Wahrscheinlichkeit bei Bernoulli-Ketten

Hinführungs-Beispiel

Ein Tierarzt entfernt nacheinander bei drei Hunden den Zahnstein. Jeder Hund beißt bei der Behandlung unabhängig von den anderen mit einer Wahrscheinlichkeit von \(5\%\) zu.

Es liegt also eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 3\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0,05\) vor. Ein Treffer bedeutet: Der Hund beißt zu.

Es interessiert die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(A\): „Genau zwei Hunde beißen zu.“

Zur Veranschaulichung der Situation wird zunächst das zugehörige Baumdiagramm betrachtet, hierbei werden die Bezeichnungen \(b\) (der Hund beißt) und \(n\) (der Hund beißt nicht) verwendet.

Für das Ereignis \(A\) gilt:

\(A=\{(bbn), (bnb), (nbb)\} \)

Jedes Ergebnis in \(A\) hat die gleiche Wahrscheinlichkeit:

\(0,05\cdot 0,05 \cdot 0,95 = 0,05^{2} \cdot 0,95 \)

Nun muss noch die Anzahl der Ergebnisse in \(A\), also die Anzahl der Möglichkeiten für genau \(2\) Treffer (\(2\) Bisse), mit Hilfe der Kombinatorik ermittelt werden:
Für „genau \(2\) aus \(3\)“ beißen zu gibt es \( {3\choose 2} = 3 \) Möglichkeiten.

Also gilt:

\( P(A) = P(\text{genau 2 Treffer}) =  {3\choose 2} \cdot 0,05^{2} \cdot 0,95^{1} \)

Bernoulli-Formel

Die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer \((T)\) in einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) beträgt

\( P(T = k) = B(n;p;k) = {n\choose k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} \)

Für die Wahrscheinlichkeit, dass genau \(2\) von \(3\) Hunden zubeißen, gilt also:

\( P(T = 2) = B(3;0,05;2) = {3\choose 2} \cdot 0,05^{2} \cdot 0,95^{1} = 0,007125 \)

Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer bzw. höchstens k Treffer

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens \(k\) Treffer, also für \(k, k+1, …, n\) Treffer, setzt sich aus den Wahrscheinlichkeiten für \(k\) oder mehr (bis maximal \(n\)) Treffern zusammen.

Die Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Treffer, also für \(0, 1, …, k\) Treffer, setzt sich aus den Wahrscheinlichkeiten für \(0\) bis \(k\) Treffer zusammen.

Beispiel:
Bernoulli-Kette der Länge \(10\), Treffer-WK \(p = 0,7\)

\(A\): „Mindestens \(8\) Treffer.“
\( P(A) = P(T = 8) + P(T = 9) + P(T = 10) = B(10;0,7;8) + B(10;0,7;9) + B(10;0,7;10) \approx 0,23347 + 0,12106 +0,02825=0,38278 \)

\(B\): „Höchstens \(2\) Treffer.“
\( P(B) = P(T = 0) + P(T = 1) + P(T = 2) = B(10;0,7;0) + B(10;0,7;1) + B(10;0,7;2) \approx 0,000006 + 0,000138 + 0,001447=0,001591 \)

\(C\): „Mindestens \(1\) Treffer“
\( P(C) = P(T = 1) + P(T = 2) + … + P(T = 10) = 1 – P(T = 0)=1-B(10;0,07;0) \approx 1-0,000006=0,999994\)

Merke:  P(mindestens 1 Treffer) = 1 – P(kein Treffer)

Testen Sie Ihr Können bei den folgenden Übungen

Übung 1

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim oben dargestellten Sachverhalt

a) genau ein Hund zubeißt

b) kein Hund zubeißt

c) alle Hunde zubeißen

\( P(T = 1) = B(3;0,05;1) = {3\choose 1} \cdot 0,05^{1} \cdot 0,95^{2} =0,135375 \)

\( P(T = 0) = B(3;0,05;0) = {3\choose 0} \cdot 0,05^{0} \cdot 0,95^{3} \approx 0,857375 \)

\( P(T = 3) = B(3;0,05;3) = {3\choose 3} \cdot 0,05^{3} \cdot 0,95^{0} = 0,000125 \)

Übung 2

Autofahrer, die einen Tunnel verlassen, vergessen mit einer Wahrscheinlichkeit von \(10\%\) das Licht wieder abzuschalten. Es werden \(50\) Metern nach einem Tunnel \(100\) aufeinanderfolgende Autos daraufhin beobachtet.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse:
\(A\): „Genau \(20\) Autos haben das Licht an.“
\(B\): „Genau \(10\) Autos haben das Licht an.“
\(C\): „Genau \(80\) Autos haben das Licht nicht an.“
\(D\): „Genau \(89\) Autos haben das Licht nicht an.“
\(E\): „Kein Autos hat das Licht an.“
\(F\): „Alle Autos haben das Licht an.“
\(G\): „Höchstens ein Auto hat das Licht an.“
\(H\): „Weniger als \(3\) Autos haben das Licht nicht an.“
\(I\): „Mindestens ein Auto hat das Licht an.“

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 100\) mit \(p = 0,1\). Treffer \(T\): Licht ist an.
\( P(A) = P(T = 20) = B(100;0,1;20) = {100\choose 20} \cdot 0,1^{20} \cdot 0,9^{80} \approx 0,00117 \)

Bernoulli-Kette: \(n = 100, p = 0,1\). Treffer \(T\): Licht ist an.
\( P(B) = P(T = 10) = B(100;0,1;10) = {100\choose 10} \cdot 0,1^{10} \cdot 0,9^{90} \approx 0,13187 \)

Bernoulli-Kette: \(n = 100, p = 0,9\). Treffer \(T\): Licht ist aus.

\( P(C) = P(T = 80) = B(100;0,9;80) = {100\choose 80} \cdot 0,9^{80} \cdot 0,1^{20} \approx 0,00117 \)

Bernoulli-Kette: \(n = 100, p = 0,9\). Treffer \(T\): Licht ist aus.

\( P(D) = P(T = 89) = B(100;0,9;89) = {100\choose 89} \cdot 0,9^{89} \cdot 0,1^{11} \approx 0,11988 \)

Bernoulli-Kette: \(n = 100, p = 0,1\). Treffer \(T\): Licht ist an.

\( P(E) = P(T = 0) = B(100;0,1;0) = {100\choose 0} \cdot 0,1^{0} \cdot 0,9^{100} \approx 0,00003 \)

Bernoulli-Kette: \(n = 100, p = 0,1\). Treffer \(T\): Licht ist an.

\( P(F) = P(T = 100) = B(100;0,1;100) = {100\choose 100} \cdot 0,1^{100} \cdot 0,9^{0} \approx 0,00000 \)

Bernoulli-Kette: \(n = 100, p = 0,1\). Treffer \(T\): Licht ist an.

\( P(G) = P(T = 0) + P(T = 1) = B(100;0,1;0) + B(100;0,1;1) \approx 0,00003 + 0,00030 =0,00033 \)

Bernoulli-Kette: \(n = 100, p = 0,1\). Treffer \(T\): Licht ist aus.

\( P(H) = P(T = 0) + P(T = 1) + P(T = 2) =B(100;0,9;0) + B(100;0,9;1) + B(100;0,9;2)\)

\(\approx 0,00000 + 0,00000 + 0,00000 =0,00000 \)

Bernoulli-Kette: \(n = 100, p = 0,1\). Treffer \(T\): Licht ist an.

\( P(I) = 1 – P(T = 0) = 1 – B(100;0,1;0) \approx 1 – 0,00003 = 0,99997 \)

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