Graphische Darstellungen der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist nach der Definition eine Funktion. Funktionen kann man in der Analysis graphisch darstellen. Ebenso kann man dies in der Stochastik. Drei verschiedene Möglichkeiten der graphischen Darstellung sollen hier vorgestellt werden:

1. Der Graph der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Hier werden wie in der Analysis die Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Auf der x-Achse werden die Zufallswerte, auf der y-Achse die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten abgetragen. Achtung: es werden nur einzelne Punkte eingetragen, die Zwischenwerte existieren nicht und dürfen dementsprechend auch nicht gezeichnet werden!

Beispiel: Betrachten wir noch einmal das zweimalige Werfen eines Würfels und die Zufallsgröße \(X\): „Augensumme“. Die Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung haben wir bereits erstellt:

\[\begin{array} {c|c} x & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline P(X = x) & \frac{1}{36} & \frac{2}{36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36} \end{array}\]

Der zugehörige Graph der Funktion ist nebenstehend dargestellt.

Der Graph der Wahrscheinlichkeitsverteilung besteht also aus den Punkten \((x|P(X=x)).\)

2. Das Stabdiagramm

Diese Darstellung verwendet man, um eine größere Anschaulichkeit zu erreichen. Hier werden die Ordinaten (y-Werte) als Stäbe gezeichnet. Die Längen der Stäbe geben die Wahrscheinlichkeiten an.

Das Stabdiagramm zu obiger Wahrscheinlichkeitsverteilung sieht wie folgt aus:

3. Das Histogramm

Dies ist die Darstellung mit der größten Anschaulichkeit. Im Histogramm werden die Wahrscheinlichkeiten als Rechtecksflächen dargestellt. Dabei entspricht jede Fläche der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Achtung:

Normalerweise wählt man als Breite des Rechtecks Δx = 1. Dann stimmt die Höhe des Rechtecks mit der Wahrscheinlichkeit überein. Wählt man eine andere Breite, muss man die Höhe ändern! Die Rechtecke werden in der Regel symmetrisch um das zugehörige x angeordnet

Hier gilt, dass die Summe aller Flächeninhalte 1 ergibt!

Weiteres Beispiel

Ein Glücksrad ist zur Hälfte rot und zur Hälfte weiß eingefärbt. Der Einsatz für (maximal) drei Spiele beträgt 3 Euro. Erscheint zweimal nacheinander rot, so wird das Spiel beendet, der Spieler verliert den Einsatz. Erscheint zweimal nacheinander weiß, so wird das Spiel ebenfalls beendet und der Spieler erhält das anderthalbfache seines Einsatzes zurück. In allen anderen Fällen erhält der Spieler seinen Einsatz zurück. Die Zufallsgröße \(X\) gibt den Gewinn des Spielers an. Wie sieht das zugehörige Stabdiagramm aus?

Zuerst wird die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung benötigt. Diese erhält man z.B. mit einem Baumdiagramm.