Das Gesetz der großen Zahlen
Wie bereits gesehen, kann man die relative Häufigkeit von Ereignissen eines Zufallsexperiments nach dessen Durchführung berechnen. Allerdings kann man vorher keine Aussage über den Ausgang eines einzelnen Experiment machen. Wirft man einen Würfel z.B. zehnmal, lässt sich nicht vorhersagen, wie groß die relative Häufigkeit eines Ereignisses \(A\) „es fällt die Zahl \(1\)“ ist.
Führt man dieses Experiment aber sehr häufig durch und verwendet einen „normalen“ Würfel, so kann man davon ausgehen, dass jede Seite in etwa gleich häufig aufttritt, das heißt die relative Häufigkeit für \(A\) müsste ca. \( \frac {1}{6} \) sein.
In der Grafik wurde die experimentelle Überprüfung veranschaulicht: Ein Würfel wird geworfen und die relative Häufigkeit des Ereignisses \(A\) gegenüber der Zahl der Würfe aufgetragen.
Wie man deutlich erkennen kann, stabilisiert sich für eine große Anzahl von Versuchen die relative Häufigkeit \( h_n(A) \) um den Wert \( \frac {1}{6} \).
Auch bei anderen Zufallsexperimenten lässt sich diese Beobachtung machen. Z.B. beim Münzwurf: Wirft man eine Münze \(n\)-mal hintereinander und beobachtet das Ereignis „Kopf“, so geht die relative Häufigkeit für einen großen Wert von \(n\) gegen \( 0,5 \).
Auch bei anderen Versuchen tritt dieses Phänomen auf. Man bezeichnet diese Erfahrungstatsache als das empirische Gesetz der großen Zahlen:
Definition Gesetz der großen Zahlen
Es gibt Ereignisse, deren relative Häufigkeiten nach einer hinreichend großen Anzahl von Versuchen ungefähr gleich einem festen Zahlenwert ist.
Da dieser Zahlenwert erst ab einer großen Anzahl von Versuchen angenähert wird, spricht man von einem statistischen Gesetz. Umso näher der Wert der relativen Häufigkeit bei \(1\) liegt, umso häufiger tritt das Ereignis in einer langen Versuchsfolge ein. Man sagt, um so „wahrscheinlicher“ ist ein Ereignis. Dieser Zahlenwert heißt deshalb die statistische Wahrscheinlichkeit des zugehörigen Ereignisses.