Pfadregeln für Baumdiagramme

Als Hilfmittel zur Bestimmung von Ergebnisräumen kann man Baumdiagramme verwenden. Diese kann man auch zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten nutzen.

In einer Urne befinden sich drei rote, vier schwarze und eine blaue Kugel. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im ersten Zeug eine rote (blaue, schwarze) Kugel zu ziehen? Es gibt beim ersten Zug insgesamt acht Kugeln in der Urne, jede davon könnte beim zufälligen Ziehen entnommen werden. Es handelt sich also um ein Laplace-Experiment. Damit ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:

\( P (R) = \frac {3} {8} \)

\( P (S) = \frac {4} {8} \)

\( P (B) = \frac {1} {8} \)

Analog verfährt man mit dem zweiten Zug. Da allerdings schon eine Kugel aus der Urne gezogen wurde, liegen beim zweiten Zug nur noch insgesamt sieben Kugeln in der Urne.

Es fällt auf, dass an einem Verzweigungspunkt die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Zweigen aufsummiert jeweils \(1\) ergibt.

Insgesamt hat man beim ersten Zug \(8\) mögliche und beim zweiten Zug \(7\) mögliche Kugeln, die man ziehen kann. Somit kann es insgesamt \(8 \cdot 7= 56 \) Kombinationen geben. Wenn man auf das Ereignis \(RB\) (erst eine rote und anschließend eine blaue Kugel ziehen) schaut, so gibt es dazu genau drei Kombinationen: erst muss eine der \(3\) roten Kugeln gewählt werden und anschließend die blaue. Somit sind das \(3\) von \(56\) Kombinationen, also eine Laplace-Wahrscheinlichkeit von:

\( P (RB) = \frac {3} {56} \)

Dieses Ergebnis erhält man auch aus den Werten am Baumdiagramm, indem man die Wahrscheinlichkeiten am zugehörigen Pfad multipliziert:

\( P (RB) = \frac {3} {8} \cdot \frac {1} {7}= \frac {3} {56} \)

1. Pfadregel

Um die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses zu bestimmen, werden die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Verzweigungen entlang des zugehörigen Pfades multipliziert.

Betrachtet man das Ereignis „es wird insgesamt eine rote und eine blaue Kugel gezogen“, so spielt die Reihenfolge keine Rolle. Somit betrachtet man die Elementarereignisse \(RB\) und \(BR\).

\( P(rot \: und \: blau) =P (RB)+P(BR) = \frac {3} {8} \cdot \frac {1} {7}+\frac {1} {8} \cdot \frac {3} {7}= \frac {6} {56}= \frac {3} {28} \)