen auf die Graphen und die Momentanwerte zu verschiedenen Zeitpunkten.
  5. Nutzen Sie den Zeitschieber, um auf unterschiedliche Zeitpunkte in der Bewegung zu stellen. Versuchen Sie, den Zusammenhang zwischen Steigung und Momentangeschwindigkeit/Momentanbeschleunigung zu verstehen.
  6. Versuchen Sie die Flächenwerte als Geschwindigkeits- und Ortsänderung zu verstehen. Vergleichen Sie die Änderungen der Momentanwerte in Bezug zu eingestellten Startwerten.
  7. Geben Sie selbst Beschleunigungswerte ein, zeitunabhängig (z.B. „-3“) und zeitabhängig (z.B. „0.7t² – 1.3t – 0.4“). Denken Sie daran, dass Kommazahlen am Computer mit . eingegeben werden müssen, also 1.5 anstatt 1,5.
  8. Klicken Sie auf die „Sinusförmige Beschleunigung“ und stellen Sie die Startgeschwindigkeit auf \(-2\frac{m}{s}\). Versuchen Sie die entstehende Bewegung zu verstehen, wir werden im Lernbereich 5 darauf zurückkommen.

Ein Kollege hat das oben programmierte Applet heruntergeladen und eine eigene, möglicherweise übersichtlichere, Version erstellt.

Dieses soll Ihnen natürlich nicht vorenthalten werden, klicken Sie zum Ansehen einfach diesen Link.

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