Kombinatorik
Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten nach Laplace benötigt man also die Mächtigkeit sowohl des Ergebnisraums als auch der Ereignisse. Bisher konnte man diese aus einem Baum oder dem aufgestellten Ergebnisraum ablesen. Dies funktioniert aber nicht bei allen Ereignissen, wie schreibt man z.B. den Ergebnisraum des Lottospiels auf? Eine Möglichkeit diese Mächtigkeit zu berechnen ist das Zählprinzip, auf das bereits am Anfang eingegangen wurde. Aus diesem lassen sich Berechnungsmöglichkeiten für verschiedene Arten von Zufallsexperimenten erschließen.
Wiederholung des Zählprinzips
Entlang einer Mauer sollen Pflanzen gesetzt werden. An erster Stelle ein Busch, dann eine blühende Pflanze, anschließend ein immergrünes Gewächs, dann ein Baum. Es stehen \(5\) Büsche, \(3\) Blühpflanzen, \(4\) immergrüne Gewächse und \(7\) Bäume zur Verfügung.
Wie viele Möglichkeiten für die Auswahl der Pflanzen gibt es?
Wie viele Möglichkeiten gibt es wenn \(n_1 \) Büsche, \(n_2 \) Blühpflanzen, \(n_3 \) immergrüne Gewächse und \(n_4 \) Bäume zur Verfügung stehen?
Allgemeines Zählprinzip
Gibt es bei einem \(n\)-Tupel für die Besetzung der \(1\). Stelle \(k_1\) Möglichkeiten, der \(2\). Stelle \(k_2\) Möglichkeiten, der \(3\). Stelle \(k_3\) Möglichkeiten, … der \(n\). Stelle \(k_n\) Möglichkeiten, dann gibt es insgesamt \(k_1 \cdot k_2 \cdot k_3 \cdot … \cdot k_n \) verschiedene \(n\)-Tupel.
Der Ergebnisraum des entsprechenden Zufallsexperiments hat dann die Mächtigkeit:
\[\vert \Omega \vert = k_1 \cdot k_2 \cdot k_3 \cdot … \cdot k_n.\]
Oder anschaulicher:
Gibt es bei einem aus \(n\) Stufen zusammengesetzten Vorgang in der \(1\). Stufe \(k_1\) Möglichkeiten, in der \(2\). Stufe \(k_2\) Möglichkeiten, … in der \(n\). Stufe \(k_n\) Möglichkeiten, so gibt es insgesamt
\[ k_1 \cdot k_2 \cdot … \cdot k_n\] verschiedene Möglichkeiten (Ergebnisse).