Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Absolute und relative Häufigkeiten
Nachdem man ein Zufallsexperiment mehrfach durchgeführt hat, kann man dieses auswerten, indem man beispielsweise die Anzahl des Auftretens der einzelnen Ergebnisse in einer Tabelle notiert. Diese Größen heißen absolute Häufigkeiten (des Ergebnisses \(\omega\)). Man schreibt hierfür \(H(\omega)\). Beim Werfen eines Würfels erhält man als möglichen Ergebnisraum \(\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}\). Führt man dieses Experiment nun 100 mal durch, so könnte die Tabelle folgendermaßen aussehen:
\[\begin{array} {c|c}\omega & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline H(\omega) & 16 & 13 & 14 & 19 & 15 & 13 \end{array}\]
Diese Definition können wir auch auf Ergebnisse übertragen. Hierfür können die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Ergebnisse addiert werden. Wir erhalten damit für das Ereignis \(A: \text{„Die geworfene Zahl ist größer als 3.“} \Rightarrow A=\{4;5;6\}\):
\[H(A)=H(4)+H(5)+H(6)=47\]
Bestimmen Sie in ähnlicher Weise die absoluten Häufigkeiten der Ereignisse \(B: \text{„Die geworfene Zahl ist höchstens 3.“}\) und \(C: \text{„Die geworfene Zahl ist eine Primzahl.“}\).
Wurfergebnisse: \( E = \{2; 6; 1; 4; 1; 3; 3; 2; 4; 1 \}\)
Stellen Sie fest, wie oft die folgenden Ereignisse eintreten:
\(A\): Es wurde eine Primzahl geworfen.
\(B\): Es wurde eine gerade Zahl geworfen.
\(C\): Es wurde eine Sechs geworfen.
Definition absolute Häufigkeit
Ein Zufallsexperiment wird \(n\)-mal durchgeführt. Man zählt, wie oft das Ereignis \(A\) eingetreten ist. Diese Zahl nennt man absolute Häufigkeit \(k\) bzw. \(k(A)\).
In obigem Experiment ist also \(n = 10\),
\( k(A) = 4 \)
\( k(B) = 5 \)
\( k(C) = 1 \).
Wird jetzt 20, 30 oder 100 mal gewürfelt, kann man die absoluten Häufigkeiten für einzelne Ereignisse schlecht miteinander vergleichen. Deshalb teilt man sie durch die Anzahl der Versuche. Diese Zahlen nennt man die relative Häufigkeit \( h_n (A) \) bzw. \( h_n (B) \) bzw. \( h_ n(C) \).
Definition relative Häufigkeit
Das Ereignis \(A\) tritt bei \(n\)-maliger Wiederholung eines Zufallsexperiment \(k\)-mal auf.
\( h_n (A) = \frac {k} {n} \)
heißt die relative Häufigkeit des Ereignisses \(A\).
In unserem Beispiel ist also:
\(h_{10}(A) = 0,4 \)
\(h_{10}(B) = 0,5 \)
\(h_{10}(C) = 0,1 \)