Verknüpfung von Ereignissen
Roulette ist ein beliebtes Casino-Spiel. Man kann Einsätze auf verschiedenste Zahlenkombinationen abgeben, z.B. auf einzelne Zeilen oder Spalten des Tisches, auf vier Zahlen die auf dem Tisch in einem Rechteck angeordnet sind und vieles weiteres.
Angenommen eine Person hat auf folgende zwei Gruppen gesetzt:
- zehnte Querreihe (=zehnte Zeile beginnend bei 1 2 3 gezählt)
- vier Zahlen im Carré, 26-30 (=vier Felder im Rechteck angeordnet, von 26 bis 30)
Welche Ergebnisse des Roulettes führen dazu dass beide Einsätze gewinnen? Bei welchen Ergebnissen gewinnt mindestens oder genau einer der Einsätze? Um solche Fragen zu klären werden die obigen Gruppen zunächst als Ereignisse betrachtet.
Aufgabe
Geben Sie zu den obigen Einsätzen jeweils das zugehörige Ereignis in aufzählender Mengenschreibweise an.
Mit Hilfe der beiden Mengen ist es nun möglich die obigen Fragen zu beantworten.
- Welche Ergebnisse führen dazu, dass beide Einsätze gewinnen?
Damit beide Einsätze gewinnen, muss eine Zahl fallen, die sowohl in \(A\) als auch in \(B\) enthalten ist. Dies sind die Zahlen 29 und 30.
- Welche Ergebnisse führen dazu, dass mindestens ein Einsatz gewinnt?
Hier genügt es, dass die erdrehte Zahl in einer der beiden Ereignisse enthalten ist (sie darf aber auch in beiden enthalten sein!). Folglich gewinnt mindestens ein Einsatz bei den Zahlen 26, 27, 28, 29 und 30.
- Welche Ergebnisse führen dazu, dass genau ein Einsatz gewinnt?
Im Gegensatz zu „mindestens ein Einsatz“ müssen nun die Zahlen, bei denen beide Einsätze gewinnen, herausgenommen werden. Es bleiben damit die Ergebnisse 26, 27 und 28 übrig.
Die hier für Ereignisse benutzten Operationen „und“, „mindestens eines“ und „genau eines“ lassen sich auf die Verknüpfungen von Mengen zurückführen. Die grundlegenden Mengenoperationen und -verknüpfungen sind:
\begin{array}{c|c|c}
\text{Symbol} & \text{Name} & \text{Wortbedeutung}\\
\hline
A \cap B & \text{Schnittmenge aus }A \text{ und } B &\text{und, sowohl als auch, beide}\\
\hline
A \cup B & \text{Vereinigungsmenge aus }A \text{ und } B & \text{oder*, mindestens eines}\\
\hline
\overline{A}& \text{Gegenereignis zu }A & \text{nicht }A\\
\hline
A \backslash B& A \text{ ohne } B & A\text{ aber nicht }B
\end{array}
\(\text{*}\) Achtung: Das Wort „oder“ im Sinne der Vereinigungsmenge ist nicht mit der Alltagsbedeutung von oder (=entweder … oder) übersetzbar. Deshalb sollte \(\cup\) besser mit „mindestens eines“ übersetzt werden.
Aufgabe
Drücken Sie die obenstehenden Situationen (beide Einsätze gewinnen, mindestens ein Einsatz gewinnt, genau ein Einsatz gewinnt) mit Hilfe der soeben behandelten Operationen Schnittmenge, Vereinigungsmenge und Gegenereignis, sowie den Ereignissen \(A=\{28;29;30\}\) und \(B=\{26;27;29;30\}\) aus.
Hinweis: Versuchen Sie die Szenarien so umzuformulieren, dass die Wortbedeutungen von \(\cap\) bzw. \(\cup\) auftauchen.