Signifikanztests – Beispielaufgaben 1

Betrachten Sie sich alle unten aufgeführten Beispiele und beobachten Sie die Denkschritte genau:

Beispiele

1 Die Münze aus dem ersten Beispiel wird nun \(200\)-mal geworfen.
Wie lautet die Entscheidungsregel, wenn die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art höchstens \(8\%\) betragen soll? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art dann tatsächlich?
2 Von einer anderen Münze wird vermutet, dass „Zahl“ weniger häufig auftritt als „Kopf“. Diese Münze wird \(100\)-mal geworfen.
Wie ist die Entscheidungsregel zu wählen, damit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art höchstens \(10\%\) beträgt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn „Zahl“ tatsächlich mit einer Wahrscheinlichkeit von \(45\%\) auftritt?

Lösungen

Es handelt sich hier wieder um einen Signifikanztest, die Testgröße \(T\) ist „Anzahl von Zahl“, \(n = 200\)
\(H_{ 0 }: p = 0,5\)
\(H_{ 1 }: p > 0,5\)
Signifikanzniveau: \(\alpha = 0,08\)
Der Annahme – und Ablehnungsbereich sind gesucht. Man weiß, dass die Nullhypothese angenommen wird, wenn Zahl zwischen \(0\) und \(k\) mal fällt, also \(A = \{0;1;,.. k\}\) und damit \(\overline{A} = \{k+1;… 200\}\) ist.
Da der Annahme – und der Ablehnungsbereich je aus einem Intervall bestehen, spricht man von einem einseitigen Test. Hier liegt der Ablehnungsbereich im rechten Teil, deshalb auch rechtsseitiger Test.
Wie erhält man \(k\)?
Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art soll maximal \(8\%\) betragen. Der Fehler erster Art tritt auf, wenn man die Nullhypothese ablehnt, obwohl sie richtig ist. Das heißt die zugehörige Wahrscheinlichkeit ist \(p = 0,5\), aber man landet im Ablehnungsbereich. Also:
\(P(\overline{A}) \leq 0,08\)
\(P(T \geq k + 1) \leq 0,08\)
\(1 – P(T \leq k) \leq 0,08\)
\(P(T \leq k) \geq 0,92\)
\(F^{ 200 }_{0,5}(k) \geq≥ 0,92\)
Nun verwendet man das Tafelwerk und sucht in der Tabelle der aufaddierten Wahrscheinlichkeiten bei \(n = 200\) und \(p = 0,5\) den Wert von \(k\) für den die Wahrscheinlichkeit das erste Mal einen Wert größer oder gleich \(0,92\) annimmt. Man findet: \(k = 110\).
Der Annahmebereich ist also \(A = \{0; 1;… 110\}\) und damit \(\overline{A} = \{111; 112; … 200\}\).
Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt dann tatsächlich
\(\alpha^{/} = P(\overline{A}) = P(T \geq 111) = 1 – P(T \leq 110) = 1 – F^{ 200 }_{0,5}(110) = 0,06868\)

Auch hier handelt es sich wieder um einen einseitigen Signifikanztest. Die Testgröße \(T\) gibt die „Anzahl von Zahl“ bei \(n = 100\) Würfen an. \(H_{ 0 }: p = 0,5\) (Nullhypothese), \(H_{ 1 }: p < 0,5\) (Gegenhypothese).
Annahmebereich: \(A = \{k; k + 1; … 100\}\)
Ablehnungsbereich: \(\overline{A} = \{0; 1; … k – 1\}\)
Man nimmt die Nullhypothese (es handelt sich um eine Laplace – Münze) an, wenn Zahl \(k\)-mal oder öfter auftritt. Tritt Zahl weniger als \(k\)-mal auf, so entscheidet man sich für die Gegenhypothese (Zahl tritt weniger oft auf als Kopf). Dieser Test ist linksseitig. Das Signifikanzniveau soll diesmal \(10 \%\) betragen. Man erhält wieder mit Hilfe der Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (die Nullhypothese wird abgelehnt, obwohl sie wahr ist) und dem Tafelwerk:
\(P(\overline{A}) \leq 0,1\)
\(P(T \leq k – 1) \leq 0,1\)
\(F^{ 100 }_{0,5}(k – 1) \leq 0,1  \implies  k -1 = 43  \implies  k = 44\)
Damit erhält man: Annahmebereich: \(A = \{44; … 100 \}\), Ablehnungsbereich: \(\overline{A} = \{0; … 43\}\). Für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art benötigt man die genaue Wahrscheinlichkeit der Gegenhypothese. Diese ist angegeben, \(p = 0,45\). Der Fehler 2. Art bedeutet, die Nullhypothese wird angenommen, obwohl sie nicht zutrifft, das heißt die Anzahl der Treffer liegt im Annahmebereich, obwohl \(p = 0,45\) ist. Damit ergibt sich:
\(\beta = P(A) = P(T \geq 44) = 1 – P(T \leq 43) = 1 – F^{ 100 }_{0,45}(43) = 1 – 0,38277 = 0,61723\)

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