Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

Überblick zu den Inhalten in diesem Kapitel

Es gibt 3 charakteristisch unterschiedliche Möglichkeiten, wie eine Gerade bzgl. einer Ebene im 3-dimensionalen Koordinatensystem liegen kann. Diese Lagebeziehung kann man rechnerisch mithilfe ihrer Gleichungen untersuchen.

Dieses Kapitel handelt von

  • von der Untersuchung der Lagebeziehungen einer Geraden und einer Ebene und
  • von der Ermittlung der Schnittmenge der Gerade und der Ebene, die eine wichtige Rolle bei der Untersuchung der Lagebeziehung spielt.

Mögliche Lagebeziehungen einer Geraden und einer Ebene

Eine Gerade und eine Ebene können im 3-Dimensionalen folgende Lagebeziehungen haben:

g ist in E enthalten.

E und g sind echt parallel.

E und g schneiden sich in genau einem Punkt.

Aufgabe

a) Beschreiben Sie für jede der 3 möglichen Lagebeziehungen die jeweilige Schnittmenge.

Tabellarische Darstellung der Antwort:

Lagebeziehung: Schnittmenge: Symbolisch:
g ist in E enthalten. Die Schnittmenge von E und g ist g, besteht also aus unendlich vielen Punkten. \(E\cap g=g\)
g und E sind echt parallel. Die Schnittmenge von E und g ist leer. \(E\cap g=\{\}\)
g und E schneiden sich in genau einem Punkt S. Die Schnittmenge von E und g besteht aus genau einem Punkt (hier mit S bezeichnet). \(E\cap g=\{S\}\)

b) Entscheiden Sie, ob mit der Angabe der Schnittmenge die jeweilige Lagebeziehung der Geraden und der Ebene eindeutig beschrieben wird.

Schneidet man eine Ebene und eine Gerade, so ist die Anzahl der Schnittpunkte charakteristisch für die Lagebeziehung.

Zur Erinnerung:

Lagebeziehung: Schnittmenge: Symbolisch:
g ist in E enthalten. Die Schnittmenge von E und g ist g, besteht also aus unendlich vielen Punkten. \(E\cap g=g\)
g und E sind echt parallel. Die Schnittmenge von E und g ist leer. \(E\cap g=\{\}\)
g und E schneiden sich in genau einem Punkt S. Die Schnittmenge von E und g besteht aus genau einem Punkt (hier mit S bezeichnet). \(E\cap g=\{S\}\)

Graphische Untersuchung der Lagebeziehung einer Geraden und einer Ebene

Verändern Sie die Lage der Ebene und der Geraden in dem folgenden Geogebra-Applet, indem Sie die Punkte A, B, C bzw. P, Q mithilfe der Maus verschieben.

Das Applet zeigt Ihnen sofort mögliche Gleichungen für die Gerade und die Ebene an. Die Ebenengleichung kann entweder in

  • vektorieller Form (sog. Parameterform) oder in
  • Koordinatenform

dargestellt werden (das können Sie selber auswählen). Ebenso werden die Lagebeziehung der Geraden und der Ebene und die Schnittmenge angegeben.

Versuchen Sie, die 3 verschiedenen Lagebeziehungen zu erzeugen:

  • identisch
  • echt parallel
  • in einem Punkt schneidend

Die Punkte sind zwecks einfacherer Positionierung an verschiedene Seitenflächen des Hilfsquaders gebunden, aber Sie können diese Bindung auch ausschalten.

 

 

Erste Überlegungen zur Untersuchung der Lagebeziehung einer Geraden und einer Ebene

Um die Lagebeziehung der Geraden und der Ebene zu bestimmen, werden wir versuchen, die Schnittmenge der Geraden und der Ebene zu ermitteln, da wir an der Schnittmenge die Lagebeziehung der Geraden und der Ebene eindeutig erkennen können.

Von der Geradengleichung gibt es nur die vektorielle Form (sog. Parameterform). Von der Ebene können wir

  • die vektorielle Ebenengleichung (dauert am längsten),
  • die Koordinatengleichung (am schnellsten)

verwenden.

Wir erhalten somit ein Gleichungssystem, dessen Lösungsmenge wir bestimmen müssen. Bereits an der Art der Lösungsmenge wird die Lagebeziehung der Geraden und der Ebene erkennbar sein:

  • Ist die Lösungsmenge leer, so muss die Gerade echt parallel zur Ebene verlaufen.
  • Besitzt die Lösungsmenge genau eine Lösung, so schneiden die Gerade die Ebenen in genau einem einzigen Punkt.
  • Besitzt die Lösungsmenge unendlich viele Elemente, so liegt die Gerade vollständig in der Ebene.

Vorgehensweisen zur Ermittlung der Lagebeziehung einer Geraden und einer Ebene

Die Antworten zu folgenden Fragen erläutern die Vorgehensweise zur Ermittlung der Schnittmenge einer Geraden und einer Ebene.

1) Wie kann man mithilfe eines Gleichungssystems vorgehen, um die Lagebeziehung einer Geraden und einer Ebene zu ermitteln, wenn sowohl von der Geraden als auch von der Ebene die Gleichung in vektorieller Form vorliegt?

Überlegungen:

  • Um die Schnittmenge einer Geraden und einer Ebene im 3-Dimensionalen zu ermitteln, kann man überprüfen, ob es Punkte gibt, die in der Geraden und in der Ebene gleichzeitig liegen.
  • Die Punkte  \(X\), die in der Geraden oder in der Ebene liegen, können durch ihre Ortvektoren  \(\overrightarrow{OX}\)  beschrieben werden.
  • Diese Ortvektoren  \(\overrightarrow{OX}\)  wiederum können mithilfe der vektorielle Gleichungen der Geraden bzw. der Ebene beschrieben werden.
    Für die Punkte auf \(g\mbox{: }\ \color{orange}{\overrightarrow{OX_g}}\) = \(\color{orange}{\overrightarrow{OA} + k\cdot \overrightarrow{r}}, \ \ k\in {\sf I\!R}\)
    Für die Punkte auf \(E\mbox{: }\ \color{darkorchid}{\overrightarrow{OX_E}}\) = \(\color{darkorchid}{\overrightarrow{OB} + m\cdot \overrightarrow{p} + n\cdot \overrightarrow{q}}, \ \ m, n\in {\sf I\!R}\)
  • Ausführlicher:  \(g\mbox{: }\ {\small\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}} = \color{orange}{{\small\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}} + k\cdot {\small\begin{pmatrix} r_1\\r_2\\r_3\end{pmatrix}}}, \ \ k\in {\sf I\!R}\)
    \(\phantom{ausfuhrlic:}\)  \(E\mbox{: }\ {\small\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}} = \color{darkorchid}{{\small\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}} + m\cdot {\small\begin{pmatrix} p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}} + n\cdot {\small\begin{pmatrix} q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix}}}, \ \ m, n\in {\sf I\!R}\)

Folgerung:

Wenn es einen Punkt  \(X\)  gibt, der sowohl auf der Geraden als auch auf der Ebene liegt, wird sein Ortvektor  \(\overrightarrow{OX}\)  sowohl von der einen, als auch von der anderen vektoriellen Gleichung beschrieben.

Man darf also die rechten Seiten der beiden vektoriellen Gleichungen gleichsetzen:

\(\color{darkorchid}{\overrightarrow{OX_E}}\) \(= \color{orange}{\overrightarrow{OX_g}}\)

\(\Rightarrow\quad\color{darkorchid}{\overrightarrow{OB} + m\cdot \overrightarrow{p} + n\cdot \overrightarrow{q}}\) \(= \color{orange}{\overrightarrow{OA} + k\cdot \overrightarrow{r}}\)

\(\Rightarrow\quad\color{darkorchid}{{\small\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}} + m\cdot {\small\begin{pmatrix} p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}} + n\cdot {\small\begin{pmatrix} q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix}}}\) \(=\color{orange}{{\small\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}} + k\cdot {\small\begin{pmatrix} r_1\\r_2\\r_3\end{pmatrix}}}\)

\(\Rightarrow\quad \color{darkorchid}{ m\cdot {\small\begin{pmatrix} p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}} + {n}\cdot {\small\begin{pmatrix} q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix}}} – \color{orange}{ k\cdot {\small\begin{pmatrix} r_1\\r_2\\r_3\end{pmatrix}}}\) \(=\color{orange}{\small\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}} – \color{darkorchid}{\small\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}}\)

Man erhält ein Gleichungssystem mit den Variablen  \(k\),  \(m\)  und  \(n\), deren Lösungsmenge alle Werte für  \(k\),  \(m\)  und  \(n\) beinhaltet. Falls es einen Schnittpunkt gibt, genügt es, den Wert für  \(k\)  in die zugehörigen Geradengleichung einzusetzen.

Die Darstellung des Gleichungssystems in Matrix-Form ist deutlich kompakter:

\(\left(\begin{array}{rrrr|r} p_1 & q_1 & – r_1 & a_1 – b_1 \\  p_2 & q_2 & – r_2 & a_2 – b_2\\ p_3 & q_3 & – r_3 & a_2 – b_2\end{array}\right)\)

Auswertung:

Nachdem man das Gleichungssystem auf Zeilen-Stufen-Form gebracht hat, kann folgendes passieren:

Merkmal: Folgerung für die Lösungsmenge: Folgerung für die Lagebeziehung:
Es entsteht ein Widerspruch (in einer Zeile nur Nuller vor dem Gleichheitszeichen, aber Nicht-Null nach dem Gleichheitszeichen) Es gibt folglich keine Lösung. Also ist die Gerade echt parallel zur Ebene.
Es entsteht genau eine reine Nullerzeile, aber keine Widerspruchszeile. Folglich ist genau 1 Variable frei wählbar. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Also ist die Gerade in der Ebene enthalten.
Es entsteht keine Nullerzeile und keine Widerspruchszeile. Folglich gibt es genau eine Lösung. Also schneidet die Gerade die Ebene in genau einem Punkt.

Bemerkung:

Diese Vorgehensweise ist im Vergleich zur anderen Möglichkeit schreibaufwändiger.

2) Wie kann man mithilfe eines Gleichungssystems vorgehen, um die Lagebeziehung einer Geraden und einer Ebene zu ermitteln, wenn von der Ebene die Gleichung in Koordinatenform vorliegt (die Geradengleichung kann nur in vektorieller Form vorliegen)?

Überlegungen:

  • Um die Schnittmenge einer Geraden und einer Ebene im 3-Dimensionalen zu ermitteln, kann man überprüfen, ob es Punkte gibt, die in der Geraden und in der Ebene gleichzeitig liegen.
  • Liegt ein Punkt  \(X(x_1|x_2|x_3)\)  auf der Geraden  \(g\), so kann sein Ortvektor  \(\overrightarrow{OX}={\small\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}}\)  mithilfe der vektoriellen Ebenengleichung beschrieben werden:
    \(g\mbox{: }\ {\small\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}} = {\small\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}} + k\cdot {\small\begin{pmatrix} r_1\\r_2\\r_3\end{pmatrix}}, \ \ k\in {\sf I\!R}\)
  • Die Koordinaten von  \(\overrightarrow{OX}\)  lauten also  \(\begin{array}{l} \color{red}{x_1} = \color{red}{a_1 + k\cdot r_1} \\\color{forestgreen}{x_2} = \color{forestgreen}{a_2 + k\cdot r_2 }\\\color{blue}{x_3} =\color{blue}{ a_3 + k\cdot r_3 }\end{array}\)
  • Liegt ein Punkt  \(X(x_1|x_2|x_3)\)  in der Ebene  \(E\), so liefert die Koordinatengleichung der Ebene  \(E\)  eine wahre Aussage:  \(E\mbox{: }\ A\cdot x_1 + B\cdot x_2 + C\cdot x_3 = D\)

Folgerung:

Ist  \(X(\color{red}{x_1}|\color{forestgreen}{x_2}|\color{blue}{x_3})\)  ein Punkt, der in der Gerade und in der Ebene gleichzeitig liegt, so muss die Koordinatengleichung von  \(E\)  eine wahre Aussage liefern, wenn man dort die Koordinaten von  \(\overrightarrow{OX}\) aus der vektoriellen Gleichung von  \(g\)  einsetzt:

\(\left.\begin{array}{l} \color{red}{x_1} = \color{red}{a_1 + k\cdot r_1} \\\color{forestgreen}{x_2} = \color{forestgreen}{a_2 + k\cdot r_2 }\\\color{blue}{x_3} =\color{blue}{ a_3 + k\cdot r_3 }\end{array}\right\}\)  einsetzen in  \(E\mbox{: }\ A\cdot\color{red}{x_1} + B\cdot \color{forestgreen}{x_2} + C\cdot \color{blue}{x_3} = D\)

Man erhält eine einzige lineare Gleichung mit der Variablen  \(k\):

\(A\cdot (\color{red}{ a_1 + k\cdot r_1}) + B\cdot (\color{forestgreen}{a_2 + k\cdot r_2 }) + C\cdot (\color{blue}{a_3 + k\cdot r_3 }) = D\)

Auswertung:

Nach dem dem Zusammenfassen und Vereinfachen kann Folgendes passieren.

Merkmal: Folgerung für die Lösungsmenge: Folgerung für die Lagebeziehung:
Es entsteht eine falsche Aussage
(z.B. 0 = 1).		 Es gibt folglich keine Lösung. Also ist die Gerade echt parallel zur Ebene.
Die Gleichung lässt sich nach  \(k\)  auflösen. Folglich gibt es genau eine Lösung. Also schneiden sich die Gerade und die Ebene in genau einem Punkt.
Es entsteht eine wahre Aussage
(z.B. 0 = 0).		 Folglich ist  \(k\)  frei wählbar. Es gibt somit unendlich viele Lösungen. Also ist die Gerade vollständig in der Ebene enthalten.

Bemerkung:

Diese Vorgehensweise ist weniger schreibaufwändig als die Vorgehensweise für 2 Ebenengleichungen in vektorieller Form.

Erinnerung: Lösen von Gleichungssystemen

Da für die Ermittlung der Schnittmenge von Geraden und Ebenen die Fähigkeit, Gleichungssysteme effizient lösen zu können, von entscheidender Bedeutung ist, können Sie hier noch einmal Ihre Kenntnisse dazu auffrischen.

 

 

Beispiele für erlaubte Eingaben:

Die klassischen Gauß-Umformungen:

  • i, ii – Zeile i mit Zeile ii vertauschen
  • -3 ii – Zeile ii mit -3 multiplizieren
  • iii/4 – Zeile iii durch 4 teilen
  • 3 ii + 2 i – Zum 3-fachen von Zeile ii das 2-fache von Zeile i addieren (die zuerst notierte Zeilennummer gibt die Zeile an, die geändert wird)

  Verkürztes Gaußverfahren:

  • iii) 0, 1, 3*4-2*1, 2-1 – Die 4 Zahlen von Zeile iii ersetzen (Wenn zu wenige Zahlen eingegeben werden, werden von links Nuller ergänzt – weil man bei der Eingabe so gerne die Nuller vergisst…)

Eigene neue Matrix eingeben (nz = neue Zeile, ns = neue Spalte):

  • nz3: 4, 5, -1, 7 – Zeile 3 wird mit den Werten 4, 5, -1 und 7 überschrieben
  • ns4: 1/2, 0, 5 – Spalte 4 wird mit den Werten 1/2, 0, 5 überschrieben

Weitere Kommandos:

  • #rk – Rang der Koeffizienzen-Matrix anzeigen
  • #re – Rang der erweiterten Koeffizienten-Matrix anzeigen
  • #h bzw. #h0 – Auswahlmöglichkeiten ausblenden bzw. anzeigen
  • #t bzw. #t0 – Tipps deaktivieren bzw. aktivieren
  • #l – Additionsverfahren deaktivieren (kleines L)
  • #d – Zeilen-Stufen-Normalform erzeugen

Anmerkung: Um die Grünfärbung der zuletzt veränderten Zeile zu entfernen, bitte ein Leerzeichen eingeben.

Ermittlung der Schnittmenge und Erkennen der Lagebeziehung einer Geraden und einer Ebene

In dem folgenden Geogebra-Applet wird für zufällige Situationen vorgeführt, wie man vorgehen kann, um die Lagebeziehung einer Geraden und einer Ebene zu ermitteln. Dabei wird jeweils

  • die Schnittmenge der Geraden und der Ebene mithilfe eines geeigneten Gleichungssystems ermittelt und
  • anschließend anhand der Lösungsmenge beschrieben, welche Lagebeziehung vorliegt.

WICHTIG:

Verfolgen Sie die Lösungswege für verschiedene Situationen (dazu auf die Neu-Schaltfläche klicken), und zwar so oft, bis Sie alle möglichen Fälle (identisch, echt parallel, in einem Punkt schneidend – in Kombination damit, dass die Ebenengleichung einmal in Parameterform und einmal in Koordinatenform vorliegt) nachvollziehen konnten.

Anleitung:

  • Zu jeder Situation können Sie sich einen Lösungsweg Schritt für Schritt vorführen lassen. Klicken Sie dazu auf die Schaltfläche mit dem Pfeil nach rechts. . Falls Sie die Aufgabe selber lösen wollen, überlegen Sie vor jedem weiteren Schritt, ob Sie nicht doch vielleicht ohne weitere Tipps auskommen.
  • Falls die Aufgabenstellung oder die Lösung nicht vollständig angezeigt wird (insbesondere, wenn Sie das Gefühl haben, dass am Ende der Lösung eine Folgerung fehlt), können Sie die Trennlinie zwischen dem Aufgaben- und dem Lösungsbereich und der 3D-Graphik mithilfe der Maus verschieben
  • Falls Sie die 3D-Graphik dazuschalten, müssen Sie im 3D-Fenster evtl. zoomen, um die Ebenen zu sehen (Klicken Sie dazu auf die Graphik-Schaltfläche).

Wählen Sie mithilfe der folgenden Schaltflächen, in welcher Form die Ebenengleichung vorliegen soll (Solange Sie NICHT auf die Neu-Schaltfläche klicken, wird die Ebene dadurch nicht verändert, nur die Darstellungsform der Gleichung wird geändert):

Sie können die Darstellungsform der Ebenengleichung auch im Auswahlmenü des Geogebra-Applets verändern.

 

 

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