Basis und Dimension von Vektorräumen, Koordinaten von Vektoren

Worum es in diesem Kapitel geht

Sämtliche Pfeilvektoren lassen sich durch eine sehr kleine Menge von Pfeilvektoren darstellen:

  • im Zweidimensionalen besteht diese Menge aus 2 Pfeilvektoren,
  • im Dreidimensionalen aus 3 Pfeilvektoren.

Diese kleinstmögliche Menge von Pfeilvektoren wird „Basis des Vektorraums“ genannt.

Eine sehr nützliche Eigenschaft einer solchen Basis ist, dass man jeden anderen Pfeilvektor als Linearkombination der Basisvektoren darstellen kann, und zwar EINDEUTIG!

Mit anderen Worten: Stellen verschiedene Personen denselben Pfeilvektor mithilfe der gleichen Basis dar, werden sie exakt die gleiche Darstellung des Pfeilvektors als Linearkombination der Basisvektoren finden!

Die Faktoren, die in der gefundenen Linearkombination vor den Basisvektoren stehen, sind folglich auch eindeutig. Sie werden „Koordinaten des Vektors bzgl. der zugrundeliegenden Basis“ genannt.

Es zeigt sich, dass man von nun an den Pfeilvektor, den man bisher nur graphisch beschreiben konnte, nun auch bzgl. einer Basis mithilfe seiner Koordinaten beschreiben kann – und alle Verknüfungsoperationen lassen sich jetzt ebenfalls mithilfe dieser Koordinaten rechnerisch durchführen.

\(\require{color}\definecolor{energy}{RGB}{114,0,172}\newcommand{\R}{{\rm I\!R}} \newcommand{\vvv}[3]{\left(\begin{array}{c} {#1}\\[-1em]{#2}\\[-1em]{#3} \end {array}\right) }\newcommand{\vv}[2]{\left(\begin{array}{c} {#1}\\[-1em] {#2} \end {array}\right) }\renewcommand{\vec}[2][black]{{\color{#1}{\overrightarrow{#2}}}}\newcommand{\MMM}[3]{\left(\begin{array}{rrr|r} #1\\ #2\\ #3\end{array}\right)}\)

Fragen, die Sie am Ende dieses Kapitels beantworten können sollten

  • Was versteht man unter einem Erzeugendensystem?
  • Mit wie vielen Pfeilvektoren kommt man aus, um damit alle anderen Pfeilvektoren als Linearkombination darzustellen?
  • Ist jede Basis auch ein Erzeugendensystem?
  • Was gibt man mit der „Dimension eines Vektorraums“ an?
  • Welche Auswirkung hat es, wenn man bei allen Koordinaten eines Pfeilvektors das jeweilige Vorzeichen „umdreht“?
  • Welche Auswirkung hat es, wenn man alle Koordinaten eines Pfeilvektors mit 2 multipliziert?
  • Wie verändert sich ein Pfeilvektor, wenn man bei genau einer seiner Koordinaten das Vorzeichen  „umdreht“?

Basis und Dimension von Vektorräumen, Koordinaten von Vektoren

Nachdem wir festgestellt haben, dass man mithilfe von ein paar Vektoren zahlreiche andere Vektoren darstellen kann, ist es verlockend,

  • eine kleinstmögliche Menge an Vektoren zu finden,
  • mit denen man sämtliche anderen (aber gleichartigen) Vektoren darstellen kann.

Wir benötigen dafür ein paar neue Begriffe:

Ein Vektorraum ist eine Menge

  • von sämtlichen gleichartigen Vektoren,
  • für die eine Addition und eine Skalar-Vektor-Mulitplikation definiert ist.

Beispiele:

(1) Die Menge der Verschiebungsanweisungen in der Zeichenebene:

\(\quad V_2 = \{\vec{v}\ \left|\right.\ \vec{v}\) ist eine Verschiebungsanweisung in der Zeichenebene.\(\}\)

(2) Die Menge der Verschiebungsanweisungen im 3-dimensionalen Raum:

\(\quad V_3 = \{\vec{w}\ \left|\right.\ \vec{w}\) ist eine Verschiebungsanweisung
\(\quad\phantom{V_3 = \{\vec{w}\ \left|\right.}\) im 3-dimensionalen Raum.\(\}\)

(3) Die Menge der 2-zeiligen Koordinatenspalten:

\(\quad \R^2 = \left\{\vv{x}{y}\ \left|\right.\ x, y \in\R \right\}\)

(4) Die Menge der 3-zeiligen Koordinatenspalten:

\(\quad\R^3 = \left\{\vvv{x}{y}{z}\ \left|\right.\ x, y, z \in\R \right\}\)

Ein Erzeugendensystem  \(E\)  eines Vektorraums  \(V\)

  • ist eine Menge von Vektoren, die aus  \(V\)  stammen,
  • mit denen man sämtliche anderen Vektoren aus  \(V\)  als Linearkombination darstellen kann.

Beispiele:

(1) Für den Vektorraum \(\R^2 = \left\{\vv{x}{y}\ \left|\right.\ x, y \in\R \right\}\)
ist z.B.  \(E = \left\{\vv{1}{0}, \vv{0}{1}, \vv{1}{1}, \vv{2}{-1}\right\}\)  ein Erzeugendensystem,
denn jeder Vektor  \(\vv{x}{y}\)  lässt sich darstellen z.B. durch die Linear­kombination \(\vv{x}{y} = x\!\cdot\!\vv{1}{0}+y\!\cdot\!\vv{0}{1}+0\!\cdot\!\vv{1}{1}+0\!\cdot\!\vv{2}{-1}\)

(2) Für den Vektorraum \(\R^3 = \left\{\vvv{x}{y}{z}\ \left|\right.\ x, y, z \in\R \right\}\)
ist z.B.  \(E = \left\{\vvv{1}{0}{0}, \vvv{0}{1}{0},\vvv{0}{0}{1},\vvv{1}{1}{1}\right\}\)  ein Erzeugendensystem,
denn jeder Vektor  \(\vvv{x}{y}{z}\)  lässt sich darstellen z.B. durch die Linear­­kombination \(\vvv{x}{y}{z} = x\!\cdot\!\vvv{1}{0}{0}+y\!\cdot\!\vvv{0}{1}{0}+z\!\cdot\!\vvv{0}{0}{1}+0\!\cdot\!\vvv{1}{1}{1}\)

Für uns sind nur kleinstmögliche Erzeugendensysteme von Interesse. Deshalb ist es sehr hilfreich zu wissen, dass man Folgendes beweisen kann:

Solange sich in einem Erzeugendensysteme  \(E\)  ein Vektor befindet, der von den anderen Vektoren aus  \(E\)  abhängig ist, kann man ihn aus  \(E\)  streichen und hat somit ein kleineres Erzeugendensystem gefunden.

Eine Basis  \(B\)  eines Vektorraums  \(V\)  ist ein kleinstmögliches Erzeugendensystem von  \(V\)  in „geordneter Form“ bilden.

(Bei einer sog. „geordneten Menge“ ist die Reihenfolge der Vektoren NICHT EGAL. Für geordnete Mengen verwendet man keine geschweiften Klammern, sondern runde Klammern.).

Folgerungen:

  • Eine Basis  \(B\)  besteht aus Vektoren,  die aus  \(V\)  stammen und
  • mit denen man sämtliche anderen Vektoren aus  \(V\)  als Linearkombination darstellen kann.
  • Eine Basis  \(B\)  ist eine lineare unabhängige geordnete Menge von Vektoren.

Man kann zeigen, dass jede Basis von  \(V\)  stets aus gleich vielen Vektoren besteht.

Beispiel:

Für den Vektorraum \(\R^2 = \left\{\vv{x}{y}\ \left|\right.\ x, y \in\R \right\}\)
ist z.B.  \(E_1 = \left\{\vv{1}{0}, \vv{0}{1}, \vv{1}{1}, \vv{2}{-1}\right\}\)  ein Erzeugendensystem.

Da sich der Vektor  \(\vv{1}{1}\)  aber als Linearkombination von  \(\vv{1}{0}\)  und  \(\vv{0}{1}\)  darstellen lässt, ist er überflüssig im Erzeugendensystem  \(E_1\).

Folglich ist auch  \(E_2 = \left\{\vv{1}{0}, \vv{0}{1}, \vv{2}{-1}\right\}\)  ein Erzeugendensystem.

Auch  der Vektor  \(\vv{2}{-1}\)  lässt sich als Linearkombination von  \(\vv{1}{0}\)  und  \(\vv{0}{1}\)  darstellen, somit ist auch er überflüssig im Erzeugendensystem  \(E_2\).

Folglich ist auch  \(E_3 = \left\{\vv{1}{0}, \vv{0}{1}\right\}\)  ein Erzeugendensystem.

Da  \(\vv{1}{0}\)  und  \(\vv{0}{1}\)  offenbar linear unhängig sind, können wir auf keinen der beiden Vektoren verzichten und folgern, dass \(E_3 \)  ein kleinstmögliches Erzeugendensystem  ist.

Somit ist die geordnete Menge  \(B = \left(\vv{1}{0}, \vv{0}{1}\right)\)   eine Basis von  \(\R^2\) .

Die Dimension eines Vektorraums  \(V\)  ist die Anzahl an Vektoren in einer Basis von  \(V\).

Ist  \(n\)  die Dimension von  \(V\), so

  • schreibt man kurz:  \(n = dim(V)\)
  • sagt man auch:
    \(V\)  ist  \(n\)-dimensional.
  • ist  \(n\)  auch die maximal mögliche Anzahl an linear unabhängigen Vektoren im Vektorraum  \(V\).

Man kann sich darunter evtl. die Anzahl der Ausbreitungsrichtungen des Vektorraums vorstellen.

Beispiele:

(1) Für den Vektorraum \(\R^2 = \left\{\vv{x}{y}\ \left|\right.\ x, y \in\R \right\}\)
ist z.B.  \(B = \left(\vv{1}{0}, \vv{0}{1}\right)\)  eine Basis, also ist  \(dim(\R^2)=2\).

(2) Für den Vektorraum \(\R^3 = \left\{\vvv{x}{y}{z}\ \left|\right.\ x, y, z \in\R \right\}\)
ist z.B.  \(E = \left(\vvv{1}{0}{0}, \vvv{0}{1}{0},\vvv{0}{0}{1}\right)\)  eine Basis, also ist  \(dim(\R^3)=3\).

(3) Für den Vektorraum  \(V_2\)  der Verschiebungsanweisungen in der Zeichenebene gilt: Jede Verschiebung aus  \(V_2\)  lässt sich als Koordinatenspalte aus  \(\R^2\)  darstellen (und umgekehrt). Folglich ist auch  \(dim(V_2)=2\).

(4) Für den Vektorraum  \(V_3\)  der Verschiebungsanweisungen im 3-dimensionalen Raum gilt: Jede Verschiebung aus  \(V_3\)  lässt sich als Koordinatenspalte aus  \(\R^3\)  darstellen (und umgekehrt). Also ist auch  \(dim(V_3)=3\).

Aufgaben

Aufgabe 1 (Basis oder keine Basis)

Entscheiden Sie jeweils, ob die angegebene Menge eine Basis des Vektorraums  \(\R^3\)  ist.

(a)  \(M_1 = \left( \vvv{3}{6}{-4}, \vvv{-4}{1}{ 2} \right)\)

(b)  \(M_2 = \left( \vvv{6}{2}{-1}, \vvv{3}{1}{3}, \vvv{-3}{-1}{-10} \right)\)

(c)  \(M_3 = \left( \vvv{4}{-1}{2}, \vvv{2}{2}{1}, \vvv{-5}{3}{3}, \vvv{-7}{6}{2} \right)\)

(d)  \(M_4 = \left( \vvv{3}{3}{1}, \vvv{1}{-1}{3}, \vvv{2}{-1}{-2}\right)\)

Lösungsvorschläge

(a)  \(M_1 = \left( \vvv{3}{6}{-4}, \vvv{-4}{1}{ 2} \right)\)

Da  \(\dim(\R^3)=3\)  gilt,  muss jede Basis von  \(\R^3\)  aus genau 3 linear unabhängigen Vektoren bestehen.

\(M_1\)  kann also keine Basis von  \(\R^3\)  sein, weil in  \(M_1\)  nur 2 Vektoren enthalten sind.

(b)  \(M_2 = \left( \vvv{6}{2}{-1}, \vvv{3}{1}{3}, \vvv{-3}{-1}{-10} \right)\)

Da  \(\dim(\R^3)=3\)  gilt,  muss jede Basis von  \(\R^3\)  aus genau 3 linear unabhängigen Vektoren bestehen.

Zwar sind in  \(M_2\)  genau 3 Vektoren enthalten, jedoch sieht man diesen nicht an, ob sie linear abhängig oder linear unabhängig sind.

Z.B. mithilfe des Lösungsansatzes  \(\ell_1\cdot\vvv{6}{2}{-1} + \ell_2\cdot\vvv{3}{1}{3} + \ell_3\cdot\vvv{-3}{-1}{-10} = \vec{0}\)  kann man klären, sie linear abhängig oder linear unabhängig sind.

Man findet heraus, dass das zugehörige lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt, daher sind die 3 Vektoren tatsächlich linear abhängig.

\(M_2\)  kann also keine Basis von  \(\R^3\)  sein, weil die Vektoren in  \(M_2\)  linear abhängig ist.

(c)  \(M_3 = \left( \vvv{4}{-1}{2}, \vvv{2}{2}{1}, \vvv{-5}{3}{3}, \vvv{-7}{6}{2} \right)\)

Da  \(\dim(\R^3)=3\)  gilt,  muss jede Basis von  \(\R^3\)  aus genau 3 linear unabhängigen Vektoren bestehen.

\(M_3\)  kann also keine Basis von  \(\R^3\)  sein, weil in  \(M_4\)  sogar 4 Vektoren enthalten sind.

Bemerkung:

Man kann daraus folgern, dass die Vektoren in  \(M_3\)  linear abhängig sind.

(d)  \(M_4 = \left( \vvv{3}{3}{1}, \vvv{1}{-1}{3}, \vvv{2}{-1}{-2}\right)\)

Da  \(\dim(\R^3)=3\)  gilt,  muss jede Basis von  \(\R^3\)  aus genau 3 linear unabhängigen Vektoren bestehen.

Zwar sind in  \(M_4\)  genau 3 Vektoren enthalten, jedoch sieht man diesen nicht an, ob sie linear abhängig oder linear unabhängig sind.

Z.B. mithilfe des Lösungsansatzes  \(\ell_1\cdot\vvv{3}{3}{1} + \ell_2\cdot\vvv{1}{-1}{3} + \ell_3\cdot\vvv{2}{-1}{-2} = \vec{0}\)  kann man klären, sie linear abhängig oder linear unabhängig sind.

Man findet heraus, dass das zugehörige lineare Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt (und zwar  \(\ell_1=0\),  \(\ell_2=0\)  und \(\ell_3=0\)), daher sind die 3 Vektoren tatsächlich linear unabhängig.

\(M_4\)  ist somit eine Basis von  \(\R^3\),

  • weil die Anzahl der Vektoren in  \(M_4\)  mit \(\dim(\R^3)=3\)  übereinstimmt und
  • weil die 3 Vektoren in  \(M_4\)  linear unabhängig sind.

Aufgabe 2

Ermitteln Sie einen Vektor aus dem Vektorraum  \(\R^3\), der nicht als Linearkombination von  \(\vvv{3}{6}{-4}\)  und  \(\vvv{-4}{1}{ 2}\)  dargestellt werden kann.

Lösung

Wir testen einen möglichst einfachen Vektor auf seine Abhängigkeit mit den beiden vorgegebenen Vektoren, z.B.  \(\vvv{1}{0}{0}\).

Lösungsansatz:  \(\ell_1\cdot\vvv{1}{0}{0} + \ell_2\cdot\vvv{3}{6}{-4} + \ell_3\cdot\vvv{-4}{1}{2} = \vec{0}\) .

\(\MMM{1 & 3 & -4 & 0}{0 & 6 & 1 & 0}{0 & -4 & 2 & 0}\)
\(\Rightarrow\quad\MMM{1 & 3 & -4 & 0}{0 & 6 & 1 & 0}{0 & 0 & 16 & 0}\)

Eine Gaußumformung führt sofort zur oberen Dreiecksmatrix, an der zu erkennen ist, dass immer noch 3 Gleichungen für 3 Variablen vorliegen. Es gibt also genau eine einzige Lösung (die triviale Lösung), was bedeutet, dass die getesteten 3 Vektoren linear unabhängig sind.

Aufgabe 3

Untersuchen Sie, ob die Menge  \(M_3 = \left\{ \vvv{4}{-1}{2}, \vvv{2}{2}{1}, \vvv{-5}{3}{3}, \vvv{-7}{6}{2} \right\}\)  für den Vektorraum  \(\R^3\)  ein Erzeugendensystem ist.

Lösung

Wir probieren es wieder mit dem Ansatz der „geschlossenen Vektorkette“:

\(k_1\!\cdot\!\vvv{4}{-1}{2}\!+\! k_2\!\cdot\!\vvv{2}{2}{1}\!+\! k_3\!\cdot\!\vvv{-5}{3}{3}\!+\! k_4\!\cdot\!\vvv{-7}{6}{2}\!=\!\vec{0}\)

\(\left(\begin{array}{rrrr|r} 4 & 2 & -5 & -7 & 0 \\ -1 & 2 & 3 & 6 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 2 & 0 \end{array}\right)\)
\(\Rightarrow\left(\begin{array}{rrrr|r} 4 & 2 & -5 & -7 & 0 \\ 0 & 10 & 7 & 17 & 0 \\ 0 & 0 & 22 & 22 & 0 \end{array}\right)\)

Nach 2 Gaußumformungen hat man die obere Dreiecksmatrix erreicht. Es ist zu erkennen:

  • Es liegen 3 Gleichungen für 4 Variablen vor, somit gibt es unendlich viele Lösungen. Die 4 Vektoren sind somit linear abhängig.
  • Durch Weglassen des 4. Vektors bleiben genau 3 Gleichungen für 3 Variablen übrig, was bedeutet dass die ersten 3 Vektoren linear unabhängig sind.

Da  \(dim(\R^3)=3\)  ist, bilden die ersten 3 Vektoren somit eine Basis des Vektorraums  \(\R^3\), also kann man bereits mit den ersten 3 Vektoren sämtliche Vektoren darstellen. Der 4. Vektor ist dazu zwar nicht nötig, aber da er mit in der vorgegebene Menge  \(M_3\)  enthalten ist, ist  \(M_3\)  „nur“ ein Erzeugendensystem des  \(\R^3\), keine Basis.

Koordinaten eines Vektors bzgl. einer Basis

Ist   \(B = (\vec{b_1}, …, \vec{b_n})\)  eine Basis eines  \(n\)-dimensionalen Vektorraums  \(V\), so kann man folglich jeden beliebigen Vektor  \(\vec{v}\)  aus diesem Vektorraum  \(V\)  als Linearkombination der Basisvektoren  \(\vec{b_1}\), …, \(\vec{b_n}\)  darstellen.

Beauftragt man 2 Personen damit, für denselben Vektor  \(\vec{v}\)  eine solche Linearkombination zu ermitteln, so findet

  • die erste Person: \(\ \ \,\vec{v} = k_1\!\cdot\!\vec{b_1}+ …+k_n\!\cdot\!\vec{b_n}\)
  • die zweite Person:  \(\vec{v} = g_1\!\cdot\!\vec{b_1} + … + g_n\!\cdot\!\vec{b_n}\)

Behauptung:

Beide Personen müssen (sofern sie sich nicht verrechnet haben) exakt die gleiche Linearkombination gefunden haben!

Erkennen Sie, wie man diese Behauptung begründen kann?

Tipps:

  • Setzen Sie beide Linearkombinationen gleich.
  • Bringen Sie alle Vektoren auf eine Seite und sortieren Sie zusammen, was zusammenpasst.
  • Nutzen Sie den Ansatz zur Untersuchung auf lineare Unabhängigkeit.

Begründung:

Da beide Linearkombinationen denselben Vektor beschreiben, gilt:

\(k_1\!\cdot\!\vec{b_1}+ …+k_n\!\cdot\!\vec{b_n}\ \) \(=\ g_1\!\cdot\!\vec{b_1} + … + g_n\!\cdot\!\vec{b_n}\).

Bringt man alle Vektoren auf eine Seite und sortiert zusammen, was zusammenpasst, so erhält man:

\( (k_1\,{-}\,g_1)\!\cdot\!\vec{b_1}+ …+(k_n\,{-}\,g_n)\!\cdot\!\vec{b_n}\ \)  \(=\ \vec{0}\).

Wir erinnern uns:

  • Basisvektoren sind linear unabhängig, also auch  \(\vec{b_1}\), …, \(\vec{b_n}\).
  • Weil  \(\vec{b_1}\), …, \(\vec{b_n}\)  linear unabhängig sind, liefert der Ansatz  \(\ell_1\!\cdot\!\vec{b_1}+ …+\ell_n\!\cdot\!\vec{b_n} = \vec{0}\)  ein Gleichungssystem, das nur eine einzige Lösung haben darf, nämlich  \(\ell_1 =0, …, \ell_n=0\).

Folglich müssen auch in der Gleichung  \( (k_1\,{-}\,g_1)\!\cdot\!\vec{b_1}+ …+(k_n\,{-}\,g_n)\!\cdot\!\vec{b_n}\ \)  \(=\ \vec{0}\)  alle Faktoren den Wert 0 haben!

\(\underbrace{(k_1\,{-}\,g_1)}_{=\ 0}\!\cdot\!\vec{b_1}+ …+\underbrace{(k_n\,{-}\,g_n)}_{=\ 0}\!\cdot\!\vec{b_n}\ \)  \(=\ \vec{0}\)

Das kann aber nur sein, wenn \( k_1=g_1\), …, \( k_n=g_n\).

Zusammenfassung

Ist  \(B = (\vec{b_1}, …, \vec{b_n})\)  eine Basis eines Vektorraums  \(V\), so besitzt jeder Vektor  \(\vec{v}\in V\)  jeweils eine eindeutige Linearkombination der Basisvektoren  \(\vec{b_1}\), …, \(\vec{b_n}\):

\(\vec{v} = {\color{blue}{k_1}}\!\cdot\!\vec{b_1}+ …+{\color{blue}{k_n}}\!\cdot\!\vec{b_n}\)

Man nennt die Faktoren  \({\color{blue}{k_1}}\), …, \({\color{blue}{k_n}}\)  in der Linearkombination auch „Koordinaten von  \(\vec{v}\)  bzgl. der Basis  \(B\)„.

Da die Linearkombination eindeutig ist, kann man den Vektor  \(\vec{v}\)  allein mit seinen Koordinaten  \({\color{blue}{k_1}}\), …, \({\color{blue}{k_n}}\)  idenzifizieren.

Für  \({\color{blue}{k_1}}\!\cdot\!\vec{b_1}+ …+{\color{blue}{k_n}}\!\cdot\!\vec{b_n}\)  schreibt man kurz  \({\vvv{{\color{blue}{k_1}}}{\vdots}{{\color{blue}{k_n}}}}_{\!\!B}\).

Die Summanden \({\color{blue}{k_1}}\!\cdot\!\vec{b_1}\), …, \({\color{blue}{k_n}}\!\cdot\!\vec{b_n}\)  aus der Linearkombination (also die mit den Koordinaten skalierten Basisvektoren) werden als Komponenten von   \(\vec{v}\)  bzgl.  \(B\)  bezeichnet.

Das heißt:

  • Komponenten sind selbst Vektoren, aus denen sich der Vektor  \(\vec{v}\)  zusammensetzt („componere“ ist Lateinisch und heißt tatsächlich „zusammensetzen“).
  • Koordinaten sind reelle Zahlen, die angeben, wie jeder Basisvektor skaliert werden muss, damit die Linearkombination  \(\vec{v}\)  ergibt.

Achtung: Die Begriffe „Koordinaten“ und „Komponenten“ eines Vektors bzgl.  einer Basis werden oft verwechselt.

Beispiel:

Geg.:  \(\vec{b_1}=\vvv{3}{-1}{2}\), \(\vec{b_2}=\vvv{4}{-5}{2}\), \(\vec{b_3}=\vvv{-2}{-2}{-3}\)

\(\quad\quad\ B=\left(\vec{b_1}, \vec{b_2}, \vec{b_3}\right)\)  ist eine Basis des  \(\R^3\).

Ges.: Koordinaten von  \(\vec{v}=\vvv{0}{1}{-1}\)  bzgl. Basis  \(B\)

Lsg.: Ansatz: \({\color{blue}{k_1}}\!\cdot\!\vec{b_1}+ {\color{blue}{k_2}}\!\cdot\!\vec{b_2}+{\color{blue}{k_3}}\!\cdot\!\vec{b_3}=\vec{v}\)

\(\MMM{3 & 4 & -2 & 0}{-1 & -5 & -2 & 1}{2 & 2 & -3 & -1}\)

\(\Rightarrow\quad\MMM{3 & 4 & -2 & 0}{0 & -11 & -8 & 3}{0 & -2 & -5 & -3}\)

\(\Rightarrow\quad\MMM{3 & 4 & -2 & 0}{0 & -11 & -8 & 3}{0 & 0 & 39 & 39}\)

\(\text{III}\ \Rightarrow\  39{\color{blue}{k_3}}=39\ \Rightarrow\ {\color{blue}{k_3}}=1\)
\(\ \,\text{II}\ \Rightarrow\  -11{\color{blue}{k_2}}\,{-}\,8 = 3\ \Rightarrow\ {\color{blue}{k_2}}=-1\)
\(\ \ \,\,\text{I}\ \Rightarrow\  3{\color{blue}{k_1}}\,{-}\,4\,{-}\,2 = 0\ \Rightarrow\ {\color{blue}{k_1}}=2\)

\(\vec{v}\)  hat bzgl.  \(B\)  die Koordinaten
\({\color{blue}{k_1}}={\color{blue}{2}}\),  \({\color{blue}{k_2}}={\color{blue}{-1}}\),  \({\color{blue}{k_3}}={\color{blue}{1}}\)

Kurz:  \(\vec{v} = \vvv{{\color{blue}2}}{{\color{blue}{-1}}}{{\color{blue}1}}_{\!B}\)

Im nebenstehenden Geogebra-Applet können Sie beobachten,

  • wie sich der Repräsentant des Vektors  \(\vec[red]{v}\)  verändert, wenn Sie mit den Schiebereglern seine Koordinaten  \(\color{blue}x\),  \(\color{blue}y\)  und  \(\color{blue}z\)  bzgl. der Basis  \(\color{green}B\)  verändern.
  • dass die Koordinaten von  \(\vec[red]{v}\)  bzgl. der Basis  \(\color{green}B\)  unverändert bleiben, wenn Sie  \(\vec[green]{b_1}\),  \(\vec[green]{b_2}\), \(\vec[green]{b_3}\)  verändern (verschieben Sie dazu die rosa Punkte an den Spitzen der Basisvektoren).

Untersuchen Sie, wie die Basisvektoren gewählt sein müssen, damit die

  • Koordinaten von  \(\vec[red]{v}\)  bzgl. der Basis  \(\color{green}B\)  mit den
  • Koordinaten von  \(\vec[red]{v}\)  bzgl. des Koordinatensystems

übereinstimmen. In diesem Fall bezeichnet man die Basis  \(\color{green}B\)  als „Standardbasis“ oder auch als „kanonische Basis„.

 

 

Aufgaben zur Ermittlung von Koordinaten eines Vektors bzgl. einer Basis

Im nachfolgenden Geogebra-Applet sollen Sie versuchen, die Koordinaten eines Vektors  \(\vec{v}\)  bzgl. der Basis  \(B=(\vec{b_1}\), \(\vec{b_2}\), \(\vec{b_3})\)  zu ermitteln.

Achtung:

Es kann sein, dass es die angegebene Basis gar keine Basis ist, weil die Vektoren  \(\vec{b_1}\), \(\vec{b_2}\), \(\vec{b_3}\)  linear abhängig sind, was zur Folge hat, dass die Aufgabe nicht lösbar ist.

Hinweis:

Das für die Lösung benötigte Gleichungssystem können Sie im Geogebra-Applet, das sich rechts neben der Aufgabe befindet, mithilfe des Gauß-Verfahrens umformen, bis Sie die Lösung erkennen.

Es wird automatisch an die Aufgabe angepasst.

Eingabebeispiele für das Geogebra-Applet mit dem Gleichungssystem:

  • i, ii – Zeile i mit Zeile ii vertauschen
  • -3 ii – Zeile ii mit -3 multiplizieren
  • iii/4 – Zeile iii durch 4 teilen
  • 3 ii + 2 i – Zum 3-fachen von Zeile ii das 2-fache von Zeile i addieren (die zuerst notierte Zeilennummer gibt die Zeile an, die geändert wird)

  Verkürztes Gaußverfahren:

  • iii) 0, 1, 3*4-2*1, 2-1 – Die 4 Zahlen von Zeile iii ersetzen (Wenn zu wenige Zahlen eingegeben werden, werden von links Nuller ergänzt – weil man bei der Eingabe so gerne die Nuller vergisst…)
 
 

 

Interaktive Aufgaben zur Darstellung eines Vektors bzgl. einer Basis

Aufgabe 1

Versuchen Sie zunächst durch aufmerksame Beobachtung der Graphik den Vektor  \(\vec[magenta]{v}\)  als Linearkombination  von  \(\vec[green]{b_1}\),  \(\vec[green]{b_1}\)  und ggf.  \(\vec[green]{b_3}\)  darzustellen.

Achtung: Gehen Sie bei 2-dimensionalen Figuren davon aus, dass der zugrundeliegende Vektorraum tatsächlich auch nur 2-dimensional ist!

Aufgabe 2

Wenn Sie die Linearkombination durch Beobachtung der Graphik nicht erkennen, lassen Sie sich von dem Geogebra-Applet die Informationen über Anfangs- und Endpunkte der Basisvektoren geben, indem sie einfach darauf klicken. Das Applet zeigt Ihnen dann die jeweiligen Koordinaten der Punkte an. Berechnen Sie mithilfe der Punktkoordinaten anschließend die Koordinatenschreibweise der benötigten Vektoren.

(Zur Kontrolle klicken Sie einfach auf einen der Vektoren – das Applet zeigt Ihnen dann die Koordinatenschreibweise des jeweils angeklickten Vektors an.)

Aufgabe 3

Sobald Sie die Koordinatenschreibweise von  \(\vec[magenta]{v}\),  \(\vec[green]{b_1}\),  \(\vec[green]{b_1}\)  und ggf.  \(\vec[green]{b_3}\)  ermittelt haben, versuchen Sie die Koordinaten mithilfe eines geeigneten Gleichungssystems zu bestimmen.

Aufgaben-Modus:

  1. Nur wenn KEIN Häkchen bei „Eigenes“ gesetzt ist, ist der Aufgaben-Modus aktiviert.
  2. Nur im Aufgaben-Modus wird die Eingabezeile eingeblendet.
  3. Nur im Aufgaben-Modus werden die Koordinaten von Punkten oder Vektoren angezeigt, wenn man diese anklickt.
  4. Nun kann man sich überlegen, wie der Vektor  \(\vec[magenta]{v}\)  als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden kann.
  5. Beispiel für erlaubte Eingaben:
    ♦   3 b1 – 2/3 b2 -4 b3 (Linearkombination)
    ♦   3, -2/3, -4 (nur die Koordinaten von   \(\vec[magenta]{v}\)   bzgl. der Basis)
  6. Die Lösung kann man sich anzeigen lassen, indem man auf die Schaltfläche „Lösung“ klickt.

Nicht-Aufgaben-Modus:

  1. Wenn ein Häkchen bei „Eigenes“ setzt, kann man den Vektor  \(\vec[magenta]{v}\)  oder die Basis selbst auswählen.
  2. Um den Vektor  \(\vec[magenta]{v}\)  oder einen Basisvektor festzulegen, klickt man entweder auf eine Strecke der vorgegebenen Figur, oder man klickt 2 Punkte nacheinander an (als Fußpunkt und Spitze des gewünschten Vektors).

Basis-Bearbeitungsmodus:

  1. Im Basis-Bearbeitungsmodus färben sich die Basisvektoren rot, solange keine Basis vorliegt. Sie färben sich grün, wenn eine Basis vorliegt.
  2. Klickt man in diesem Modus einen Basisvektor an, wird dieser gelöscht.
  3. Um alle Basisvektoren zu löschen, klickt man auf die Schaltfläche „Löschen“.
  4. Die Basisvektoren werden nur als solche akzeptiert, wenn sie linear unabhängig sind.
 

 

Rechnen mit Koordinatenspalten bzgl. einer Basis

Kennt man die Koordinatenschreibweisen zweier Vektoren

  • \(\vec{r} = r_1\!\cdot\!\vec[green]{b_1}+r_2\!\cdot\!\vec[green]{b_2}+r_3\!\cdot\!\vec[green]{b_3}\) \(= \vvv{r_1}{r_2}{r_3}_{\!\!B}\)
  • \(\vec{s} = s_1\!\cdot\!\vec[green]{b_1}+s_2\!\cdot\!\vec[green]{b_2}+s_3\!\cdot\!\vec[green]{b_3}\) \(= \vvv{s_1}{s_2}{s_3}_{\!\!B}\)

bzgl. derselben Basis  \(B=\{\vec[green]{b_1}, \vec[green]{b_2}, \vec[green]{b_3}\}\), so lohnt es sich zu beobachten, wie sich die Koordinaten der beiden Vektoren bei Anwendung der bekannten Vektor-Verknüpfungen (Addition, Subtraktion, Skalar-Vektor-Multiplikation) verhalten.

Addition:  \(\vec{r} + \vec{s}\)

\(= \vvv{r_1}{r_2}{r_3}_{\!\!B}+\vvv{s_1}{s_2}{s_3}_{\!\!B}\) \(=(r_1\!\cdot\!\vec[green]{b_1}+r_2\!\cdot\!\vec[green]{b_2}+r_3\!\cdot\!\vec[green]{b_3} )+ ( s_1\!\cdot\!\vec[green]{b_1}+s_2\!\cdot\!\vec[green]{b_2}+s_3\!\cdot\!\vec[green]{b_3})\)

\(\phantom{= \vvv{r_1}{r_2}{r_3}_{\!\!B}+\vvv{s_1}{s_2}{s_3}_{\!\!B}}\) \(=(r_1+s_1)\!\cdot\!\vec[green]{b_1}+(r_2+s_2)\!\cdot\!\vec[green]{b_2}+(r_3+s_3)\!\cdot\!\vec[green]{b_3}\) \(= \vvv{r_1+s_1}{r_2+s_2}{r_3+s_3}_{\!\!B}\)

Subtraktion:  \(\vec{r}\,{-}\,\vec{s}\)

\(= \vvv{r_1}{r_2}{r_3}_{\!\!B}\,{-}\,\vvv{s_1}{s_2}{s_3}_{\!\!B}\) \(=(r_1\!\cdot\!\vec[green]{b_1}+r_2\!\cdot\!\vec[green]{b_2}+r_3\!\cdot\!\vec[green]{b_3} )\,{-}\, ( s_1\!\cdot\!\vec[green]{b_1}+s_2\!\cdot\!\vec[green]{b_2}+s_3\!\cdot\!\vec[green]{b_3})\)

\(\phantom{= \vvv{r_1}{r_2}{r_3}_{\!\!B}\,{-}\,\vvv{s_1}{s_2}{s_3}_{\!\!B}}\) \(=(r_1\,{-}\,s_1)\!\cdot\!\vec[green]{b_1}+(r_2\,{-}\,s_2)\!\cdot\!\vec[green]{b_2}+(r_3\,{-}\,s_3)\!\cdot\!\vec[green]{b_3}\) \(= \vvv{r_1\,{-}\,s_1}{r_2\,{-}\,s_2}{r_3\,{-}\,s_3}_{\!\!B}\)

Skalar-Vektor-Multiplikation:  \(k\!\cdot\!\vec{r}\)

\(= k\!\cdot\!\vvv{r_1}{r_2}{r_3}_{\!\!B}\) \(=k\!\cdot\!(r_1\!\cdot\!\vec[green]{b_1}+r_2\!\cdot\!\vec[green]{b_2}+r_3\!\cdot\!\vec[green]{b_3})\)

\(\phantom{= k\!\cdot\!\vvv{r_1}{r_2}{r_3}_{\!\!B}}\) \(=(k\!\cdot\!r_1)\!\cdot\!\vec[green]{b_1}+(k\!\cdot\!r_2)\!\cdot\!\vec[green]{b_2}+(k\!\cdot\!r_3)\!\cdot\!\vec[green]{b_3}\) \(= \vvv{k\!\cdot\!r_1}{k\!\cdot\!r_2}{k\!\cdot\!r_3}_{\!\!B}\)

Gegenvektor von \(\vec{r}\):  \(-\vec{r}\)

\(= -\vvv{r_1}{r_2}{r_3}_{\!\!B}\) \(= -1\!\cdot\!\vvv{r_1}{r_2}{r_3}_{\!\!B}\) \(= \vvv{-1\!\cdot\!r_1}{-1\!\cdot\!r_2}{-1\!\cdot\!r_3}_{\!\!B}\)

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