Winkel zwischen zwei Vektorpfeilen

Benötigte Grundwissen:

Voraussetzung für ein erfolgreiches Verstehen dieses Kapitels sind grundlegende Kenntnisse zu den folgenden Themen:

  • Skalarprodukt zweier Vektoren
  • Betrag eines Vektors
  • Kosinussatz (für die alternative Darstellung des Skalarprodukts)
  • Definition des Kosinus im Einheitskreis

Überblick zu den Inhalten dieses Kapitels

(1) Definition des Zwischenwinkels zweier Pfeilvektoren

(2) Berechnung der Größe des Winkels zwischen 2 Pfeilvektoren

(3) Fragen zu Winkeln zwischen 2 Pfeilvektoren

(4) Berechnung der Winkelgröße, die zu einem vorliegenden Kosinuswert gehört

(5) Fragen zur Berechnung der Größe des Winkels zwischen 2 Pfeilvektoren

(6) Verwendung eines CAS (Computer-Algebra-Systems)

Definition des Zwischenwinkels zweier Pfeilvektoren:

Gegeben sind die Pfeilvektoren  \(\vec{a}\)  und  \(\vec{b}\), bei denen es sich nicht um Nullvektoren handelt.

Wir wählen nun jeweils einen Repräsentanten (also konkrete Vektorpfeile) von \(\vec{a}\) und von \(\vec{b}\), die einen gemeinsamen Fußpunkt besitzen, um überhaupt einen Winkel (bestehend aus einem Scheitelpunkt und 2 Schenkeln) beschreiben zu können.

Als Zwischenwinkel von  \(\vec{a}\)  und  \(\vec{b}\)  wird nur derjenige Winkel zwischen  \(\vec{a}\)  und  \(\vec{b}\)  bezeichnet, dessen Größe kleiner oder gleich 180° beträgt. Die Angabe der Reihenfolge von  \(\vec{a}\)  und  \(\vec{b}\)  ist also nicht entscheidend.

Schreibweise für den Zwischenwinkel von  \(\vec{a}\)  und  \(\vec{b}\):  \(\require{AMSsymbols}\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b})\).

Berechnung der Größe des Winkels zwischen 2 Vektorpfeilen

Zeichnet man die Repräsentanten der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\)  so, dass sie einen gemeinsamen Fußpunkt haben, und verbindet man die beiden Pfeilspitzen der Vektorpfeile \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\), so erhält man ein Dreieck mit den Seitenlängen \(|\vec{a}|\), \(|\vec{b}|\) und \(|\vec{b}-\vec{a}|\).

 

 

Die quadrierten Seitenlängen können wir mithilfe des Skalarprodukts berechnen:

\(|\vec{a}|^2\) \(=\vec{a}\cdot\vec{a}\)

\(|\vec{b}|^2\) \(=\vec{b}\cdot\vec{b}\)

\(|\vec{b}-\vec{a}|^2\) \(=(\vec{b}-\vec{a})\cdot(\vec{b}-\vec{a})\)

Mithilfe des Distributivgesetzes für das Skalarprodukt kann man \(|\vec{b}-\vec{a}|^2\) berechnen:

\(\color{red}{|\vec{b}-\vec{a}|^2}\) \(=(\vec{b}-\vec{a})\cdot(\vec{b}-\vec{a})\)

\(=\vec{b}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{a}\ – 2\;\vec{a}\cdot\vec{b}\)

\(=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2\ – 2\;\vec{a}\cdot\vec{b}\)

Um die Größe des Winkels \(\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b})\) zu berechnen, kann man zum Beispiel den Kosinussatz verwenden.

\(\color{red}{|\vec{b}-\vec{a}|^2}\) \(=|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 – 2\; |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b}))\)

Vergleicht man die verschiedenen Darstellungen für \(\color{red}{|\vec{b}-\vec{a}|^2}\), so erhält man eine verblüffende alternative Berechnungsmöglichkeit für das Standardskalarprodukt von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\):

\(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2\ – 2\;\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(=|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 – 2\; |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b}))\)

\(\Rightarrow\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(= |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b}))\)

Alternative Berechnungsmöglichkeit für das Standardskalarprodukt zweier Pfeilvektoren

1. Möglichkeit:

  • im 2-Dimensionalen: \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(= a_1\cdot{}b_1 + a_2\cdot{} b_2\)
  • im 3-Dimensionalen: \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(= a_1\cdot{}b_1 + a_2\cdot{} b_2 +a_3\cdot b_3\)

2. Möglichkeit:

\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(= |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b}))\)

Nun kann man den Kosinus von \(\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b})\) mithilfe des Skalarprodukts von  \(\vec{a}\)  und  \(\vec{b}\)  berechnen:

\(cos(\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b}))\) \(= \require{AMSmath}\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}\)

Im 3-Dimensionalen

für \(\vec{a} =\left(\begin{smallmatrix}a_1 \\a_2 \\a_3\end{smallmatrix}\right)\) und \(\vec{b} =\left(\begin{smallmatrix}b_1 \\b_2 \\b_3 \end{smallmatrix}\right)\):

\(cos(\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b}))\) \(= \require{AMSmath}\dfrac{a_1\cdot b_1 + a_2\cdot b_2 +a_3\cdot b_3  }{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}\)

Im 2-Dimensionalen

für \(\vec{a} =\left(\begin{smallmatrix}a_1 \\a_2\end{smallmatrix}\right)\) und \(\vec{b} =\left(\begin{smallmatrix}b_1 \\b_2\end{smallmatrix}\right)\):

\(cos(\sphericalangle (\vec{a}, \vec{b}))\) \(= \require{AMSmath}\dfrac{a_1\cdot b_1 + a_2\cdot b_2 }{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}\)

Fragen zur Berechnung der Größe des Winkels zwischen 2 Vektorpfeilen

a) Was können Sie über  \(\vec{p}\)  und  \(\vec{q}\)  folgern, wenn \(\vec{p}\cdot\vec{q}=0\)  ist?

Es gilt:  \(\vec{p}\cdot\vec{q}\) \(= |\vec{p}|\cdot |\vec{q}|\cdot cos(\sphericalangle (\vec{p}, \vec{q}))\).

Wenn also  \(\vec{p}\cdot\vec{q} = 0\)  ist, dann muss auch \(|\vec{p}|\cdot |\vec{q}|\cdot cos(\sphericalangle (\vec{p}, \vec{q})) = 0\)  sein.

Das ist nur möglich, wenn einer der 3 Faktoren  \(|\vec{p}|\),  \(|\vec{q}|\)  oder  \(cos(\sphericalangle (\vec{p}, \vec{q}))\)  gleich Null ist.

Fall 1:  \(|\vec{p}| = 0\)

Das ist nur möglich, wenn  \(\vec{p}\)  der Nullvektor ist.

Fall 2:  \(|\vec{q}| = 0\)

Das ist nur möglich, wenn  \(\vec{q}\)  der Nullvektor ist.

Fall 3:  \(cos(\sphericalangle (\vec{p}, \vec{q})) = 0\)

Da der Zwischenwinkel von 2 Vektoren nur im Intervall  \([0°; 180°]\)  liegen kann und in diesem Intervall der einzige Winkel, dessen Kosinuswert 0 ist, der rechte Winkel ist, folgt: die beiden Vektoren \(\vec{p}\)  und \(\vec{q}\)  sind senkrecht zueinander.

Anmerkung:

In den folgenden Kapiteln wird die besondere Situation, dass Vektoren senkrecht zueinander sind, noch genauer untersucht.

b) Was können Sie über den Winkel zwischen  \(\vec{p}\)  und  \(\vec{q}\)  folgern, wenn  \(\vec{p}\cdot\vec{q}>0\)  ist?

Es gilt:  \(\vec{p}\cdot\vec{q}\) \(= |\vec{p}|\cdot |\vec{q}|\cdot cos(\sphericalangle (\vec{p}, \vec{q}))\).

Wenn also  \(\vec{p}\cdot\vec{q} > 0\)  ist, dann muss auch \(|\vec{p}|\cdot |\vec{q}|\cdot cos(\sphericalangle (\vec{p}, \vec{q})) > 0\)  sein.

Dafür darf schon mal keiner der 3 Faktoren  \(|\vec{p}|\),  \(|\vec{q}|\)  oder  \(cos(\sphericalangle (\vec{p}, \vec{q}))\)  gleich Null ist.

Außerdem ist  \(|\vec{p}|>0\)  und  \(|\vec{q}|>0\),  also muss  \(cos(\sphericalangle (\vec{p}, \vec{q}))\)  ebenfalls positiv sein.

Da der Zwischenwinkel von 2 Vektoren im Intervall  \([0°; 180°]\)  liegen muss und in diesem Intervall der Kosinuswert nur für solche Winkel positiv ist, deren Größe im Intervall \([0°; 90°[\)  liegt, folgt:

Der Winkel zwischen  \(\vec{p}\)  und  \(\vec{q}\)  hat eine Größe von 0° bis ausschließlich 90°. Es handelt sich also um einen spitzen Winkel.

c) Was können Sie über den Winkel zwischen  \(\vec{p}\)  und  \(\vec{q}\)  folgern, wenn  \(\vec{p}\cdot\vec{q}<0\)  ist?

Es gilt:  \(\vec{p}\cdot\vec{q}\) \(= |\vec{p}|\cdot |\vec{q}|\cdot cos(\sphericalangle (\vec{p}, \vec{q}))\).

Wenn also  \(\vec{p}\cdot\vec{q} < 0\)  ist, dann muss auch \(|\vec{p}|\cdot |\vec{q}|\cdot cos(\sphericalangle (\vec{p}, \vec{q})) < 0\)  sein.

Dafür darf schon mal keiner der 3 Faktoren  \(|\vec{p}|\),  \(|\vec{q}|\)  oder  \(cos(\sphericalangle (\vec{p}, \vec{q}))\)  gleich Null ist.

Außerdem ist  \(|\vec{p}|>0\)  und  \(|\vec{q}|>0\),  also muss  \(cos(\sphericalangle (\vec{p}, \vec{q}))\)  negativ sein.

Da der Zwischenwinkel von 2 Vektoren im Intervall  \([0°; 180°]\)  liegen muss und in diesem Intervall der Kosinuswert nur für solche Winkel negativ ist, deren Größe im Intervall \(]90°; 180°]\)  liegt, folgt:

Der Winkel zwischen  \(\vec{p}\)  und  \(\vec{q}\)  hat eine Größe von mehr als 90° bis einschließlich 180°. Es handelt sich also um einen stumpfen Winkel.

d) Wie verändert sich der Winkel zwischen zwei Vektoren, wenn man einen der beiden Vektoren durch seinen Gegenvektor ersetzt? Welche Auswirkung hat dieser Vorgang auf das Skalarprodukt der beiden Vektoren?

Zur 1. Frage:

Der Winkel zwischen einem Vektor  \(\vec{p}\)  und seinem Gegenvektor  \(\color{red}{-}\vec{p}\)   ist der gestreckte Winkel (hat also die Größe 180°).

Zeichnet man die Repräsentanten von  \(\vec{p}\),   \(\color{red}{-}\vec{p}\)  und  \(\vec{q}\)  an einen gemeinsamen Fußpunkt, so sieht man, dass  \(\vec{q}\)  den 180°-Winkel zwischen  \(\vec{p}\)  und  \(\color{red}{-}\vec{p}\)  in zwei Nebenwinkel zerlegt, nämlich in \(\sphericalangle(\vec{p},\vec{q})\)  und  \(\sphericalangle(\color{red}{-}\vec{p},\vec{q})\).

Folglich ist \(\sphericalangle(\vec{p},\vec{q}) + \sphericalangle(\color{red}{-}\vec{p},\vec{q})\)  \(= 180°\).

Zur 2. Frage:

Es gilt: \((\color{red}{-}\vec{p})\cdot\vec{q}\) \(= (\color{red}{-}1 \cdot \vec{p})\cdot\vec{q}\) \(= (\color{red}{-}1)\cdot (\vec{p}\cdot\vec{q})\). Das bedeutet: Das Vorzeichen des Skalarprodukts dreht sich um, wenn man einen der beiden Vektoren durch seinen Gegenvektor ersetzt.

Zusammenfassung:

Wenn man einen der beiden Vektoren durch seinen Gegenvektor ersetzt, so

  • ändert sich der Winkel so, dass er sich mit dem neuen Winkel zu einem gestreckten Winkel ergänzt (d.h. hat der Winkel vorher die Größe  \(\alpha\),  so hat er danach die Größe  \(180° – \alpha\).
  • dreht sich das Vorzeichen des Skalarprodukts beider Vektoren um.

Ermittlung der Winkelgröße, die zu einem vorliegenden Kosinuswert gehört

Wir haben nun die Situation, dass wir von einem noch unbekannten Winkel  \(\alpha\)  zwischen zwei Pfeilvektoren immerhin den zugehörigen den Kosinuswert  \(k\)  kennen. Es gilt also \(cos(\alpha) = k\).

Kann man die zum Kosinuswert  \(k\)  gehörige Größe des Winkels \(\alpha\) per Hand berechnen?

In ein paar Spezialfällen:

Wenn man eine Tabelle mit Winkelgrößen und zugehörigen Kosinuswerten auswendig im Kopf hat und genau einer der Werte aus der Tabelle auftritt, kann man den gesuchten Winkel der Tabelle entnehmen.

Beispiele für Spezialfälle:

\(cos(\alpha) = 0\) \(\quad\Rightarrow\quad \alpha=90°\)

\(cos(\alpha) = 0,5\) \(\quad\Rightarrow\quad \alpha=60°\)

\(cos(\alpha) = -0,5\) \(\quad\Rightarrow\quad \alpha=120°\)

\(cos(\alpha) = 1\) \(\quad\Rightarrow\quad \alpha=0°\)

\(cos(\alpha) = -1\) \(\quad\Rightarrow\quad \alpha=180°\)

\(\alpha\) im Gradmaß \(\alpha\) im Bogenmaß \(sin(\alpha)\) \(cos(\alpha)\) \(tan(\alpha)\)
0° 0 0 1 0
30° \(\frac{1}{6}\pi\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{2}\sqrt{3}\) \(\frac{1}{3}\sqrt{3}\)
45° \(\frac{1}{4}\pi\) \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\) \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\) 1
60° \(\frac{1}{3}\pi\) \(\frac{1}{2}\sqrt{3}\) \(\frac{1}{2}\) \(\sqrt{3}\)
90° \(\frac{1}{2}\pi\) 1 0 nicht definiert
120° \(\frac{2}{3}\pi\) \(\frac{1}{2}\sqrt{3}\) \(-\frac{1}{2}\) \(-\sqrt{3}\)
135° \(\frac{3}{4}\pi\) \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\) \(-\frac{1}{2}\sqrt{2}\) \(-1\)
150° \(\frac{5}{6}\pi\) \(\frac{1}{2}\) \(-\frac{1}{2}\sqrt{3}\) \(-\frac{1}{3}\sqrt{3}\)
180° \(\pi\) 0 \(-1\) 0

Im Allgemeinen:

Per Hand ist es im Allgemeinen nicht möglich!

Beispiel für einen Nicht-Spezialfall:

\(cos(\alpha) = 0,1\) \(\quad\Rightarrow\quad \alpha=\ ?\)

Tatsächlich nur ungefähr: \(\alpha \approx 84,2608°\)

Vorschlag für allgemeine Kosinuswerte:

Im Allgemeinen benötigt man eine geeignete „Entschlüsselungsfunktion“, die die Fähigkeit besitzt, aus Kosinuswerten jeweils die Größe des zugehörigen Winkels zu errechnen.

Solche Entschlüsselungsfunktionen heißen in der Mathematik „Umkehrfunktionen„.

Definition einer geeigneten Umkehrfunktion:

Bezeichnung: \(\text{Kosinus-hoch-Minus-Eins}\)
Schreibweise: \(cos^{-1}\)
Definitionsmenge: \(D_{cos^{-1}} = [ -1; 1 ]\)
Wertemenge: \(W_{cos^{-1}} = [ 0°; 180° ]\) oder
\(W_{cos^{-1}} = [ 0; \pi ]\)

\(\phantom{A}\)
Es gilt: \(\cos(\alpha) = k \quad \Rightarrow \quad cos^{-1}(k) = \alpha\)

Achtung:

Die Schreibweise  \(cos^{-1}(k)\)  bedeutet NICHT  \(\dfrac{1}{cos(k)}\) !!!

Verwendung eines Taschenrechners:

Für die Anwendung einer solchen Umkehrfunktion ist ein Taschenrechners nötig, der die Umkehrfunktionen für den Kosinus, Sinus und Tangens beherrscht.

Bitte informieren Sie sich, wie Sie auf Ihrem Taschenrechner die Umkehrfunktion des Kosinus eingeben können (üblicherweise in Kombination einer „Umschalt-Taste“ oder „2nd-function-Taste“ mit der Cos-Taste).

ACHTUNG:

Überprüfen Sie unbedingt, welches Winkelmaß auf Ihrem Taschenrechner gerade eingestellt ist!

  • Wenn der Taschenrechner auf das Bogenmaß eingestellt ist, wird er die Winkelgröße konsequenterweise im Bogenmaß (hier also als Zahl von  \(0\)  bis  \(pi\) ) ausgeben.
  • Wenn Sie die Größe des Winkels im Gradmaß (hier also als Zahl von  \(0\)  bis  \(180\) ) haben wollen, sollten Sie den Taschenrechner zuerst auf das Gradmaß umschalten (sofern das noch nicht geschehen ist).

Beispiel (am Taschenrechner):

Gesucht ist  \(\alpha\), so dass  \(cos(\alpha) = 0,1\)

Lösung am Taschenrechner:

a) Wenn der Taschenrechner auf das Gradmaß eingestellt ist (erkennbar üblicherweise im Taschenrechner-Display an dem Kürzel deg für degree):

\(cos^{-1}(0,1) \approx 84,2608295227°\)

Achtung: Das Gradsymbol ° geben nicht alle Taschenrechner an!

b) Wenn der Taschenrechner auf das Bogenmaß eingestellt ist (erkennbar üblicherweise im Taschenrechner-Display an dem Kürzel rad für radiant):

\(cos^{-1}(0,1) \approx 1,4706289056\)

(Man kann das Ergebnis ins Gradmaß umrechnen, indem man es mit  \(180/\pi\)  multipliziert.)

Fragen zur Berechnung der Größe des Winkels zwischen 2 Vektorpfeilen

Wie groß ist der Winkel zwischen \(\vec{p}\)  und  \(\vec{q}\), wenn \(\vec{p}=\left(\begin{smallmatrix}1 \\-2 \\4\end{smallmatrix}\right)\)  und  \(\vec{q}=\left(\begin{smallmatrix}2 \\-3 \\-1\end{smallmatrix}\right)\)  ist?

Es gilt:  \(cos(\sphericalangle (\vec{p}, \vec{q}))\) \(= \dfrac{\vec{p}\cdot\vec{q}}{|\vec{p}|\cdot |\vec{q}|}\).

Also benötigen wir  \(|\vec{p}|\),  \(|\vec{q}|\)  und  \(\vec{p}\cdot \vec{q}\):

  • \(\vec{p}=\left(\begin{smallmatrix}1 \\-2 \\4\end{smallmatrix}\right)\) \(\quad \Rightarrow \quad |\vec{p}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{21}\)
  • \(\vec{q}=\left(\begin{smallmatrix}2 \\-3 \\-1\end{smallmatrix}\right)\) \(\quad \Rightarrow \quad |\vec{q}|=\sqrt{2^2+(-3)^2+(-1)^2}=\sqrt{14}\)
  • \(\vec{p}\cdot\vec{q} = \left(\begin{smallmatrix}1 \\-2 \\4\end{smallmatrix}\right)\cdot \left(\begin{smallmatrix}2 \\-3 \\-1\end{smallmatrix}\right)\) \(= 1\cdot 2+(-2)\cdot(-3)+4\cdot(-1) = 2+6-4 = 4\)

\(\Rightarrow \quad cos(\sphericalangle (\vec{p}, \vec{q})) \) \(= \dfrac{4}{\sqrt{21}\cdot\sqrt{14}}\)

a) Wenn der Taschenrechner auf das Gradmaß eingestellt ist:

\(\Rightarrow \quad cos^{-1}\left( \dfrac{4}{ \sqrt{21}\cdot \sqrt{14} } \right) \approx 76.50946454\)

Also hat der Winkel zwischen  \(\vec{p}\)  und  \(\vec{q}\)  gerundet die Größe 76,51°.

b) Wenn der Taschenrechner auf das Bogenmaß eingestellt ist:

\(\Rightarrow \quad cos^{-1}\left( \dfrac{4}{\sqrt{21}\cdot \sqrt{14}} \right) \approx 1.335342\)

Also hat der Winkel zwischen  \(\vec{p}\)  und  \(\vec{q}\)  gerundet die Größe  \( 1.335342\cdot \dfrac{180°}{\pi} \approx\)  76,51°.

Gibt es einen Vektor  \(\vec{q}\), der mit dem Vektor  \(\vec{p}=\left(\begin{smallmatrix}2 \\-1 \\3\end{smallmatrix}\right)\)  einen Winkel der Größe 60° einschließt? Und wenn ja, wie lauten mögliche Koordinaten von  \(\vec{q}\)?

Es gilt:  \(cos(\sphericalangle (\vec{p}, \vec{q}))\) \(= \dfrac{\vec{p}\cdot\vec{q}}{|\vec{p}|\cdot |\vec{q}|}\).

Hier:  \(\sphericalangle (\vec{p}, \vec{q}) = 60°  \quad\Rightarrow\quad  cos(\sphericalangle (\vec{p}, \vec{q}))=0,5\)

Also benötigen wir  \(|\vec{p}|\),  \(|\vec{q}|\)  und  \(\vec{p}\cdot \vec{q}\):

  • \(\vec{p}=\left(\begin{smallmatrix}2 \\-1 \\3\end{smallmatrix}\right)\) \(\quad \Rightarrow \quad |\vec{p}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{14}\)
  • \(\vec{q}=\left(\begin{smallmatrix}x \\y \\z\end{smallmatrix}\right)\) \(\quad \Rightarrow \quad |\vec{q}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
  • \(\vec{p}\cdot\vec{q} = \left(\begin{smallmatrix}2 \\-1 \\3\end{smallmatrix}\right)\cdot \left(\begin{smallmatrix}x \\y \\z\end{smallmatrix}\right)\) \(= 2x\;  -\; y  +3z\)

\(\Rightarrow \quad 0,5 = \dfrac{2x\; -\; y  +3z}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)

Idee:

Da nun eine einzige Gleichung mit den 3 Unbekannten x, y und z vorliegt, könnte man versuchen, 2 von den 3 Variablen frei zu wählen, um dann die 3. Variable zu berechnen.

Problem:

Aber Achtung! Bei ungeschickter Wahl ist es möglich, dass dann die Gleichung keine Lösung besitzt:

z.B.: Wähle x = 0, z = 0. Dann erhält man \(0,5 = \dfrac{-y }{\sqrt{14}\cdot\sqrt{y^2}}\).

Quadriert man nun beide Seiten, erkennt man, dass die Gleichung keine Lösung besitzt.

Lösung:

Wir übernehmen von  \(\vec{p}=\left(\begin{smallmatrix}2 \\-1 \\3\end{smallmatrix}\right)\)  genau 2 Koordinaten für  \(\vec{q}\), also z.B.  \(\vec{q} =\left(\begin{smallmatrix}2 \\-1 \\z\end{smallmatrix}\right)\). Bei genauerer Überlegung muss es dann mindestens eine Lösung für z geben.

Damit erhält man:

\(\phantom{\Rightarrow\quad }0,5 = \dfrac{5+3z}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{5+z^2}}\)   | \(\cdot 2 \cdot \sqrt{14}\)

\(\Rightarrow\quad \sqrt{14}\cdot\sqrt{5+z^2} = 2 \cdot  (5+3z)\)   | beide Seiten quadrieren

\(\Rightarrow\quad 14\cdot (5+z^2)= 4\cdot(25 + 30z + 9z^2) \)   | mehrere Umformungsschritte

\(\Rightarrow\quad -22 {{z}^{2}}-120 z-30= 0 \)   | Anwendung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen

\(z_1 = \dfrac{-30 – 7 \sqrt{15}}{11} \approx -5.192\)

\( z_2=\dfrac{-30 + 7 \sqrt{15}}{11} \approx -0.263\)

Achtung:

Da wir beim Umformen beide Seiten quadriert haben, müssen wir nun überprüfen, ob beide Lösungen überhaupt zu der noch nicht quadrierten Gleichung passen.

In der Gleichung  \(0,5 = \dfrac{5+3z}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{5+z^2}}\)  ist die linke Seite positiv, also muss die rechte Seite ebenfalls positiv sein. Das passiert offenbar nicht für  \(z_1 \approx -5.192\), sondern nur für  \( z_2 \approx -0.263\).

Also lautet ein möglicher Vektor  \(\vec{q}\),  der mit  \(\vec{p}\)  einen Winkel der Größe 60° einschließt, z.B.

\(\vec{q}=\left(\begin{smallmatrix}2 \\-1 \\z_2\end{smallmatrix}\right)\), wobei \( z_2=\dfrac{-30 + 7 \sqrt{15}}{11} \approx -0.263\)  ist.

Aufgabe

 

 

Verwendung eines CAS (Computer-Algebra-Systems)

Ist die Verwendung eines CAS (z.B. Software am PC; CAS-Taschenrechner oder CAS-App am Smartphone) erlaubt, so sollte man wissen, dass dort die Umkehrfunktion üblicherweise nicht cos-1  heißt, sondern acos oder arccos heißt (Arcus-Cosinus). Arcus ist Lateinisch und heißt „Bogen“ auf Deutsch.

Der Name verrät bereits, dass hier die Winkelgröße im Bogenmaß berechnet wird. Will man die Winkelgröße aber im Gradmaß haben, muss man das Ergebnis im Bogenmaß zusätzlich noch ins Gradmaß umrechnen, indem man es mit  \(180/\pi\)  multipliziert.

Definition der Arcus-Kosinus-Funktion:

Bezeichnung: \(\text{Arcus-Kosinus}\)
Schreibweise: \(arccos\) oder \(acos\)
Definitionsmenge: \(D_{cos^{-1}} = [ -1; 1 ]\)
Wertemenge: \(W_{cos^{-1}} = [ 0; \pi ]\)

\(\phantom{A}\)

Es gilt: \(\cos(\alpha) = k \quad \Rightarrow \quad arccos(k) = b\)

Dabei ist  \(b\)  die Größe des Winkels  \(\alpha\)  im Bogenmaß.

Beispiele für die Verwendung von arccos in verschiedenen Online-Tools

Gesucht ist  \(\alpha\), so dass  \(cos(\alpha) = 0,1\).

Es zeigt sich, dass verschiedene CAS-Systeme unterschiedlich korrekt mit der arccos-Funktion umgehen oder auch zusätzliche Informationen anbieten.

a) Lösung (mit WolframAlpha-CAS – hier klicken):

Bereits während der Eingabe wird ein Näherungswert angezeigt (1.4706289056333368)

\(acos(0.1) \approx 1.470629…\)  (auf Wunsch mehr Nachkommastellen)

Nach Bestätigung mit der Eingabetaste erhält man von WolframAlpha die Winkelgröße sowohl im Bogenmaß als auch im Gradmaß (und viele weitere Informationen, die man ignorieren sollte, da sie eher verwirren als weiterhelfen).

b) Lösung (mit Geogebra-CAS – hier klicken):

Beim Geogebra-CAS muss man aufmerksam mitdenken!

Geogebra rechnet den Winkel bereits ins Gradmaß um. Das ist zwar sehr entgegenkommend, aber aus mathematischer Sicht nicht ganz korrekt.

\(acos(0.1) = 180°\cdot\frac{cos^{-1}(\frac{1}{10})}{\pi}\)

Den gerundeten Wert im Gradmaß erhält, man wenn man auf die  \(\approx\)-Schaltfläche klickt. Außerdem schreibt Geogebra nun  \(cos^{-1}\)  statt  \(acos\).

\(cos^{-1}(0,1) \approx 84.2608295227332\)

Etwas seltsam ist, dass wenn man nun nochmal auf die Eingabe klickt, anschließend wieder die Eingabetaste betätigt und wieder auf die  \(\approx\)-Schaltfläche klickt, man das Ergebnis diesmal im Bogenmaß erhält.

\(cos^{-1}(\frac{1}{10}) \approx 1.4706289056333\)

c) Lösung (mit der Google-Suche – hier klicken):

Geben Sie acos(0.1) ein, so erhalten Sie den korrekten Näherungswert im Bogenmaß – sogar mit der Einheit rad.

\(acos(0.1) = 1.4706289\ rad\)   (Das =-Zeichen ist NICHT korrekt, weil gerundet wurde.)

Geben Sie acos(0.1) in degree ein, so erhalten Sie den korrekten Näherungswert im Gradmaß – mit der Einheit degree.

\(acos(0.1) = 84.2608295\ degree \)   (Das =-Zeichen ist NICHT korrekt, weil gerundet wurde.)

Weiter
Zurück