Berechnung von relativen Häufigkeiten – die Vierfeldertafel

Als man die ersten Bluttransfusionen an Menschen vornahm, traten heftige Reaktionen bis hin zum Tod auf. Heute weiß man, dass diese Reaktionen auf besondere Stoffe in den roten Blutkörperchen, den sogenannten Blutgruppenantigenen zurückzuführen sind. Rote Blutkörperchen, die nicht die gleichen Antigene besitzen, werden vernichtet. Man unterscheidet hauptsächlichen zwischen den Antigenen A und B (Antigen D bestimmt die Zugehörigkeit innerhalb des Rhesussystems). Blutgruppe A besitzen Menschen, in deren Blut nur das Antigen A vorkommt, Blutgruppe AB bedeuetet, dass beide Antigene im Blut sind und Blutgruppe 0, dass kein Antigen vorhanden ist.

\(44 \%\) der Bevölkerung haben Blutgruppe A und \(10 \%\) Blugruppe B. Nur \(4 \%\) der Bevölkerung besitzen beide Antigene, hingegen fehlen bei \(42 \%\) der Menschen beide Antigene.

Bezeichnet man mit \(A\) das Ereignis „ein Mensch trägt das Antigen A“ und mit \(B\) das Ereignis „ein Mensch trägt das Antigen B“, so erhält man mit obenstehenden Daten:

\( h_n (A∩ \overline {B}) = 0,44 \)

\( h_n( \overline {A} ∩B) = 0,10 \)

\( h_n(A∩B) = 0,04 \)

\( h_n( \overline {A} ∩ \overline {B}) = 0,42 \)

Trägt man diese Zahlen in eine Tafel ein, lassen sich weitere relative Häufigkeiten oft sehr einfach berechnen:

\[\begin{array} {c|c}  &  A  & \overline {A}  & Summe \\ \hline  B  & 0,04 & 0,10 & 0,14 \\ \hline \overline {B}  & 0,44 & 0,42 & 0,86 \\ \hline Summe & 0,48 & 0,52 & 1 \end{array}\]

Man erkennt: \(  h_n(A) = 0,48, h_n(B) = 0,14 \)

Man kann auch berechnen: \( h_n(A∪B) = h_n(A) + h_n(B) – h_n(A∩B) = 0,48 + 0,14 – 0,04 = 0,58 \)

Mit Hilfe einer solchen Vierfeldertafel für relative oder auch für absolute Häufigkeiten lassen sich als die Häufigkeiten \( A∩B, \overline A∩B, A∩ \overline B, \overline A∩ \overline B \) sowie \(A, \overline A, B, \overline B \) (also sogenannte Randhäufigkeiten durch Aufsummieren der jeweiligen Spalten bzw. Zeilen) darstellen. Allgemein:

\[\begin{array} {c|c}  &  A  & \overline {A}  & Summe \\ \hline  B  & h_n(A∩B) & h_n(\overline A∩B) & h_n(B) \\ \hline \overline {B}  & h_n(A∩\overline B) & h_n(\overline A∩\overline B) & h_n(\overline B) \\ \hline Summe & h_n(A) & h_n(\overline A) & 1 \end{array}\]

Weiteres Beispiel:

Von \(100\) Personen sprechen \(40\) Spanisch und \(80\) Englisch. \(30\) Personen sprechen sowohl Englisch als auch Spanisch.

Wie viele Personen sprechen nur Englisch?

Wie viele Personen sprechen nur Spanisch?

Lösung: Zuerst sucht man aus dem Text die gegebenen Ereignisse mit ihren Wahrscheinlichkeiten.

Damit stellt man eine Vierfeldertafel auf und vervollständigt diese:

\[\begin{array} {c|c}  &  S  & \overline {S}  & Summe \\ \hline  E  & 30 & 50 & 80 \\ \hline \overline {E}  & 10 & 10 & 20 \\ \hline Summe & 40 & 60 & 100 \end{array}\]

Nun kann man die absoluten Häufigkeiten der gesuchten Ereignisse aus der Tafel ablesen:

nur Englisch: \( h_{100}(E∩ \overline S) = 50 \)

nur Spanisch: \( h_{100}( \overline E∩S) = 10 \)