Trefferplatzierung: keine Bernoulli-Kette

Beispiel:
Beim Werfen einer gezinkten Münze tritt das Ereignis „Zahl“ (Treffer) mit einer Wahrscheinlichkeit von \(40 \text {%}\) auf.
Die Münze wird genau \(6\)-mal geworfen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau \(2\)-mal Zahl auftritt.

Hier liegt eine Bernoulli-Kette der Länge \(6\) mit \(p = 0,40\) vor, in der genau \(2\) Treffer in der Kette auftreten, egal an welcher Stelle.
Bei der Berechnung werden alle Anordnungsmöglichkeiten der Treffer durch den Binomialkoeffizienten \( {n\choose k} \) erfasst. Nur dann kann die Bernoulli-Formel angewendet werden:

\( P(\text {genau 2 Treffer}) = B(6;0,40;2) = {6\choose 2} \cdot 0,40^{2} \cdot 0,60^{4} = 0,31104 \)

Keine Bernoulli-Kette

Beispiel:
Beim Werfen einer gezinkten Münze tritt das Ereignis „Zahl“ (Treffer) mit einer Wahrscheinlichkeit von \(40 \text {%}\) auf.
Die Münze wird genau \(6\)-mal geworfen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

\(A\): Nur bei den ersten beiden Würfen erscheint Zahl.

Hier ist die Reihenfolge der Treffer festgelegt.
Trefferplatzierung \( \to \) keine Bernoulli-Kette

\(Z=\) Zahl, \(W = \) Wappen

Anschaulich: \(A=\lbrace Z Z W W W W\rbrace\)

\( P(A) = 0,40 \cdot 0,40 \cdot 0,60 \cdot 0,60 \cdot 0,60 \cdot 0,60 = 0,40^{2} \cdot 0,60^{4} = 0,020736 \)

\(B\): Bei den ersten beiden Würfen erscheint Zahl

Man weiß also sicher, dass bei den ersten beiden Würfen Zahl erscheint. Über die folgenden \(4\) Würfe gibt es keine Information. Es kann also Zahl oder auch Wappen erscheinen. Die WK, dass Zahl oder Wappen erscheint, ist natürlich \(1\) (irgendetwas von den möglichen Ergebnissen erscheint).
\(Z\): „Zahl“, \(X \): „keine Information was auftritt (\(W\) oder \(Z\))“

Anschaulich: \(B=\lbrace Z Z X X X X\rbrace\)

\( P(B) = 0,40 \cdot 0,40 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 0,40^{2} \cdot 1^{4} = 0,40^{2} = 0,16 \)

\(C\): Es erscheint genau zweimal hintereinander Zahl, alle anderen Würfe zeigen Wappen

Trefferplatzierung mit mehreren Möglichkeiten \( \to \) keine Bernoulli-Kette

Der Zweierblock \(ZZ\) kann an verschiedenen Stellen stehen. Die Situation kann schematisch veranschaulicht werden, indem der Zweierblock \(ZZ\) von links nach rechts durchgeschoben wird:
\(\color{blue}{Z Z} W W W W\)
\(W\color{blue}{Z Z} W W W\)
\(W W  \color{blue}{Z Z} W W\)      insgesamt \(5\) Möglichkeiten
\(W W W  \color{blue}{Z Z} W\)
\(W W W W \color{blue}{Z Z}\)

Überlegung:
Bei einer größeren Anzahl von Durchführungen kann das komplette Schema nicht aufgeschrieben werden. Um die Anzahl der Möglichkeiten zu ermitteln, muss man allgemein einfach folgende Frage beantworten:
Auf welcher Position steht das erste Element des Blocks nach dem kompletten Durchschieben des Blocks nach rechts?

Hier bedeutet das:
Das erste \(Z\) des Zweierblocks steht nach dem Durchschieben des Blocks nach rechts am Ende auf Position \(\color{blue}{5}\).
Es gibt also insgesamt \(5\) Möglichkeiten.

Bei jeder der Möglichkeiten gibt es zwei \(Z\) und vier \(W\).

\( P(C) = \color{blue}{5} \cdot0,40^{2} \cdot 0,60^{4} = 0,10368 \)