Eigenschaften der relativen Häufigkeit
Zur Erinnerung: im Experiment wurden die Zahlen \(2; 6; 1; 4; 1; 3; 3; 2; 4; 1\) gewürfelt. Betrachtet wird nun noch einmal das Ereignis \(A\): Es wurde eine Primzahl gewürfelt.
\( A = \{2; 3; 5\}, h_n(A) = 0,4 \)
Betrachtet werden nun die Elementareignisse {\(2\)}, {\(3\)}, {\(5\)} und deren relative Häufigkeiten:
\( A = \{2\}∪\{3\}∪\{5\} \)
\( h_n({2}) = 0,2 \)
\( h_n({3}) = 0,2 \)
\( h_n({5}) = 0 \)
Damit gilt \( h_n(A) = 0,4 \) .
Definition 1
Die relative Häufigkeit eines Ereignisses \(A\) ist gleich der Summe der relativen Häufigkeiten der Elementarereignisse, aus denen \(A\) zusammengesetzt ist:
\( h_n (A) = \sum h_n ({ω}) \)
Daraus kann man schließen:
\( 0 ≤ h_n(A) ≤ 1 \)
\( h_n(Ω) = 1 \)
\( h_n({~~}) = 0 \)
Achtung:
Aus \( h_n(A) = 0 \) folgt nicht, dass \(A\) das unmögliche Ereignis ist.
Z.B. ist in obigem Zufallsexperiment \( h_n({5}) = 0 \). Aber schon beim nächsten Wurf kann man eine \(5\) werfen!
Jetzt wird nochmal das Würfelexperiment betrachtet:
\( A = \{2; 3; 5\} \)
\( C = \{6\} \)
Diese beiden Ereignisse sind unvereinbar.
Bereits früher wurde festgestellt: \( h_n(A) = 0,4 \) und \( h_n(C) = 0,1 \).
Es gilt: \( h_n(A∪C) = 0,5 \)
Und damit: \( h_n(A∪C) = h_n(A) +h_n(C) \)
Betrachtet man \( A \) und \( B = \{2; 4; 6\} \), so sieht man, dass die beiden Ereignisse vereinbar sind, \( A∩B = \{2\} \).
Auch hier wurde bereits berechnet: \( h_n(B) = 0,5 \)
Nun gilt \( h_n(A∪B) = 0,7 ≠ h_n(A) + h_n(B) = 0,9 \).
Betrachtet man \( h_n(A∩B) = h_n({2}) = 0,2 \), so gilt: \( h_n(A∪B) = h_n(A) + h_n(B) – h_n(A∩B) \)
Zieht man nicht \( h_n(A∩B) \) ab, so zählt man die \(2\)er doppelt.
Definition 2
Sind zwei Ereignisse \(A, B\) unvereinbar, so gilt: \( h_n (A∪B) = h_n (A) + h_n (B) \)
Sind sie nicht unvereinbar (also vereinbar), so gilt: \(h_n (A∪B) = h_n (A) + h_n (B) – h_n (A∩B) \)
Betrachtet man \( B = \overline A \), so erhält man \( h_n (A) + h_n ( \overline A ) = h_n (A∪ \overline A ) = h_ n (Ω) = 1 .\)
Also folgt: \( h_n( \overline A ) = 1- h_n (A) \)