Das Skalarprodukt

Was versteht man unter einem Skalarprodukt zweier Vektoren?

In der Mathematik ist ein Skalar ist etwas, womit man eine Skala beschriften kann – also eine reelle Zahl. Bei einem Skalarprodukt werden zwei Vektoren auf ganz bestimmte Weise miteinander verknüpft, wobei am Ende eine reelle Zahl herauskommt.

Genau genommen geht es in diesem Kapitel nicht um das Skalarprodukt, sondern um das „Standardskalarprodukt“.

Solange man sich aber nur mit Problemstellungen aus dem zwei- bzw. dreidimensionalen Anschauungsraum beschäftigt, ist es üblich, tatsächlich nur vom Skalarprodukt zu sprechen, obwohl man eigentlich das „Standardskalarprodukt“ meint.

Definition (Standardskalarprodukt)

Gegeben sind die Vektoren \(\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1 \\a_2 \\ \ldots \\a_n \end{pmatrix}\) und \(\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1 \\b_2 \\ \ldots \\b_n \end{pmatrix}\).

Die Verknüpfung der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) mit dem Verknüpfungszeichen \(\cdot\) wird folgendermaßen definiert:

\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)   \(=\begin{pmatrix}a_1 \\a_2 \\ \ldots \\a_n \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\b_2 \\ \ldots \\b_n \end{pmatrix}\)\(\ = a_1\cdot b_1 + a_2\cdot b_2 + \ldots + a_n\cdot b_n\).

und heißt Standardskalarprodukt der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\).

Es zeigt sich, dass beim Skalarprodukt zweier Vektoren sehr ähnliche Rechenregeln wie beim Produkt zweier Zahlen gelten – daher wurde als Verknüpfungszeichen der Malpunkt gewählt.

Für zwei- bzw. dreidimensionale Pfeilvektoren gilt also:

\( \begin{pmatrix}a_1 \\a_2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}b_1 \\b_2\end{pmatrix} =a_1\cdot{}b_1 + a_2\cdot{} b_2 \)

z.B. \( \begin{pmatrix}3 \\5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2 \\-3\end{pmatrix}\) \(= 3\cdot{}2 + 5\cdot{} (-3) = -9\)

\( \begin{pmatrix}a_1 \\a_2 \\a_3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}b_1 \\b_2 \\b_3\end{pmatrix} =a_1\cdot{}b_1 + a_2\cdot{} b_2 +a_3\cdot b_3\)

z. B. \( \begin{pmatrix}2 \\-4 \\1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 \\0 \\-2\end{pmatrix}\)  \(= 2\cdot{}1 + (-4)\cdot{} 0 + 1\cdot (-2) = 0\)

Nicht-Geometrische Anwendungen für das Skalarprodukt

Beispiel 1: Gesamtkosten aus Stückliste und Preisliste

Für ein Objekt, das sich aus verschiedenen Posten (siehe Tabelle) zusammensetzt, sollen die Gesamtkosten K ermittelt werden.

Teile-Nr. Bezeichnung Anzahl Preis in Euro
10120 C 1 12
10124 D1 4 4
10125 D2 3 5
10131 E 1 8

Was hat das mit dem Skalarprodukt zu tun?

Für die Berechnung der Gesamtkosten K werden die Informationen aus der 3. und 4. Spalte benötigt.

Offenbar gilt für die Gesamtkosten K:

K = 1 · 12 € + 4 · 4 € + 3 ·5 € + 1 · 8 € = 51 €

Mathematische Darstellung:

Stellt man die 3. und 4. Spalte jeweils als Spaltenvektor dar, so liegt aus mathematischer Sicht eine Verknüpfung dieser beiden Vektoren vor, wobei als Ergbnis der Verknüpfung eine einzige Zahl herauskommt.

K = \(\begin{pmatrix}1 \\4 \\3 \\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}12\; € \\4\; € \\5\; € \\8\; €\end{pmatrix}\) = 1 · 12 € + 4 · 4 € + 3 ·5 € + 1 · 8 € = 51 €

Beispiel 2: Gewichteter Mittelwert

Nach der Korrektur eines schriftlichen Leistungstests in einem Kurs aus 25 Teilnehmern soll der Notendurchschnitt berechnet werden. Es hat sich folgende Verteilung der Noten (1 bis 6) ergeben:

Note 1 2 3 4 5 6
Anzahl 1 2 6 8 5 3

Was hat das mit dem Skalarprodukt zu tun?

Lösung:

Durchschnittsnote D = Summe aller Noten geteilt durch Anzahl aller Noten

Also: D = (1 · 1 + 2 · 2 + 3 · 6 + 4 · 8 + 5 · 5 + 6 · 3) · \(\frac{1}{25}\) = 98 · \(\frac{1}{25}\) = 3,92

Mathematische Darstellung:

Schreibt man die Noten-Zeile und die Anzahl-Zeile jeweils in Form eines Spaltenvektors, so kann man die Durchschnittsberechnung als Verknüpfung dieser beiden Vektoren darstellen, wobei als Ergbnis der Verknüpfung eine einzige Zahl herauskommt.

D = \(\color{blue}{\begin{pmatrix}1 \\2 \\3 \\4 \\5 \\6 \end{pmatrix}}\cdot\color{red}{\begin{pmatrix}1 \\2 \\6 \\8 \\5 \\3 \end{pmatrix}} \cdot \frac{1}{25} \) = (1 · 1 + 2 · 2 + 3 · 6 + 4 · 8 + 5 · 5 + 6 · 3) · \(\frac{1}{25}\) = 3,92

Beispiel 3: Erwartungswert einer Zufallsgröße

Bei einem Glücksspiel treten verschiedene Gewinne G mit unterschiedlichen Wahrescheinlichkeiten auf.

Es soll untersucht werden, welche Teilnahmegebühr der Anbieter dieses Glücksspiels mindestens verlangen sollte, um auf lange Sicht gesehen keinen Verlust zu machen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass für jemanden, der an einer Runde dieses Glücksspiels teilnimmt, der Gewinn G den Wert g annimmt, wird symbolisch mit P(G = g) beschrieben.

g in Euro 0 2 10 100
P(G = g) 70 % 25% 4,5 % 0,5 %

Was hat das mit dem Skalarprodukt zu tun?

Der durchschnittliche Gewinn pro Spiel, den man bei „sehr vielen“ Spielen zu erwarten hat, wird als Erwartungswert von G bezeichnet, kurz E(G).

Es gilt: E(G) = Summe aller Gewinne, die jeweils mit ihrer Wahrscheinlichkeit gewichtet werden.

Also: E(G) = 0 € · 70 % + 2 € · 25 % + 10 € · 4,5 % + 100 € · 0,5 % = 1,45 €

Der Anbieter dieses Glücksspiels muss also durchschnittlich pro Spiel auf lange Sicht betrachtet 1,45 € an jeden Spieler auszahlen. Um keinen Verlust zu machen, sollte er als Teilnahmegebühr pro Spiel folglich mindestens 1,45 € verlangen.

Mathematische Darstellung:

Schreibt man die Gewinn-Zeile und die Wahrscheinlichkeits-Zeile jeweils in Form eines Spaltenvektors, so kann man die Berechnung des Erwartungswerts als Verknüpfung dieser beiden Vektoren darstellen, wobei als Ergbnis der Verknüpfung eine einzige Zahl herauskommt.

E(G) =\(\color{darkgreen}{\begin{pmatrix}0 € \\2 € \\10 € \\100 €\end{pmatrix}}\cdot\color{orange}{\begin{pmatrix}0,70 \\0,25 \\0,045 \\0,005\end{pmatrix}} \) = 0 € · 0,70 + 2 € · 0,25 + 10 € · 0,045 + 100 € · 0,005 = 1,45 €

Geometrische Anwendungen für das Skalarprodukt

Beispiel 4: Länge eines Vektorpfeils (Betrag eines Pfeilvektors)

Bezeichnet \(\color{red}{\vec{v}} =\color{red}{\begin{pmatrix}a \\b \\c\end{pmatrix}}\) einen Vektorpfeil, so schreibt man symbolisch für seine die Länge \(|\color{red}{{\vec{v}}}|\). Man nennt \(|\color{red}{{\vec{v}}}|\) auch den Betrag von Vektor  \(\color{red}{\vec{v}}\).

Beobachten Sie in dem folgenden Geogebra-Applet, wie man die Länge eines Vektorpfeils durch zweimalige Verwendung des Satzes von Pythagoras berechnen kann.

Um die Koordinaten a, b, c von \(\color{red}{\vec{v}}\) zu verändern, verschieben Sie die Punkte A, B, C.

 

 

Was hat das mit dem Skalarprodukt zu tun?

a) Jeder Repräsentant von \(\vec{v}\) hat die Länge \(|\vec{v}|\)\(\ =\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}\).

\(\phantom{A}\)

b) Ist \(\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1 \\v_2 \\v_3\end{pmatrix}\) ein Pfeilvektor, so kann man das Skalarprodukt von \(\vec{v}\) mit sich selbst berechnen:

\(\vec{v}\cdot\vec{v}\)\(\ = \begin{pmatrix}v_1 \\v_2 \\v_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}v_1 \\v_2 \\v_3\end{pmatrix}\)\(\ = v_1\cdot v_1\ + v_2\cdot v_2\ + v_3\cdot v_3\)\(\ = {v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2\)

Tatsächlich ist die Schreibweise \(\vec{v}\cdot\vec{v}\)\(\ = {\vec{v}}^2\) üblich.

\(\phantom{A}\)
Aus a) und b) folgt: \({|\vec{v}|}^2\)\( = {v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2\)\(\ =\vec{v}\cdot\vec{v}\)
Für den Betrag von \(\vec{v}\) gilt also: \(|\vec{v}|\)\(\ =\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}\).

Ausblick auf weitere geometrische Anwendungen des Skalarprodukts

Folgende Anwendungen des Skalarprodukts werden in späteren Kapiteln behandelt:

  • Größe des Zwischenwinkels zweier Vektorpfeile
  • Größe des Zwischenwinkels zweier sich schneidender Geraden
  • Größe des Zwischenwinkels zweier sich schneidender Ebenen
  • Größe des Zwischenwinkels einer Ebene und einer Geraden, welche die Ebene schneidet
  • Ermittlung von Vektorpfeilen, die senkrecht zu einem anderen Vektorpfeil sind

Um diese Kapitel verstehen zu können, sind folgende Grundkenntnisse nötig:

  • Was ist ein Winkel?
  • Wie wird die Größe eines Winkels angegeben?
  • Was ist der Kosinus und der Sinus eines Winkels?
  • Wie lautet der Kosinussatz im allgemeinen Dreieck?

Mit diesen Grundkenntnisse beschäftigt sich das nächste Kapitel.

Aufgaben

Gegeben sind die Vektoren \(\vec{a} =\begin{pmatrix}a_1 \\a_2 \\a_3\end{pmatrix}\), \(\vec{b} =\begin{pmatrix}b_1 \\b_2 \\b_3\end{pmatrix}\), \(\vec{c} =\begin{pmatrix}c_1 \\c_2 \\c_3\end{pmatrix}\) und die reelle Zahl k.

Weisen Sie nach, dass gilt:

a)  \(\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}\)

b)  \(\vec{a}\cdot \vec{a} \geq 0\)

c)  \((\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c} = \vec{a}\cdot \vec{c} + \vec{b}\cdot \vec{c}\)

d)  \(\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\cdot \vec{b} + \vec{a}\cdot \vec{c}\)

e)  \((k\cdot\vec{a})\cdot \vec{b} = k\cdot(\vec{a}\cdot \vec{b})\)

f)  \(\vec{a}\cdot (k\cdot\vec{b}) = k\cdot(\vec{a}\cdot \vec{b})\)

Lösungen

\(\vec{a}\cdot \vec{b}\) = \(\begin{pmatrix}a_1 \\a_2 \\a_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\b_2 \\b_3\end{pmatrix}\)

= \(a_1\cdot{}b_1 + a_2\cdot{} b_2 +a_3\cdot b_3\)

= \(b_1\cdot{}a_1 + b_2\cdot{} a_2 +b_3\cdot a_3\)

= \(\vec{b}\cdot \vec{a}\)

\(\vec{a}\cdot \vec{a}\)

= \(a_1\cdot{}a_1 + a_2\cdot{} a_2 +a_3\cdot a_3\)

= \({a_1}^2 + {a_2}^2 +{a_3}^2 \geq 0\)

\((\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}\)

= \(\left(\begin{pmatrix}a_1 \\a_2 \\a_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1 \\b_2 \\b_3\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}c_1 \\c_2 \\c_3\end{pmatrix}\)

= \(\begin{pmatrix}a_1+b_1 \\a_2+b_2 \\a_3+a_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}c_1 \\c_2 \\c_3\end{pmatrix}\)

= \((a_1+b_1)\cdot c_1 + (a_2+b_2)\cdot c_2 + (a_3+b_3)\cdot c_3\)

= \(a_1\cdot c_1+b_1\cdot c_1\ \ +\ \ a_2\cdot c_2+b_2\cdot c_2\ \ +\ \ a_3\cdot c_3+b_3\cdot c_3\)

= \(a_1\cdot c_1 + a_2\cdot c_2 + a_3\cdot c_3\ \ +\ \ b_1\cdot c_1 + b_2\cdot c_2+b_3\cdot c_3\)

= \(\vec{a}\cdot \vec{c} + \vec{b}\cdot \vec{c}\)

\(\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c}) \)

= \(\begin{pmatrix}a_1 \\a_2 \\a_3\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{pmatrix}b_1 \\b_2 \\b_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c_1 \\c_2 \\c_3\end{pmatrix}\right)\)

= \(\begin{pmatrix}a_1 \\a_2 \\a_3\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{pmatrix}b_1+c_1 \\b_2+c_2 \\b_3+c_3\end{pmatrix}\right)\)

= \(a_1\cdot (b_1+c_1) + a_2\cdot (b_2+c_2) + a_3\cdot (b_3+c_3)\)

= \(a_1\cdot b_1+a_1\cdot c_1\ \ +\ \ a_2\cdot b_2+a_2\cdot c_2\ \ +\ \ a_3\cdot b_3+a_3\cdot c_3\)

= \(a_1\cdot b_1 + a_2\cdot b_2 + a_3\cdot b_3\ \ +\ \ a_1\cdot c_1 + a_2\cdot c_2+a_3\cdot c_3\)

= \(\vec{a}\cdot \vec{b} + \vec{a}\cdot \vec{c}\)

\((k\cdot\vec{a})\cdot \vec{b}\)

= \(\left(k\cdot\begin{pmatrix}a_1 \\a_2 \\a_3\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\b_2 \\b_3\end{pmatrix}\)

= \(\begin{pmatrix}k\cdot a_1 \\k\cdot a_2 \\k\cdot a_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\b_2 \\b_3\end{pmatrix}\)

= \(k\cdot a_1\cdot b_1 + k\cdot a_2\cdot b_2 + k\cdot a_3\cdot b_3\)

= \(k\cdot (a_1\cdot b_1 +  a_2\cdot b_2 +  a_3\cdot b_3)\)

= \(k\cdot(\vec{a}\cdot \vec{b})\)

\(\vec{a}\cdot (k\cdot\vec{b})\)

= \(\begin{pmatrix}a_1 \\a_2 \\a_3\end{pmatrix}\cdot\left(k\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\b_2 \\b_3\end{pmatrix}\right)\)

= \(\begin{pmatrix}a_1 \\a_2 \\a_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}k\cdot b_1 \\k\cdot b_2 \\k\cdot b_3\end{pmatrix}\)

= \(a_1\cdot k\cdot b_1 +  a_2\cdot k\cdot b_2 +  a_3\cdot k\cdot b_3\)

= \(k\cdot (a_1\cdot b_1 +  a_2\cdot b_2 +  a_3\cdot b_3)\)

= \(k\cdot(\vec{a}\cdot \vec{b})\)

Zusatzinformation für Neugierige

Historisch gesehen stammt der Begriff „Skalarprodukt“ aus der Geometrie, was an dem Wortbestandteil „Skalar“ zu erkennen ist (um etwas zu messen, benötigt man skalierte Messinstrumente).

Im Laufe der Zeit hat man festgestellt, dass man die Darstellung von Vektoren als geordnete Zahlenmengen (sog. Tupel) nicht nur in der Geometrie verwenden kann, sondern auch in ganz anderen abstrakten Gebieten. Daher kam man auf die Idee, den Begriff „Skalarprodukt“ neu zu definieren, und zwar so, dass man jede Veknüpfung, die ein paar wesentliche Eigenschaften des klassischen Skalarprodukts besitzt, ebenfalls als Skalarprodukt bezeichnet. Die klassische geometrische Version des Skalarprodukts zweier Pfeilvektoren wurde in „Standardskalarprodukt“ umbenannt.

Als „Skalarprodukt“ bezeichnet man eine jede Verknüpfung \(\cdot\) zweier Vektoren, bei der als Ergebnis eine reelle Zahl entsteht, wenn die Verknüpfung folgende Eigenschaften besitzt (\(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) sind Vektoren und k ist eine reelle Zahl):

Kommutativität:

\(\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}\)

Positivität:

\(\vec{a}\cdot \vec{a} \geq 0\)

Distributitvität:

\((\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c} = \vec{a}\cdot \vec{c} + \vec{b}\cdot \vec{c}\)

\(\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\cdot \vec{b} + \vec{a}\cdot \vec{c}\)

\((k\cdot\vec{a})\cdot \vec{b} = k\cdot(\vec{a}\cdot \vec{b})\)

\(\vec{a}\cdot (k\cdot\vec{b}) = k\cdot(\vec{a}\cdot \vec{b})\)

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