k-Permutationen aus einer n-Menge
(Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge: ZoZmR)
Beispiel
Bei einem Hunderennen starten \(10\) Hunde. Wie viele Möglichkeiten für den Einlauf gibt es?
謦'¥
Die ersten drei Hunde erhalten Preise. Wie viele Möglichkeiten gibt es diese drei ersten Plätze der Reihe nach zu vergeben?
Nun wird das Problem verallgemeinert: Bei einem Rennen starten \(n\) Hunde, die \(k\) Besten erhalten einen Preis. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun wenn die Preise wieder der Reihe nach vergeben werden?
Für den ersten Preis gibt es wieder \(n\) Möglichkeiten, für den zweiten \( (n-1) \), für den dritten \( (n-2) \), usw. Der letzte Preis wird für den \(k\)-ten Platz vergeben. Hierfür gibt es noch \( (n-k+1) \) Möglichkeiten (selbständig nachrechnen für obiges Beispiel mit \(n=10, k=3\)). Es gibt damit \(n\cdot(n-1)\cdot…\cdot (n-k+1)\) Möglichkeiten. Eine kürzere Schreibweise hiervon ist \( \frac{n!}{(n-k)!}\), denn \[ \frac{n!}{(n-k)!}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot … \cdot (n-k+1)\cdot (n-k)\cdot … \cdot 2 \cdot 1 } {(n-k)\cdot … \cdot 2\cdot 1} = n\cdot (n-1)\cdot … \cdot (n-k+1).\]
Merke
Die Anzahl der \(k\)-Permutationen aus einer \(n\)-Menge ist
\(\frac{n!}{(n-k)!} = n\cdot (n-1)\cdot … \cdot (n-k+1)\).
Dies entspricht der Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten von \(k\) Dingen, die aus einer Menge von \(n\) Dingen ohne Zurücklegen gezogen werden.
Weitere Beispiele
- Beim Pferderennen starten \(15\) Pferde. Es wird auf die ersten drei Pferde in der Reihenfolge ihres Einlaufens gewettet. Wie viele Wettmöglichkeiten gibt es?
- Auf einem Parkplatz sind \(25\) Stellplätze frei. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn \(15\) Personen ihr Fahrzeug parken wollen?
- Welchem Urnenexperiment entspricht „\(k\)-Permutationen aus einer \(n\)-Menge ohne Wiederholung“‚? Entscheiden Sie hinsichtlich:
- Wie viele Kugeln sind in der Urne? Wie viele werden gezogen?
- Werden die gezogenen Kugeln zurückgelegt?
- Ist die Reihenfolge der gezogenen Kugeln relevant?