Signifikanztests – Aufgaben

Testen Sie Ihr Wissen an folgenden Aufgaben:

1 Eine Schülergruppe besitzt einen Würfel, bei dem die Zahl \(6\) häufiger erscheint, als die anderen Zahlen.
Die Schüler behaupten, die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Zahl \(6\) beträgt \(0,2\). Der Lehrer meint, die \(6\) tritt noch häufiger auf. Um dies zu überprüfen, wird ein Signifikanztest durchgeführt, bei dem \(200\)-mal gewürfelt wird.
Wie muss die Entscheidungsregel lauten, wenn der Fehler 1. Art höchstens \(10\%\) betragen soll?
Wie groß ist dann der Fehler 2. Art, wenn die Zahl \(6\) tatsächlich in \(25\%\) aller Würfe fällt?
2 Ein Blumenhändler gibt auf seine Tulpen eine Blütegarantie von \(95\%\). Ein Kunde will, wenn weniger Tulpen blühen, einen Preisnachlass. Er testet \(50\) Tulpenzwiebeln. Wie muss die Entscheidungsregel lauten, damit die Wahrscheinlichkeit, dass der Händler zu Unrecht einen Preisnachlass gewähren muss, höchstens \(5 \%\) beträgt?
3 Ein Hersteller von Hundefutter ist bei \(60\%\) der Hundebesitzer bekannt. Er beauftragt eine Werbefirma, eine neue Werbekampagne zu entwerfen. Führt diese zu einem höheren Bekanntheitsgrad, so soll die PR-Firma eine zusätzliche Prämie erhalten.
Da der Hersteller die Prämie nicht fälschlicherweise zahlen möchte, macht er nach der Kampagne eine Umfrag unter \(200\) Hundebesitzern. Kennen mehr als \(140\) Personen das Hundefutter, so erhält die Werbefirma die Prämie, sonst nicht.
3.1 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Firma die Prämie erhält, obwohl der Bekanntheitsgrad nicht gestiegen ist?
3.2 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Firma die Prämie nicht erhält, obwohl der Bekanntheitsgrad auf \(70\%\) gestiegen ist?
3.3 Wie muss die Entscheidungsregel lauten, damit die Wahrscheinlichkeit, dass die Werbeagentur ihre Prämie nicht erhält, obwohl der Bekanntheitsgrad \(70\%\) beträgt, höchstens \(10\%\) ist?
4 Abschlussprüfung an FOS 2003, Aufgabe S I:

In einem Mischwald wird eine Versuchsfläche auf Schäden durch Wildverbiss an den Jungtrieben der Bäume untersucht. Einzige Nadelbaumart ist die Fichte \((F)\); sie macht \(25\%\) des Baumbestandes aus. Auf der Versuchsfläche befinden sich außerdem \(45\%\) Buchen \((B)\), ansonsten Eichen \((E)\). Alle Baumarten kommen auf der Fläche gleichmäßig verteilt vor. Bei einer Zählung werden folgende Schadensanteile durch Verbiss unter den jeweiligen Baumarten beobachtet: \(20\%\) bei Fichten, \(30\%\) bei Buchen und \(25\%\) bei Eichen. Als Zufallsexperiment wird die Auswahl eines beliebigen Baumes betrachtet; dabei wird die Baumart festgestellt und geprüft, ob Verbiss \((V)\) vorliegt oder nicht \((\overline{V})\). Die gegebenen Prozentsätze werden als Wahrscheinlichkeiten interpretiert. […] Bei einer Waldbegehung wird vermutet, dass sich der Schadensanteil bei Fichten vergrößert hat (Gegenhypothese). Um dies zu überprüfen, werden \(200\) zufällig ausgewählte Fichten auf Wildverbiss untersucht. Sind hiervon mehr als \(50\) geschädigt, wird diese Vermutung als bestätigt angesehen.

Geben Sie die Testgröße \(T\), die Nullhypothese \(H_{ 0 }\) und den Ablehnungsbereich der Nullhypothese an.
Bestimmen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit man sich irrtümlich für eine Vergrößerung des Schadensanteils entscheidet.
Beschreiben Sie, worin bei diesem Beispiel der Fehler 2. Art besteht.
5 Nach Abschlussprüfung an FOS 2000/ Sll: Eine Firma liefert Porzellanbecher. Sie geht davon aus, dass \(4\%\) aller produzierten Becher fehlerhaft sind. Aufgrund einer Häufung von Reklamationen entsteht der Verdacht, dieser Anteil könnte höher liegen als erwartet (Gegenhypothese). Zur Überprüfung wird seitens der Firma ein Signifikanztest mit \(100\) Bechern durchgeführt. Bestimmen Sie auf einem Signifikanzniveau von \(5\%\) den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Geben Sie den bei diesem Test auftretenden Fehler 1. Art […] an. […] Wie verändert sich der Fehler 2. Art, wenn die Entscheidungsregel so abgewandelt wird, dass der Fehler 1. Art kleiner wird?

Lösungen

Es handelt sich hier um einen rechtsseitigen Signifikanztest. Die Testgröße ist \(T\): „Anzahl der geworfenen Sechser bei \(200\) Würfen“.

\(H_{ 0 }: p = 0,2\)

\(H_{ 1 }: p > 0,2\)

\(\alpha = 0,1\)

\(A = \{0;1; …; c\}\), \(\overline{A} = \{c+1; …; 200\)}
Der Fehler 1. Art darf höchstens \(10\%\) betragen. Den Fehler 1. Art begeht man, wenn man die Nullhypothese ablehnt, obwohl sie zutrifft. Also folgt:
\(P(\overline{A}) \leq 0,1\)

\(P(T \geq c + 1) \leq 0,1\)

\(1 – F^{ 200 }_{0,2}(c) \leq 0,1\)

\(F^{ 200 }_{0,2}(c) \geq 0,9\)
Aus dem Tafelwerk: \(c = 47\)
Damit folgt: \(A = \{0;1;…;47\}\), \(\overline{A} = \{48;…;200\}\)
Der zugehörige Fehler 2. Art (die Nullhypothese wird angenommen, obwohl sie falsch ist) beträgt dann:
\(P(A) = P(T \leq 47) = F^{ 200 }_{0,25}(47) = 0,34580\)

Es handelt sich hier um einen linksseitigen Signifikanztest. Die Testgröße ist \(T\): „Anzahl der blühenden Tulpen unter \(50\) Zwiebeln“
\(H_{ 0 }: p = 0,95\)
\(H_{ 1 }: p < 0,95\), \(A = \{c + 1;…;50\}\), \(\overline{A} = \{0;1;…:c\}\) \(\alpha = 0,05\)

Der Händler gewährt zu Unrecht einen Preisnachlass, wenn er annimmt, dass weniger als \(95\%\) seiner Tulpen blühen (die Anzahl der blühenden Tulpen also im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegen), obwohl es doch \(95\%\) sind.

\(P(\overline{A}) \leq 0,05\)

Mit dem Tafelwerk: \(c = 44\)

Also folgt: \(A = \{45;..,;50\}\), \(\overline{A} = \{0,..;44\}\)

\(T\): Anzahl der Hundebesitzer, die das Hundefutter kennen unter \(200\) Personen, \(H_{ 0 }: p = 0,6\), \(H_{ 1 }: p > 0,6\), \(A = \{0;…; 140\}\), \(\overline{A} = \{141; …; 200\}\)

3.1

Der Bekanntheitsgrad ist nicht gestiegen, also \(p = 0,6\), aber die Firma erhält die Prämie. Das heißt die Anzahl der Hundebesitzer, die das Produkt kennt, ist größer als \(140\).

\(P(\overline{A}) = P(T \geq 141) = 1 – F^{ 200 }_{0,6}(140) = 1 – 0,99869 = 0,00131\)

3.2

Die Firma erhält die Prämie nicht, also kennen weniger als \(141\) Hundebesitzer das Hundefutter, aber \(p = 0,7\) (Fehler 2. Art)!
\(P(A) = P(T \leq 140) = F^{ 200 }_{0,7}(140) = 0,58768\)

3.3

Hier geht es darum, die Entscheidungsregel so zu wählen, dass der Fehler 2. Art höchstens \(10\%\) beträgt!

\(A = \{0;…; c\}\), \(\overline{A} = \{c + 1; …; 200\}\)

\(P(A) \leq 0,1\)
Aus dem Tafelwerk: \(c = 131\)
Die Entscheidungsregel ist also: \(A = \{0;…; 131\}\), \(\overline{A} = \{132; …; 200\}\)

Die Testgröße \(T\) ist „Anzahl der Fichten mit Wildverbiss unter \(200\) untersuchten Fichten“.
\(H_{ 0 }: p = 0,2\)
\(H_{ 1 }: p > 0,2\)
Ablehnungsbereich der Nullhypothese: \(\overline{A} = \{51 ;…;200\}\)
Man entscheidet sich irrtümlich für eine Vergrößerung des Schadensanteil, wenn man die Nullhypothese ablehnt, obwohl sie zutrifft.
\(P(\overline{A}) = P(T \geq 51) = 1 – F^{ 200 }_{0,2}(50) = 1 – 0,96550 = 0,0345\)
Der Fehler 2. Art besteht allgemein darin, dass die Nullhypothese angenommen wird, obwohl sie nicht zutrifft. In diesem Beispiel bedeutet dies, man nimmt an, dass der Wildverbiss nicht zugenommen hat (weil die Anzahl der Fichten mit Wildverbiss höchstens \(50\) ist), obwohl er tatsächlich zugenommen hat.

Testgröße \(T\): „Anzahl der fehlerhaften Becher unter \(100\) getesteten“
\(H_{ 0 }: p = 0,04\)
\(H_{ 1 }: p > 0,04\)
Es handelt sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest!

\(A = \{0; …; c\}\); \(\overline{A} = \{c+1; …; 100\}\)
\(\alpha = 0,05\)
Der Fehler 1. Art darf maximal \(5 \%\) betragen.

\(P(\overline{A}) \leq 0,05\)

\(P(T \geq c + 1) \leq 0,05\)

\(1 – F^{ 100 }_{0,04}(c) \leq 0,05\)

\(F^{ 100 }_{0,04}(c) \geq 0,95\)

Aus dem Tafelwerk: \(c = 7\)
Damit erhält man als maximalen Ablehnungsbereich: \(\overline{A} = \{8; …; 100\}\)
Der tatsächlich auftretende Fehler 1. Art ist dann:
\(P(\overline{A}) = P(T \geq 8) = 1 – F^{ 100 }_{0,04}(7) = 1 – 0,95249 = 0,04751\)
Wird der Fehler 1. Art kleiner, so wird der Fehler 2. Art größer!

Zurück