Erwartungswert einer Zufallsgröße: Beispiele

In einer Urne befinden sich 10000 Lose. Der Preis für ein Los beträgt 2 Euro. Unter den Losen befinden sich 10 Gewinnlose, bei denen 1000 Euro ausgezahlt werden, 5 Gewinnlose, bei denen 2000 Euro ausgezahlt werden und 3, bei denen man 5000 Euro gewinnt. Der Rest sind Nieten.

Berechnen Sie die erwartete Auszahlung und den erwarteten Gewinn pro Los.

Bei einem Glückspiel wird mit einem Laplace-Würfel gewürfelt. Fällt die Zahl 1, so erhält der Spieler 50 Cent, bei 2 und 3 erhält der Spieler nichts, bei 4 und 5 erhält der Spieler 1 Euro. Fällt die 6, so erhält der Spieler 2 Euro.

Berechnen Sie die erwartete Auszahlung und die Höhe des Einsatzes, damit das Spiel fair ist-

Tipp: Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns 0 ist!

An einem Schlüsselbund befinden sich 5 gleichartige Schlüssel. Jemand probiert die Schlüssel der Reihe nach an einem Schloss aus. Berechnen Sie die Anzahl der durchschnittlich ausprobierten Schlüssel, bis die Person den richtigen gefunden hat.

Abschlussprüfung an FOS 2000, SI, Aufgabe 2:

In einer größeren Gebäckschale liegen \(3n\) Kekse, wobei \(n\) eine geeignete feste natürliche Zahl mit \(n \geq 3\) ist. Von diesen \(3n\) Keksen sind genau zwei Drittel V-Kekse (mit Vanillecreme gefüllt), ein Drittel H-Kekse (mit Haselnusscreme gefüllt). Die Kekse sind mit Schokoladenglasur überzogen, formgleich und somit äußerlich nicht unterscheidbar. Der Schale werden nacheinander drei Kekse zufällig ohne Zurücklegen entnommen. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der H-Kekse unter den drei entnommenen Keksen an. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) lässt sich mit Hilfe der Parameter \(a, b \in [0; 1]\) wie folgt darstellen:

\[\begin{array} {c|c} x  & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X = x) & 20a & 5b & 2b & a \end{array}\]

Der Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\) beträgt \(µ = 1.\) Berechnen Sie die Parameter \(a\) und \(b\).