Die Gesetze von de Morgan

Die Gesetze von de Morgan (auch bekannt als de Morgan’sche Gesetze; benannt nach Augustus de Morgan, einem englischen Mathematiker) sind zwei Regeln, die generell für logische Aussagen, insbesondere für Ereignisse und deren Verknüpfungen gelten.

Bevor die mathematische Notation und Herleitung erfolgt, soll anhand eines Alltagsbeispiels illustriert werden, was die Gesetze aussagen.

Angenommen eine Person trinkt Kaffee generell nur schwarz und ohne Zucker. Dann sind die nachfolgenden Aussagen identisch:

„Ich trinke den Kaffee nur, wenn keine Milch und kein Zucker enthalten ist.“
„Ich trinke den Kaffee nicht, wenn Milch oder* Zucker enthalten ist.“

*Beachten Sie, dass hier auch in der Alltagssprache das Wort „oder“ nicht mit „entweder … oder“ übersetzt werden kann. Die Person würde den Kaffee auch nicht trinken, wenn beides enthalten ist.

Der Unterschied zwischen den Aussagen liegt in der Positionierung der Verneinungen. In der ersten Aussage steht die Verneinung (das Wort „kein“) bei Milch und Zucker, also quasi in der Bedingung, anhand derer die Entscheidung getroffen wird. In der zweiten Aussage taucht die Verneinung (das Wort „nicht“) in der Trinkentscheidung selbst auf.

Versuchen wir nun die beiden Aussagen mit Hilfe der Ereignisse

\(A: \text{ „Der Kaffee enthält Milch.“}\)

\(B: \text{ „Der Kaffee enthält Zucker.“}\)

formal-mathematisch zu beschreiben.

Aussage 1:

„… keine Milch und kein Zucker …“ \(\Rightarrow \overline A \cap \overline B \)

\(\Rightarrow\) Kaffee trinken

Aussage 2:

„… Milch oder Zucker …“ \(\Rightarrow A\cup B\)

\(\Rightarrow\) Kaffee nicht trinken.

Diese beiden Konstellationen führen also zu gegenteiligen Entscheidungen, ob der Kaffee getrunken wird oder nicht. Folglich sind sie Gegenereignisse zu einander. Es muss also gelten: \[\overline A \cap \overline B = \overline{A \cup B}.\]

Dass diese Gleichheit tatsächlich allgemein für beliebige Ereignisse \(A\) und \(B\) gültig ist, soll im folgenden anhand von geeigneten Venn-Diagrammen gezeigt werden. Wir betrachten dazu zunächst wiederum die Ereignisse \(\overline A\) und \(\overline B\).


Legt man diese beiden Venn-Diagramme nun übereinander erhält man:
Damit ein Ergebnis in \(\overline A\cap \overline B\) liegt, muss es wiederum rot und blau gefärbt sein. Übrig bleibt:

Vergleicht man den nun gefärbten Teil mit dem Venn-Diagramm zu \(A\cup B\), so stellt man fest, dass tatsächlich das Gegenteil markiert ist. Folglich gilt die Gleichheit, die zu zeigen war: \(\overline A \cap \overline B=\overline{A\cup B }\).

In analoger Weise kann auch eine weitere Gleichheit gezeigt werden.

Aufgabe

Es gilt \(\overline A \cup \overline B = \overline{A \cap B}\). Weisen Sie diese Gleichheit mit Hilfe geeigneter Venn-Diagramme nach.

Lösung

Wir markieren zunächst wiederum \(\overline A\) bzw. \(\overline B\).


Legt man diese beiden Venn-Diagramme nun übereinander und färbt die jeweiligen Teile ein, erhält man:
Damit ein Ergebnis nun in \(\overline A\cup \overline B\) liegt, genügt es, dass es in mindestens einem der Teile liegt. Es muss also mindestens rot oder blau gefärbt sein. Übrig bleibt folglich der gesamte bisher markierte Bereich.

Auch hier liefert ein Vergleich mit dem Venn-Diagramm zu \(A\cap B\) die gewünschte Eigenschaft, nämlich, dass es sich um Gegenereignisse handelt. Deshalb ist \(\overline A \cap \overline B =\overline{A \cup B}\).