Das Gauß-Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme

Überblick zu den Inhalten in diesem Kapitel

Es gibt ein paar unterschiedliche Verfahren, um die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems zu ermitteln. Diese Verfahren unterscheiden sich zum Beispiel in ihrem Schreibaufwand, ihrem Rechenaufwand oder ihrer Flexibiltät bei der Anwendung.

In diesem Kapitel wird das Gauß-Verfahren vorgestellt.\(\newcommand{\R}{{\rm I\!R}}\)

\(\begin{array}{rrrrl}\text{I)} & 2x & +3y & -3z & =-1 \\ \text{II)} & x & +y & +2z & =9 \\ \text{III)} & 3x & +5y & -4z & =1 \\ \end{array}\)

\(\Rightarrow\quad L\ =\ ???\)

Das Gauß-Verfahren

Der Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777-1855) hat daher das Additionsverfahren um 2 zusätzliche Methoden ergänzt, und erwähnte es erstmals in einer Veröffentlichung im Jahr 1810 (zur Berechnung der Bahn des Asterioden Pallas). Bis heute wird es als „Gaußsches Eliminationsverfahren“ (oder kurz: Gauß-Verfahren) bezeichnet und ist aus vielen Wissenschaften nicht mehr wegzudenken.

Auch beim Gauß-Verfahren ist die Grundidee ist, dass man systematisch 

  • mithilfe einer der Gleichungen
  • in allen anderen Gleichungen eine der Variablen zum Verschwinden bringt,
  • um so ein Gleichungssystem mit weniger Gleichungen und weniger Variablen zu erhalten.
Carl Friedrich Gauß

Foto: Creative Commons CC0 via de.wikipedia.org

Gauß-Umformungen

Die Lösungsfindung erfolgt durch die Anwendung bestimmter Umformungen des Gleichungssystems (sog. Gauß-Umformungen)

a) Vertauschen zweier Gleichungen

b) Multiplikation einer Gleichung mit einer von Null verschiedenen Zahl

c) Addition eines Vielfachen einer Gleichung zum Vielfachen einer anderen Gleichung

Anmerkung:

Die Kombination aus b) und c) erlaubt somit die Anwendung des Additionsverfahrens!

Achtung:

Beim Gauß-Verfahren ist die Notation etwas strenger!

Man behält nach jedem Umformungsschritt stets die Grundstruktur des Gleichungsystems bei.

Liegt zum Beispiel ein Gleichungssystem mit

  • 3 Gleichungen und
  • 3 Variablen

vor, so notiert man nach jedem Umformungsschritt wieder ein Gleichungssystem mit

  • 3 Gleichungen und
  • 3 Variablen.

Das Gauß-Verfahren in Kombination mit der Matrix-Schreibweise

Sein wahres Potential entfaltet das Gauß-Verfahren, wenn man zusätzlich für die Darstellung der Gleichungssysteme die Matrix-Schreibweise verwendet.

Achtung:

Im nachfolgenden Beispiel beziehen sich die Umformungsangaben stets auf das jeweils unmittelbar zuvor entstandene Gleichungssystem.

Beispiel:

\(\begin{array}{rrrl}  \text{I)} & {} & 12y & +12z & =12  \\  \text{II)} & \tfrac{3}{4}x & {} & -\tfrac{1}{2}z & =-\tfrac{3}{2}  \\  \text{III)} & -\tfrac{1}{2}x & -\tfrac{1}{5}y & -\tfrac{3}{4}z & =\tfrac{13}{10}  \\ \end{array}\)

Beispiel in Matrix-Schreibweise:

\( \left( \begin{array}{rrr|r}  0 & 12 & 12 & 12 \\ \tfrac{3}{4} & {0} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{2} \\ -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{5} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{13}{10}  \end{array}\right) \)

Die vielen Brüche in der  \(\text{II.}\)  und  \(\text{III.}\)  Gleichung (und die Vorzeichen in der  \(\text{III.}\)  Gleichung) können nun mithilfe der Gauß-Umformung „Multiplikation einer Gleichung mit einer von Null verschiedenen Zahl“ entschärft werden. Wir führen dazu gleich 3 Gauß-Umformungen auf einmal durch:

a) Multiplizieren der  \(\text{I.}\) Zeile mit  \(\tfrac{1}{12}\)

b) Multiplizieren der  \(\text{II.}\) Zeile mit  \(4\)

c) Multiplizieren der  \(\text{III.}\) Zeile mit  \(-10\)

\(\begin{array}{rrrl}  \text{I)} & {} & y & +z & =1  \\  \text{II)} & 3x & {} & -2z & =-6 \\ \text{III)} & 5x & +2y & +2z & =-13  \\ \end{array}\)

a)  \(\tfrac{1}{12}\cdot\text{I}\)  (oder gleichbedeutend  \(\text{I}:12\))

b)  \(4\cdot\text{II}\)

c)  \(-10\cdot\text{III}\)

\(\Rightarrow\ \left(\begin{array}{rrr|r}  0 & 1 & 1 & 1 \\ {3} & {0} & -{2} & -6 \\ 5 & 2 & 2 & -13  \end{array}\right) \)

Das Standard-Schema sieht vor, die  \(\text{I.}\)  Zeile verwenden, um damit in der  \(\text{II.}\)  und  \(\text{III.}\)  Zeile die Variable  \(x\)  zum Verschwinden zu bringen.

\( \left(\begin{array}{rrr|r}  \color{red}0 & 1 & 1 & 1 \\ \color{blue}{3} & {0} & -{2} & -6 \\ \color{limegreen}5 & 2 & 2 & -13  \end{array}\right) \)

Problem:

Wenn man nun stur nach Schema die Vorfaktoren bei der Variablen  \(x\)  für das Additionsverfahren verwendet, müsste man rechnen:

  • \(\color{red}0\cdot\text{II}\,{-}\,\color{blue}3\cdot\text{I}\)
  • \(\color{red}0\cdot\text{III}\,{-}\,\color{limegreen}5\cdot\text{I}\)

Das hätte vernichtende Folgen:

  • Durch die jeweilige Multiplikation mit  \(\color{red}0\)  würden sämtliche Informationen aus der  \(\text{II.}\)  und  \(\text{III.}\)  gelöscht.
  • Die  \(\text{II.}\)  und  \(\text{III.}\)  Gleichung würden einfach durch ein -3-faches bzw. -5-faches der  \(\text{I.}\)  Zeile überschrieben werden!

Das ist natürlich nicht erlaubt, da man wesentliche Teile des Gleichungssystems zerstört.

Lösung:

Hier zeigt die Gauß-Umformung „Vertauschen zweier Gleichungen“ ihren Nutzen:

Man vertauscht einfach die  \(\text{I.}\)  Zeile mit einer der beiden anderen Gleichungen (hier mit der \(\text{II.}\)  Gleichung).

d) Vertauschen der  \(\text{I.}\)  mit der  \(\text{II.}\)   Gleichung:

\(\begin{array}{rrrrl}  \text{I)}   & 3x & {} & -2z & =-6 \\ \text{II)} & {} & y & +z & =1  \\\text{III)} & 5x & +2y & +2z & =-13  \\ \end{array}\)

d)  \(\text{I} \leftrightarrow \text{II}\)

\(\Rightarrow\ \left(\begin{array}{rrr|r}  {3} & {0} & -{2} & -6 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 2 & -13  \end{array}\right) \)

e) Vom 3-fachen der  \(\text{III.}\)  Gleichung das 5-fache der  \(\text{I.}\)  subtrahieren:

\(\begin{array}{rrrrl}  \text{I)}  & 3x & {} & -2z & =-6  \\ \text{II)} & {} & y & +z & =1  \\  \text{III)} & {} & 6y & +16z & = -9  \\ \end{array}\)

e)  \(3\cdot\text{III}\ -\ 5\cdot\text{I}\)

\(\Rightarrow\ \left(\begin{array}{rrr|r}    3 & 0 & -2 & -6  \\   0 & 1 & 1 & 1  \\  0 & 6 & 16 & -9  \\ \end{array}\right)\)

f)  Vom 6-fachen der \(\text{II.}\)  das 1-fache der  \(\text{III.}\)  Gleichung subtrahieren:

\(\begin{array}{rrrrl}  \text{I)}  & 3x & {} & -2z & =-6  \\ \text{II)} & {} & y & +z & =1  \\  \text{III)} & {} & {} & 10z & = -15  \\ \end{array}\)

f)  \(6\cdot\text{III}\ -\ 1\cdot\text{I}\)

\(\Rightarrow\ \left(\begin{array}{rrr|r}   \color{blue}3 & 0 & -2 & -6  \\   0 & \color{blue}1 & 1 & 1  \\  0 & 0 & \color{blue}{10} & -15  \\ \end{array}\right)\)

Die jetzt erreichte Form des Gleichungssystems heißt „Zeilen-Stufen-Form„, was der stufenartigen Gestalt des jetzt vorliegenden Gleichungssystems (bei strukturierter Darstellung) geschuldet ist.

Die Zeilen-Stufen-Form liegt vor, sobald die Anzahl der Variablen von jeder Gleichung zur nachfolgenden Gleichung stets abnimmt.

Was signalisiert die Zeilen-Stufen-Form?

Ab dieser Form des Gleichungssystems

  • ist es im Normalfall schneller, auf Phase 2 des Einsetzungsverfahrens („Rückwärts-Einsetzen“) zu wechseln, anstatt das Gleichungssystem weiterhin mit Gauß-Umformungen zu behandeln.
  • kann man die Anzahl der Lösungen erkennen (die sog. Mächtigkeit der Lösungsmenge).

Die jetzt erreichte Form der Matrix heißt „obere Dreiecksmatrix„, was ein bisschen Phantasie erfordert – man ahnt, dass die Mathematiker hier die dreieckige Gestalt meinen, die von den Zahlen oberhalb der Hauptdiagonalen links vom senkrechten Strich gebildet werden.

Die obere Dreiecksmatrix liegt vor, sobald UNTERHALB der Hauptdiagonalen nur Nuller stehen.

Was signalisiert die „obere Dreiecksmatrix“?

Ab dieser Matrix-Gestalt

  • ist es im Normalfall schneller, nun auf Phase 2 des Einsetzungsverfahrens („Rückwärts-Einsetzen“) zu wechseln, anstatt die Matrizen weiterhin mit Gauß-Umformungen zu behandeln.
  • kann man die Anzahl der Lösungen erkennen (die sog. Mächtigkeit der Lösungsmenge).

\(\begin{array}{rrrrl}  \text{I)}  & 3x & {} & -2z & =-6  \\ \text{II)} & {} & y & +z & =1  \\  \text{III)} & {} & {} & 10z & = -15  \\ \end{array}\)

Aus \(\text{II}\):  \(10z = -15\ \ \Rightarrow\ \ \color{darkorange}{z = -\tfrac{3}{2}}\)

\(\color{darkorange}{-\tfrac{3}{2}}\)  für  \(\color{darkorange}{z}\)  einsetzen in  \(\text{II}\):  \(y + \color{darkorange}{z} = 1\)

\(y + (\color{darkorange}{-\tfrac{3}{2}}) = 1\ \ \Rightarrow\ \ \color{limegreen}{y = \tfrac{5}{2}}\)

\(\color{darkorange}{-\tfrac{3}{2}}\) für  \(\color{darkorange}{z}\)  einsetzen in  \(\text{I}\): \(3x\,{-}\,2\color{darkorange}{z} = -6\)

\(3x\,{-}\,2 (-\tfrac{3}{2}) = -6\ \ \Rightarrow\ \ x = -3\)

\(\Rightarrow\ \ L=\left\{\left(-3; \color{limegreen}{\tfrac{5}{2}}; \color{darkorange}{-\tfrac{3}{2}}\right)\right\}\)

\(\left(\begin{array}{rrr|r}   3 & 0 & -2 & -6  \\   0 &  1 & 1 & 1  \\  0 & 0 & {10} & -15  \\ \end{array}\right)\)

Auch hier hangelt man sich nun gewissermaßen rückwärts durch die Matrix:

Die Idee ist, nun mithilfe der UNTERSTEN Zeile die darüber stehenden Variablen zum Verschwinden zu bringen.

g)  \(10\cdot\text{II}\ -\ \text{III}\)

\(\Rightarrow\ \left(\begin{array}{rrr|r}   3 & 0 & -2 & -6  \\   0 & 10 & 0 & 25  \\  0 & 0 & {10} & 15  \\ \end{array}\right)\)

h)  \(5\cdot\text{I}\ + \text{III}\)

\(\Rightarrow\ \left(\begin{array}{rrr|r}   \color{blue}{15} & \color{magenta}0 & \color{magenta}0 & -45  \\   \color{magenta}0 & \color{blue}{10} & \color{magenta}0 & 25  \\  \color{magenta}0 & \color{magenta}0 & \color{blue}{10} & 15  \\ \end{array}\right)\)   \(\begin{array}{c} \text{sog.}\\ \text{Diagonalform}\\ \text{der Matrix}\end{array}\)

i)  \(\tfrac{1}{15}\cdot\text{I}\),   \(\tfrac{1}{10}\cdot\text{II}\),   \(\tfrac{1}{10}\cdot\text{III}\)

\(\Rightarrow\ \left(\begin{array}{rrr|r}   1 & 0 & 0 & -3  \\   0 & 1 & 0 & \tfrac{5}{2}  \\  0 & 0 & {1} & -\tfrac{3}{2}  \end{array}\right)\) \(\begin{array}{l}  \Rightarrow\ x =  -3  \\ \Rightarrow\  \color{limegreen}{y = \tfrac{5}{2}}  \\  \Rightarrow\ \color{darkorange}{z =  -\tfrac{3}{2}}  \end{array}\)

\(\Rightarrow\ \ L=\left\{\left(-3; \color{limegreen}{\tfrac{5}{2}}; \color{darkorange}{-\tfrac{3}{2}}\right)\right\}\)

Interaktiv experimentieren mit den Gauß-Umformungen (3 Gleichungen mit 3 Variablen)

Ziel:

Versuchen Sie im folgenden Geogebra-Applet, alle Gauß-Umformungen  zu nutzen, um das Gleichungssystem auf Zeilen-Stufen-Form (bzw. die Matrix zu einer oberen Dreiecks-Matrix) umzuformen.

Anschließend können Sie versuchen, die Matrix sogar in die sog. Diagonalform zu bringen, um so die Werte der Variablen bestimmen zu können.

  • Zur besseren Lesbarkeit wurden bei der Nummerierung der Gleichungen mit römischen Ziffern Kleinbuchstaben gewählt, also i, ii, iii, … anstelle von I, II, III, …
  • Wenn Sie eine Eingabe wieder rückgängig machen wollen, klicken Sie auf die Schaltfläche mit dem grünen Pfeil, der nach links zeigt.
  • Wenn Sie ein neues Gleichungssystem haben wollen, klicken Sie auf die blaue Schaltfläche mit der weißen Aufschrift „Neu“.
  • Wenn Sie die Lösungsmenge sehen wollen, tippen Sie das Kommando #solve in die Eingabezeile ein.

Eingabe-Format der Gauß-Umformungen:

  • Für das Mulitplizieren von Zeile  \(\text{I}\)  mit  \(\tfrac{1}{12}\)  geben Sie ein: 1/12 i  oder  i:12  oder  i/12
  • Für das Vertauschen von Zeile  \(\text{I}\)  und Zeile  \(\text{II}\)   geben Sie ein: i, ii
  • Um vom 3-fachen der  \(\text{III.}\)  das 5-fache der  \(\text{I.}\)  Zeile abzuziehen geben Sie ein: 3 iii  – 5 i

Tipp:

Falls Sie nicht weiter wissen oder neugierig sind, was der Computer vorschlägt, können Sie sich auch einen Tipp geben lassen und diesen durch Anklicken auswählen. Bevor Sie den Vorschlag anklicken, versuchen Sie zu durchschauen, welche Absicht hinter dem jeweilgen Vorschlag steckt.

 

 

Die Anzahl der Lösungen an der Zeilen-Stufen-Form erkennen

Sobald ein lineares Gleichungssystem in Zeilen-Stufen-Form vorliegt (bzw. die Matrix eine obere Dreiecksmatrix ist),

  • kann man bereits die Anzahl der Lösungen erkennen.
  • findet man die Lösungsmenge am schnellsten, indem man auf Phase 2 des Einsetzungsverfahren wechselt („Rückwärts-Einsetzen“).

Die Schreibweise  \(|L|\)  gibt die Anzahl der Lösungen eines Gleichungssystems an.

Mächtigkeit einer Menge:

Die Anzahl der Elemente einer Menge  \(M\)  heißt in der Mathematik „Mächtigkeit der Menge  \(M\)“.

Übliche Schreibweise: \(|M|\) = Anzahl der Elemente in der Menge  \(M\).

Beispiel:

\(M = \{0; 7; 12; 19; 3; 5\}\quad\Rightarrow\quad |M| = 6\),
denn in der Menge  \(M\)  befinden sich 6 Elemente.

Folgerung für die Anzahl der Lösungen:

Da die Anzahl der Elemente in der Lösungsmenge  \(L\)  mit der Anzahl der Lösungen übereinstimmen muss, gibt die Schreibweise  \(|L|\)  die Anzahl der Lösungen eines Gleichungssystems an.

Mögliche Werte für die Anzahl von Lösungen eines linearen Gleichungssystems

Mögliche Werte für  \(|L|\) :

\(|L| = 0\):

Die Anzahl der Lösungen ist 0, wenn wenigstens eine der Gleichungen eine falsche Aussage ist.

\(|L| = 1\):

Die Anzahl der Lösungen ist 1, wenn in der Zeilen-Stufen-Form des Gleichungssystem faktisch* noch genauso viele Gleichungen wie Variablen vorliegen.

\(|L| = \infty\)

Die Anzahl der Lösung ist ∞, wenn in der Zeilen-Stufen-Form des Gleichungssystem faktisch* weniger Gleichungen als Variablen vorliegen.

Dabei werden

  • Gleichungen des Gleichungssystems in der Zeilen-Stufen-Form, die bereits wahre Aussagen sind,
  • bzw. reine Nullerzeilen in der oberen Dreiecksmatrix

NICHT mitgezählt.

Beispiel:

\(\begin{array}{rrrrl}  \text{I)}  & 4x & +3y & {} & =3  \\ \text{II)} & {} & 44y & +16z & =-32  \\  \text{III)} & {} &  & 0 & = 3080  \\ \end{array}\) \(\quad\Rightarrow\) \(\left(\begin{array}{rrr|r} 4 & 3 & 0 & {3} \\  0 & {44} & {16} & {-32} \\  0 & 0 & 0 & 3080  \\ \end{array}\right)\)

Eine Gleichung ist eine falsche Aussage \(\quad\Rightarrow\quad |L| = 0\) .

Beispiel:

\(\begin{array}{rrrl}  \text{I)}  & 2x & -5y & {} & =27  \\ \text{II)} & {} & 25y & -2z & =-117  \\  \text{III)} & {} &  & -260z & = 1040  \\ \end{array}\) \(\quad\Rightarrow\) \(\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & -5 & 0 & {27} \\  0 & {25} & {-2} & {-117} \\  0 & 0 & -260 & 1040  \\ \end{array}\right)\)

Es gibt faktisch genauso viele Gleichungen wie Variablen \(\quad\Rightarrow\quad |L| = 1\).

Beispiel:

\(\begin{array}{rrrrl}  \text{I)}  & 6x & -2y & -4z & =2  \\ \text{II)} & {} & 4y & -16z & =44  \\  \text{II)} & {} & {} & 0 & =0 \end{array}\) \(\quad\Rightarrow\) \(\left(\begin{array}{rrr|r}  6 & {-2} & {-4} & 2  \\   0 & 4 & {-16} & {44}  \\  0 & 0 & 0 & 0  \end{array}\right)\)

Es gibt faktisch weniger Gleichungen als Variablen \(\quad\Rightarrow\quad |L| = \infty\).

Beispiel: Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 3 Variablen (mit genau einer Lösung)

Achtung:

Einem Gleichungssystem ist zu Beginn noch nicht anzusehen, ob es später nach den Gauß-Umformungen faktisch noch genauso viele Gleichungen wie Variablen besitzen wird.

Beispiel:

\(\begin{array}{rrrrl}  \text{I)}  & 2x & -5y & {} & =27  \\ \text{II)} & 3x & +5y & -z & =-18  \\  \text{III)} & 8x & -10y & -6z & = 82  \\ \text{IV)} & 7x & +5y & -7z & = 10  \end{array}\) \(\quad\Rightarrow\quad\) \(\left(\begin{array}{rrr|r} \color{blue}2 & \color{blue}{-5} & \color{blue}0 & \color{blue}{27} \\  3 & {5} & {-1} & {-18} \\  8 & -10 & -6 & 82  \\ 7 & 5 & -7 & 10 \end{array}\right)\)

Schritt 1

Mithilfe der  \(\color{blue}{\text{I.}}\)  Zeile wird die Variable  \(x\)  (1. Spalte) in allen darunter stehenden Zeilen eliminert:

\(\text{ II.}\) Zeile:  \({2}\,\text{II}\,{-}\,{3}\,\color{blue}{\text{I}}\)
\(\text{III.}\) Zeile:  \({2}\,\text{III}\,{-}\,{8}\,\color{blue}{\text{I}}\)
\(\text{IV.}\) Zeile:  \({2}\,\text{IV}\,{-}\,{7}\,\color{blue}{\text{I}}\)

Resultat:

\(\left(\begin{array}{rrr|r} \color{lightgray}2 & \color{lightgray}{-5} & \color{lightgray}0 & \color{lightgray}{27} \\  \color{magenta}0 & \color{magenta}{25} & \color{magenta}{-2} & \color{magenta}{-117} \\  0 & 20 & -12 & -52  \\ 0 & 45 & -14 & -169 \end{array}\right)\)

Schritt 2

Mithilfe der  \(\color{magenta}{\text{II.}}\)  Zeile wird die Variable  \(y\)  (2. Spalte) in allen darunter stehenden Zeilen eliminert:

\(\text{III.}\) Zeile:  \({25}\,\text{III}\,{-}\,{20}\,\color{magenta}{\text{II}}\)
\(\text{IV.}\) Zeile:  \({25}\,\text{IV}\,{-}\,{45}\,\color{magenta}{\text{II}}\)
\(\phantom{\text{I}}\)

Resultat:

\(\left(\begin{array}{rrr|r} \color{lightgray}2 & \color{lightgray}{-5} & \color{lightgray}0 & \color{lightgray}{27} \\  \color{lightgray}0 & \color{lightgray}{25} & \color{lightgray}{-2} & \color{lightgray}{-117} \\  \color{darkorange}0 & \color{darkorange}0 & \color{darkorange}{-260} & \color{darkorange}{1040}  \\ 0 & 0 & -260 & 1040 \end{array}\right)\)

Schritt 3

Mithilfe der  \(\color{darkorange}{\text{III.}}\)  Zeile wird die Variable  \(z\)  (3. Spalte) in der darunter stehenden Zeile eliminert:

\(\text{IV.}\) Zeile:  \(\text{IV}\,{-}\,\color{darkorange}{\text{III}}\)
\(\phantom{\text{I}}\)
\(\phantom{\text{I}}\)

Resultat:

\(\left(\begin{array}{rrr|r} \color{lightgray}2 & \color{lightgray}{-5} & \color{lightgray}0 & \color{lightgray}{27} \\  \color{lightgray}0 & \color{lightgray}{25} & \color{lightgray}{-2} & \color{lightgray}{-117} \\  \color{lightgray}0 & \color{lightgray}0 & \color{lightgray}{-260} & \color{lightgray}{1040}  \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\)

Die Matrix hat nun die Gestalt einer oberen Dreiecksmatrix, also liegt das Gleichungssystem nun in Zeilen-Stufen-Form vor.

In der  \(\text{IV.}\)  Zeile fällt die reine Nullerzeile auf, hinter der die Gleichung \(0x + 0y + 0z = 0\)  steckt,  was sich wiederum zu der einfachen und stets wahren Aussage   \(0 = 0\)  reduzieren lässt.

Somit liegen faktisch nur noch 3 Gleichungen mit 3 Variablen vor. Folglich muss das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzen.

Außerdem kann man nun

  • durch „Rückwärts-Einsetzen“ die Lösungen für  \(x\), \(y\)  und  \(z\)  ermitteln,
  • diese zu einem „Paket“ (Tripel) zusammen schnüren
  • und somit die Lösungsmenge angeben.

Von der Matrix-Darstellung zurück zum Gleichungssystem:

\(\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & {-5} & 0 & {27} \\  0 & {25} & {-2} & {-117} \\  0 & 0 & {-260} & {1040}  \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\) \(\,\Rightarrow\,\) \(\begin{array}{rrrrl}  \text{I)}  & 2x & -5y & {} & =27  \\ \text{II)} & {} & 25y & -2z & =-117  \\  \text{III)} & {} &  & -260z & = 1040  \\  \text{IV)} & {} &  & 0 & = 0 \end{array}\)

\(\ \)

„Rückwärts-Einsetzen“:

\(\text{III)} \ {-}260z = 1040\) \(\quad\Rightarrow\quad \color{limegreen}{z = -4}\)

\(\,\text{ II)} \ 25y\,{-}\,2\color{limegreen}z = -117\) \(\quad\Rightarrow\quad\ 25y\,{-}\,2\cdot (\color{limegreen}{-4}) = -117\) \(\quad\Rightarrow\quad \color{brown}{y = -5}\)

\(\ \ \text{ I)} \ 2x\,{-}\,5\color{brown}y = 27\) \(\quad\Rightarrow\quad\ 2x\,{-}\,5\cdot (\color{brown}{-5}) = 27\) \(\quad\Rightarrow\quad x = 1\)

\(\Rightarrow L = \{\,(1; \color{brown}{-5}; \color{limegreen}{-4})\,\}\)

Achtung:

Die vielen Klammern in der Angabe der Lösungsmenge sind kein Fehler! Das einzige Element in der Lösungsmenge  \(L\)  ist das Tripel  \((1; \color{brown}{-5}; \color{limegreen}{-4})\).

Also gilt: \(|L| = 1\).

Beispiele: Überbestimmte Gleichungssysteme (3 Gleichungen mit 2 Variablen)

Aufgabe a)

Versuchen Sie im folgenden Geogebra-Applet, jedes der 3 folgenden Gleichungssysteme auf Zeilen-Stufen-Form zu bringen.

Gleichbedeutend: Bringen Sie die jeweils zugehörige Matrix in die Form einer oberen Dreiecksmatrix.

Aufgabe b)

Geben Sie anschließend für jedes der 3 Gleichungssysteme die Anzahl der Lösungen an.

\(\begin{array}{rrrl}  \text{I)} & 4x & +\tfrac{28}{6}y & =\tfrac{64}{3}  \\  \text{II)} & -\tfrac{3}{2}x & -\tfrac{3}{5}y  & = -\tfrac{57}{10}  \\  \text{III)} & \tfrac{1}{7}x & -\tfrac{1}{7}y  & =\tfrac{1}{7}  \\ \end{array}\)

\(\begin{array}{rrrl}  \text{I)} & 4x & -y & =\tfrac{8}{3}  \\  \text{II)} & -\tfrac{22}{5}x & -2y  & = -2  \\  \text{III)} & -3x & -\tfrac{10}{3}y  & = -4  \\ \end{array}\)

\(\begin{array}{rrrl}  \text{I)} & 2x & -3y & = 1  \\  \text{II)} & -\tfrac{14}{3}x & +7y  & = -\tfrac{14}{6}  \\  \text{III)} & {7}x & -\tfrac{21}{2}y  & = 3{,}5  \\ \end{array}\)

 

 

Nach ein paar Gauß-Umformungen gelangt man schließlich zu dieser Matrix:

\( \left( \begin{array}{rr|r} 6 & 7 & 32 \\ 0 & 1  & 2 \\ 0 & 0  & 0 \end{array}\right) \)

Die letzte Zeile lautet in ausführlicher Darstellung:

\(0x + 0y = 0\)

Das ist offenbar eine stets wahre Aussage.

Es sind also faktisch genauso viele Gleichungen wie Variablen übrig geblieben:

Also hat das Gleichungssystem genau eine Lösung, d.h.  \(|L| = 1\).

Nach ein paar Gauß-Umformungen gelangt man schließlich zu dieser Matrix:

\( \left( \begin{array}{rr|r} 12 & -3 & 8 \\ 0 & 93  &  -28 \\ 0 & 0  & 3604  \end{array}\right) \)

Die letzte Gleichung lautet in ausführlicher Darstellung:

\(0x +0y = 3604\)  (falsche Aussage)

Das Gleichungssystem hat also keine einzige Lösung, d.h.  \(|L| = 0\).

Nach ein paar Gauß-Umformungen gelangt man schließlich zu dieser Matrix:

\( \left( \begin{array}{rr|r} 2 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0   \end{array}\right) \)

Die letzte und vorletzte Zeile lauten in ausführlicher Darstellung:

\(0x + 0y = 0\)

Das sind offenbar stets wahre Aussagen.

Es sind also faktisch weniger Gleichungen (nur eine einzige) als Variablen (zwei Stück) übrig geblieben:

Also hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, d.h.  \(|L| = ∞\).

Beispiele: Gleichungsysteme OHNE Lösung bzw. MIT UNENDLICH VIELEN Lösungen

In diesem Abschnitt werden zwei Gleichungssysteme gegenübergestellt, von denen das erste keine Lösung besitzt und das zweite unendlich viele Lösungen besitzt:

  • Dabei wird die Matrix-Darstellung der Gleichungssysteme verwendet.
  • Es werden Gauß-Umformungen durchgeführt, bis die jeweilige Matrix die Gestalt einer oberen Dreiecksmatrix hat, was bedeutet, dass dann das jeweilige Gleichungssystem in Zeilen-Stufen-Form vorliegt.
  • Ab diesem Zeitpunkt wird das Einsetzungsverfahren angewendet.

Gleichungssystem ohne Lösungen

\(\left(\begin{array}{rrr|r}    4 & 3 & 0 & 3  \\   -8 & 5 & 4 & -14  \\  -2 & 4 & 2 & 12  \\ \end{array}\right)\)

\(\text{ II.}\) Zeile:  \({4}\,\text{II}\,{-}\,{(-8)}\,\text{I}\)
\(\text{III.}\) Zeile:  \({4}\,\text{III}\,{-}\,{(-2)}\,\text{I}\)

\(\Rightarrow\ \left(\begin{array}{rrr|r}    \color{lightgray}4 & \color{lightgray}3 & \color{lightgray}0 & \color{lightgray}{3}  \\   0 & 44 & 16 & -32  \\  0 & 22 & 8 & 54  \\ \end{array}\right)\)

\(\text{III.}\) Zeile:  \({44}\,\text{III}\,{-}\,{22}\,\text{II}\)

\(\Rightarrow\ \left(\begin{array}{rrr|r}   \color{lightgray}4 & \color{lightgray}3 & \color{lightgray}0 & \color{lightgray}{3}  \\   \color{lightgray}0 & \color{lightgray}{44} & \color{lightgray}{16} & \color{lightgray}{-32}  \\  0 & 0 & 0 & 3080  \\ \end{array}\right)\)

Jetzt liegt eine obere Dreiecksmatrix vor, was bedeutet, dass das Gleichungssystem in Zeilen-Stufen-Form vorliegt.

Die \(\text{III.}\) Gleichung lautet in ausführlicher Form:

\(0x + 0y + 0z\ =\ 3080\)

Es gibt keine Werte für \(x\), \(y\) und \(z\), so dass diese Gleichung wahr werden kann. Also hat das Gleichungssystem keine Lösung.

\(L = \{\ \}\)

\(|L| = 0\)

Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen

\(\left(\begin{array}{rrr|r}    6 & -2 & -4 & 2  \\   5 & -1 & -6 & 9  \\  21 & -5 & -22 & 29  \\ \end{array}\right)\)

\(\text{ II.}\) Zeile:  \({6}\,\text{II}\,{-}\,{5}\,\text{I}\)
\(\text{III.}\) Zeile:  \({6}\,\text{III}\,{-}\,{21}\,\text{I}\)

\(\Rightarrow\ \left(\begin{array}{rrr|r}  \color{lightgray}6 & \color{lightgray}{-2} & \color{lightgray}{-4} & \color{lightgray}2  \\   0 & 4 & -16 & 44  \\  0 & 12 & -48 & 132  \\ \end{array}\right)\)

\(\text{III.}\) Zeile:  \({4}\,\text{III}\,{-}\,{12}\,\text{II}\)

\(\Rightarrow\ \left(\begin{array}{rrr|r}  \color{lightgray}6 & \color{lightgray}{-2} & \color{lightgray}{-4} & \color{lightgray}2  \\   \color{lightgray}0 & \color{lightgray}4 & \color{lightgray}{-16} & \color{lightgray}{44}  \\  0 & 0 & 0 & 0  \\ \end{array}\right)\)

Jetzt liegt eine obere Dreiecksmatrix vor, was bedeutet, dass das Gleichungssystem in Zeilen-Stufen-Form vorliegt.

Die \(\text{III.}\) Gleichung lautet in ausführlicher Form:

\(0x + 0y + 0z\ =\ 0\)

Diese Aussage ist wahr für beliebige Werte von \(x\), \(y\)  und  \(z\). Allerdings bleiben noch die  \(\text{I.}\)  und  \(\text{II.}\)  Gleichung.

Faktisch liegt also ein Gleichungssystem in Zeilen-Stufen-Form vor, und zwar mit nur 2 Gleichungen und immer noch 3 Variablen:

\(\begin{array}{rrrrl}  \text{I)}  & 6x & -2y & -4z & =2  \\ \text{II)} & {} & 4y & -16z & =44   \\ \end{array}\)

Wir entscheiden uns, dass  \(z\)  die frei wählbare Variable sein soll und somit die beiden anderen Variablen  \(x\)  und  \(y\)  in Abhängigkeit von  \(z\)  angegeben werden müssen:

Aus der  \(\text{II.}\)  Gleichung erhält man \(\color{magenta}{y = 11 + 4z}\).

Der Term  \(\color{magenta}{11 + 4z}\)  wird für  \(\color{magenta}{y}\)  in der  \(\text{I.}\)  Gleichung eingesetzt, die anschließend nach  \(x\)  aufgelöst wird:

\(\text{I) }6x\,{-}\,2\,(\color{magenta}{11 + 4z})\,{-}\,16z = 2\)

\(\Rightarrow \color{blue}{x = 4 + 2z}\)

Die Lösungsmenge lautet somit:

\(L = \{(\color{blue}{4 + 2z};\ \color{magenta}{11 + 4z};\ z)\ |\ z\in\R\}\)

Um spätere Konflikte mit dem Variablennamen  \(z\)  zu vermeiden, sollte er in der Lösungsmenge nicht verwendet werden, daher wäre eine bessere Darstellung z.B.:

\(L = \{(\color{blue}{4 + 2m};\ \color{magenta}{11 + 4m};\ m)\ |\ m\in\R\}\)

\(|L| = \infty\)

Interaktiv experimentieren mit den Gauß-Umformungen (3 Gleichungen mit 3 Variablen)

Ziel:

Versuchen Sie im folgenden Geogebra-Applet, alle Gauß-Umformungen  zu nutzen, um das Gleichungssystem auf Zeilen-Stufen-Form (bzw. die Matrix zu einer oberen Dreiecks-Matrix) umzuformen.

Anschließend können Sie versuchen, die Matrix sogar in die sog. Diagonalform zu bringen, um so die Werte der Variablen bestimmen zu können.

Bemerkung:

Wenn Sie in dem Geogebra-Applet auf die Schaltfläche „Neu“ klicken, wird per Zufall ein neues Gleichungssystem erzeugt. Beachten Sie, dass diesmal alle Optionen  \(|L| = \infty\),  \(|L| = 0\)  und \(|L| = 1\)  angehakt sind.

  • Zur besseren Lesbarkeit wurden bei der Nummerierung der Gleichungen mit römischen Ziffern Kleinbuchstaben gewählt, also i, ii, iii, … anstelle von I, II, III, …
  • Wenn Sie eine Eingabe wieder rückgängig machen wollen, klicken Sie auf die Schaltfläche mit dem grünen Pfeil, der nach links zeigt.
  • Wenn Sie ein neues Gleichungssystem haben wollen, klicken Sie auf die blaue Schaltfläche mit der weißen Aufschrift „Neu“.
  • Wenn Sie die Lösungsmenge sehen wollen, tippen Sie das Kommando #solve in die Eingabezeile ein.

Eingabe-Format der Gauß-Umformungen:

  • Für das Mulitplizieren von Zeile  \(\text{I}\)  mit  \(\tfrac{1}{12}\)  geben Sie ein: 1/12 i  oder  i:12  oder  i/12
  • Für das Vertauschen von Zeile  \(\text{I}\)  und Zeile  \(\text{II}\)   geben Sie ein: i, ii
  • Um vom 3-fachen der  \(\text{III.}\)  das 5-fache der  \(\text{I.}\)  Zeile abzuziehen geben Sie ein: 3 iii  – 5 i

Empfehlung:

Versuchen Sie, die jeweils neu entstehenden Vorfaktoren und die Konstante auf der rechten Seite selber zu berechnen!

Sie können diese auch direkt eingeben, z.B. für die neue  \(\text{II.}\)  Zeile in der Form: ii) 5, -1, -6, 9

Das Geogebra-Applet erkennt dann automatisch, ob sich dahinter eine Umformung verbirgt, und falls ja, gibt es die erkannte Umformung an und führt diese durch.

 

 

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