Anzahl der k-Teilmengen aus einer n-Menge

Wie Eingangs bereits erwähnt, kann man den Ergebnisraum des Lottospiels „\(6\) aus \(49\)“ nicht einfach hinschreiben. Er enthält zu viele Elemente. Man kann seine Mächtigkeit aber mit dem Zählprinzip berechnen.

Zuerst einmal stellt sich die Frage, ob wir das Problem vielleicht bereits lösen können. Dazu muss man wissen, um welches Urnenmodell es sich handelt.

Es werden \(6\) Kugeln aus \(49\) ohne Zurücklegen gezogen. Die Reihenfolge, in der die Zahlen auftreten ist egal.

Wäre die Reihenfolge wichtig, könnten wir das Problem bereits lösen.

Lotto „6 aus 49“

Wie viele Möglichkeiten gibt es \(6\) Kugeln aus den \(49\) Kugeln zu ziehen, wenn die Reihenfolge eine Rolle spielen würde? (D.h. wir gehen erst einmal davon aus, dass die Ziehung \(1,2,5,23,25,47\) und die Ziehung \(1,5,2,25,47,23\) verschiedene Ergebnisse sind.)

\(6\)-Permutation aus \(49\)-Menge, also \(\frac{49!}{43!}\approx 10^{10}\).

Dies sind natürlich zu viele Möglichkeiten. Am Ende der Lottoziehung werden die gezogenen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge sortiert, d.h. die beiden Ergebnisse von oben entsprechen nur einem Tipp.

Wie viele verschiedene Fälle fallen zu einem Tipp zusammen?

Es werden \(6\) Zahlen gezogen. Für diese gibt es \(6!\) Möglichkeiten der Anordnung. Das heißt also, dass \(6!=720\) Ziehungen zu einem Tipp zusammenfallen.

Ein solcher Tipp ist eine \(n\)-Menge (Achtung: Menge (Reihenfolge egal) \(\leftrightarrow\) Tupel (Reihenfolge wichtig)), hier also eine \(6\)-Menge. Wie viele \(6\)-Mengen kann man also aus einer \(49\)-Menge bilden (d.h. wie viele Möglichkeiten gibt es \(6\) Kugeln aus \(4\)9 zu ziehen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt)?

Es gibt \(\frac{49!}{43!}\) verschiedene \(6\)-Tupel (Reihenfolge wichtig), hiervon sind jeweils \(6!\) ohne Berücksichtigung der Reihenfolge identisch. Somit gibt es \(\frac{49!}{43!\cdot 6!}=13983816\) \(6\)-Teilmengen.

Allgemein: Wie viele Möglichkeiten gibt es \(k\) Kugeln aus einer Urne mit einem Griff zu ziehen (mit einem Griff bedeutet natürlich ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge)?

Wie im Beispiel gesehen muss dafür die Anzahl der \(k\)-Permutationen noch durch \(k!\) dividiert werden. Es folgt:

Die Anzahl der \(k\)-Teilmengen aus einer \(n\)-Menge ist \[\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}= {n\choose k}.\] \({n \choose k}\) ist eine abkürzende Schreibweise. Man sagt „\(n\) über \(k\)“ oder „\(k\) aus \(n\)“. Diese Zahlen heißen Binomialkoeffizienten.

Binomialkoeffizienten

Der Binomialkoeffizient \({n \choose k}\) lässt sich also berechnen über die Definition \({n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}\).

Zum Beispiel: \({9 \choose 5} =\frac{9!}{5!\cdot 4!} =126\).

Eine weitere Möglichkeit ist die \(\text{nCr}\)-Taste des Taschenrechners: \({9 \choose 5} = \text{„}9 \text{ nCr } 5\text{„} =126\).

Berechnen Sie hiermit:

  1. \({25\choose 20}\)
  2. \({7\choose 5}\)
  3. \({11\choose 11}\)
  4. \({18\choose 3}\)
  5. \({45\choose 1}\)
  6. \({60\choose 25}\)
  7. \({14\choose 5}\)

Lösungen

\({25 \choose 20}=53130\)

\({7 \choose 5}=21\)

\({11 \choose 11}=1\)

\({18 \choose 3}=816\)

\({45 \choose 1}=45\)

\({60 \choose 25}\approx 5,2\cdot 10^{16}\)

\({14 \choose 5}=2002\)

Aufgaben

  1. Bei einem einfachen Lotto gibt es nur \(8\) Kugeln. Es werden \(3\) Kugeln gezogen. Berechnen Sie die Anzahl der Tippmöglichkeiten bei „\(3\) aus \(8\)“?
  2. Beim Lotto „\(6\) aus \(49\)“ gibt es ca.\( 1\)4 Millionen Tippmöglichkeiten. Leiten Sie nachvollziehbar einen Term her, mit der Sie die Anzahl für einen „Fünfer“ berechnen können und berechnen Sie diese Anzahl. („Fünfer“ bedeutet \(5\) Richtige, die sechste Zahl ist falsch und auch nicht die Zusatzzahl)
  3. Bestimmen Sie die Anzahl an Möglichkeiten für einen Vierer beim Lotto „\(6\) aus \(4\)9“? (Einen Vierer mit Zusatzzahl gibt es nicht)
  4. Berechnen Sie mit Hilfe der Ergebnisse aus 2. und 3. die Wahrscheinlichkeit für einen „Fünfer“ bzw. „Vierer“.
  5. \(12\) Ehepaare planen einen gemeinsamen Ausflug. Die Organisation sollen zwei Personen übernehmen, die per Los ausgewählt werden. Geben Sie einen Term an mit der Sie jeweils die möglichen Anzahlen berechnen können:
    1. zwei Personen auszuwählen?
    2. zwei Damen auszuwählen?
    3. eine Dame und einen Herren auszuwählen?
    4. ein Ehepaar auszuwählen?

Lösungen

Es gibt \({8 \choose 3} =56\) Tipps.

Für die fünf Richtigen gibt es \({6 \choose 5}=6\) Möglichkeiten (man hat von den \(6\) gezogenen Zahlen \(5\) richtig getippt). Für die sechste Zahl, die man getippt hat bleiben noch \(43\) falsche Zahlen übrig, sie darf aber gleichzeitig nicht die Zusatzzahl sein. Die sechste Zahl hat also \({42 \choose 1}=42\) Möglichkeiten. In Kombination bleiben \(6\cdot 42=252\) Möglichkeiten für einen „Fünfer“ ohne Zusatzzahl.

Man muss \(4\) der richtigen getippt haben, also \( {6 \choose 4}\) und gleichzeitig noch \(2\) der \(43\) „falschen“ Zahlen getippt haben, also \( {43 \choose 2}\). Mit dem Zählprinzip also \( {6 \choose 4}\cdot {43\choose 2}=15\cdot 903 =13545\).

Die Mächtigkeit des Ergebnisraums ist \(\vert\Omega\vert=\frac{49!}{6!\cdot 43!}\). Mit der Formel \(P(E)=\frac{\vert E \vert }{\vert \Omega \vert}\) folgt dann für \(V\): „Man tippt einen Vierer“ und \(F\): „Man tippt einen Fünfer“:

\(P(V)=\frac{13545}{\frac{49!}{6!\cdot 43!}} \approx 0,097\% \)

\(P(F)=\frac{252}{\frac{49!}{6!\cdot 43!}} \approx 0,0018\%\)

  1. \(2\) Personen aus \(24\) Personen: \({24 \choose 2}=276\) Möglichkeiten
  2. \(2\) Personen aus \(12\) Damen: \({12 \choose 2}=66\)
  3. \(1\) Person aus \(12\) Damen: \({12 \choose 1}=12\) Möglichkeiten, \(1\) Person aus \(12\) Herren:\({12 \choose 1}=12 \Rightarrow 12\cdot 12 = 144\) Möglichkeiten
  4. \(1\) Ehepaar aus \(12\) Ehepaaren: \({12 \choose 1}=12\) Möglichkeiten
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