Lagebeziehung zweier Ebenen

Überblick zu den Inhalten in diesem Kapitel

Wir haben gesehen, dass man eine Ebene in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem sowohl mithilfe von

  • vektoriellen Gleichungen („Parameterform“ der Ebenengleichung) also auch mithilfe
  • einer einzigen linearen Gleichungen („Koordinatenform“ der Ebenengleichung)

darstellen kann. Damit ist gemeint, dass sich alle Punkte dieser Ebene mit allen Elementen der Lösungsmenge von jeder dieser Gleichungen identifizieren lassen.

Ebenso wie bei 2 Geraden kann man auch die Lagebeziehung zweier Ebenen rechnerisch mithilfe ihrer Gleichungen untersuchen.

Dieses Kapitel handelt von

  • von der Untersuchung der Lagebeziehungen zweier Ebenen und
  • von der Ermittlung der Schnittmenge beider Ebenen, die eine wichtige Rolle bei der Untersuchung der Lagebeziehung spielt.

Mögliche Lagebeziehungen zweier Ebenen

Zwei Ebenen können im 3-Dimensionalen folgende Lagebeziehungen haben:

E und F sind identisch.

E und F sind echt parallel

E und F schneiden sich in genau einer Geraden.

Aufgabe

a) Beschreiben Sie für jede der 3 möglichen Lagebeziehungen die jeweilige Schnittmenge.

Tabellarische Darstellung der Antwort:

Lagebeziehung: Schnittmenge: Symbolisch:
E und F sind identisch. Die Schnittmenge von E und F ist sowohl E als auch F, besteht also aus unendlich vielen Punkten. \(E\cap F=E=F\)
E und F sind echt parallel. Die Schnittmenge von E und F ist leer \(E\cap F=\{\}\)
E und F  schneiden sich in genau einer Geraden s. Die Schnittmenge von E und F besteht aus allen Punkten einer Geraden s, also aus unendlich vielen Punkten. \(E\cap F=s\)

b) Entscheiden Sie, ob mit der Angabe der Schnittmenge die jeweilige Lagebeziehung der beiden Ebenen eindeutig beschrieben wird.

Wenn die Schnittmenge nicht leer ist, kann daraus die Lagebeziehung beider Ebenen nicht eindeutig gefolgert werden. Die Ebenen können dann nämlich

  • identisch sein oder
  • sich in einer Geraden schneiden.

Die Schnittmenge ist nur dann ein eindeutiges Merkmal für die Lagebeziehung zweier Ebenen, wenn die Schnittmenge leer ist.

Zur Erinnerung:

Lagebeziehung: Schnittmenge: Symbolisch:
E und F sind identisch. Die Schnittmenge von E und F ist sowohl E als auch F, besteht also aus unendlich vielen Punkten. \(E\cap F=E=F\)
E und F sind echt parallel. Die Schnittmenge von E und F ist leer \(E\cap F=\{\}\)
E und F  schneiden sich in genau einer Geraden s. Die Schnittmenge von E und F besteht aus allen Punkten einer Geraden s, also aus unendlich vielen Punkten. \(E\cap F=s\)

Graphische Untersuchung der Lagebeziehung zweier Ebenen

Verändern Sie die Lage der beiden Ebenen in dem folgenden Geogebra-Applet, indem Sie die Punkte A, B, C bzw. P, Q, R mithilfe der Maus verschieben.

Das Applet zeigt Ihnen sofort mögliche Ebenengleichungen an entweder in

  • vektorieller Form (sog. Parameterform) oder in
  • Koordinatenform

(das können Sie selber auswählen). Ebenso werden die Lagebeziehung der Ebenen und gegebenenfalls die Gleichung einer eventuellen Schnittgeraden angegeben.

Versuchen Sie, die 3 verschiedenen Lagebeziehungen zu erzeugen:

  • identisch
  • echt parallel
  • in einer Geraden schneidend

Beobachten Sie dabei die zugehörigen Ebenengleichungen. Überprüfen Sie, ob Sie anhand der Koordinatengleichungen der Ebenen erkennen können, ob die Ebenen identisch, parallel oder keines von beidem sind.

Die Punkte sind zwecks einfacherer Positionierung an verschiedene Seitenflächen des Hilfsquaders gebunden, aber Sie können diese Bindung auch ausschalten.

 

 

Erste Überlegungen zur Untersuchung der Lagebeziehung zweier Ebenen

Um die Lagebeziehung der beiden Ebenen zu bestimmen, werden wir versuchen, die Schnittmenge der beiden Ebenen zu ermitteln, da wir dann immerhin schon erkennen können, ob beide Ebenen keinen oder unendlich viele Punkte gemeinsam haben.

Dazu kann man

  • von beiden Ebenen die vektoriellen Ebenengleichungen (dauert am längsten),
  • von der einen Ebene die vektorielle Ebenengleichung, von der anderen Ebene die Koordinatengleichung (geht etwas schneller)
  • von beiden Ebenen jeweils die Koordinatengleichung (am schnellsten)

verwenden.

Wir erhalten somit ein Gleichungssystem, dessen Lösungsmenge wir bestimmen müssen. Bereits an der Art der Lösungsmenge wird die Lagebeziehung der  beiden Ebenen erkennbar sein:

  • Ist die Lösungsmenge leer, so müssen beide Ebenen echt parallel sein.
  • Besitzt die Lösungsmenge genau einen frei wählbaren Parameter, so schneiden sich beide Ebenen in einer gemeinsamen Geraden.
  • Besitzt die Lösungsmenge zwei frei wählbare Parameter, so sind die Ebenen identisch.

Bemerkung:

Die Erfahrung zeigt: Je mehr Gleichungen in Koordinatenform vorliegen, desto schneller läuft der Rechenweg ab. Wenn beide Ebenengleichung in Koordinatenform vorliegen, kann man die Lagebeziehung sogar nahezu sofort erkennen.

Vorgehensweisen zur Ermittlung der Lagebeziehung zweier Ebenen

Die Antworten zu folgenden Fragen erläutern die Vorgehensweise zur Ermittlung der Schnittmenge zweier Ebenen.

1) Wie kann man mithilfe eines Gleichungssystems vorgehen, um die Lagebeziehung zweier Ebenen zu ermitteln, wenn von beiden Ebenen die Gleichung in vektorieller Form vorliegt?

Überlegungen:

  • Um die Schnittmenge von 2 Ebenen im 3-Dimensionalen zu ermitteln, kann man überprüfen, ob es Punkte gibt, die in beiden Ebenen gleichzeitig liegen.
  • Die Punkte  \(X\), die in einer Ebenen liegen, können durch ihre Ortvektoren  \(\overrightarrow{OX}\)  beschrieben werden.
  • Diese Ortvektoren  \(\overrightarrow{OX}\)  wiederum können mithilfe der vektorielle Gleichungen beider Ebenen beschrieben werden.
    Für die Punkte auf \(E\mbox{: }\ \overrightarrow{OX_E} = \color{orange}{\overrightarrow{OA} + k\cdot \overrightarrow{p} + \ell\cdot \overrightarrow{q}}, \ \ k, \ell\in {\sf I\!R}\)
    Für die Punkte auf \(F\mbox{: }\ \overrightarrow{OX_F} =\color{darkorchid}{\overrightarrow{OB} + m\cdot \overrightarrow{r} + n\cdot \overrightarrow{s}}, \ \ m, n\in {\sf I\!R}\)
  • Ausführlicher:  \(E\mbox{: }\ {\small\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}} = \color{orange}{{\small\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}} + k\cdot {\small\begin{pmatrix} p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}} + \ell\cdot {\small\begin{pmatrix} q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix}}}, \ \ k, \ell\in {\sf I\!R}\)
    \(\phantom{ausfuhrlic:}\)  \(F\mbox{: }\ {\small\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}} = \color{darkorchid}{{\small\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}} + m\cdot {\small\begin{pmatrix} r_1\\r_2\\r_3\end{pmatrix}} + n\cdot {\small\begin{pmatrix} s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix}}}, \ \ m, n\in {\sf I\!R}\)

Folgerung:

Wenn es einen Punkt  \(X\)  gibt, der auf beiden Ebenen gleichzeitig liegt, wird sein Ortvektor  \(\overrightarrow{OX}\)  sowohl von der einen, als auch von der anderen vektoriellen Ebenengleichung beschrieben.

Man darf also die rechten Seiten der beiden vektoriellen Ebenengleichungen gleichsetzen:

\(\color{orange}{\overrightarrow{OX_E}} = \color{darkorchid}{\overrightarrow{OX_F}}\)

\(\Rightarrow\quad\color{orange}{\overrightarrow{OA} + k\cdot \overrightarrow{p} + \ell\cdot \overrightarrow{q}}\) \(= \color{darkorchid}{\overrightarrow{OB} + m\cdot \overrightarrow{r} + n\cdot \overrightarrow{s}} \)

\(\Rightarrow\quad\color{orange}{{\small\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}} + k\cdot {\small\begin{pmatrix} p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}} + \ell\cdot {\small\begin{pmatrix} q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix}}} = \color{darkorchid}{{\small\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}} + m\cdot {\small\begin{pmatrix} r_1\\r_2\\r_3\end{pmatrix}} + n\cdot {\small\begin{pmatrix} s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix}}}\)

\(\Rightarrow\quad\color{orange}{ k\cdot {\small\begin{pmatrix} p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}} + \ell\cdot {\small\begin{pmatrix} q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix}}} – \color{darkorchid}{ m\cdot {\small\begin{pmatrix} r_1\\r_2\\r_3\end{pmatrix}} – {n}\cdot {\small\begin{pmatrix} s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix}}} = \color{darkorchid}{\small\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}} – \color{orange}{\small\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}}\)

Man erhält ein Gleichungssystem mit den Variablen  \(k\),  \(\ell\),  \(m\)  und  \(n\), deren Lösungsmenge alle Werte für  \(k\),  \(\ell\),  \(m\)  und  \(n\) beinhaltet, für die die zugehörigen Ortvektoren  \(\overrightarrow{OX}\)  in den Ebenengleichungen auf die gemeinsamen Punkte  \(X\)  zeigen.

Die Darstellung des Gleichungssystems in Matrix-Form ist deutlich kompakter:

\(\left(\begin{array}{rrrr|r} p_1 & q_1 & – r_1 & – s_1  & b_1 – a_1 \\  p_2 & q_2 & – r_2 & – s_2 & b_2 – a_2\\ p_3 & q_3 & – r_3 & – s_3 & b_2 – a_2\end{array}\right)\)

Auswertung:

Nachdem man das Gleichungssystem auf Zeilen-Stufen-Form gebracht hat, kann folgendes passieren:

Merkmal: Folgerung für die Lösungsmenge: Folgerung für die Lagebeziehung:
Es entsteht ein Widerspruch (in einer Zeile nur Nuller vor dem Gleichheitszeichen, aber Nicht-Null nach dem Gleichheitszeichen) Es gibt folglich keine Lösung. Also sind beide Ebenen echt parallel.
Es entsteht genau eine reine Nullerzeile. Folglich ist nur 1 Variable frei wählbar. Die Lösungsmenge ist also ein eindimensionales Gebilde. Also schneiden sich beide Ebenen in einer Geraden
Es entstehen genau zwei reine Nullerzeilen. Folglich sind 2 Variablen frei wählbar. Die Lösungsmenge ist somit ein zweidimensionales Gebilde. Also sind beide Ebenen identisch.

Bemerkung:

Diese Vorgehensweise ist im Vergleich zu den beiden anderen Möglichkeiten am schreibaufwändigsten.

2) Wie kann man mithilfe eines Gleichungssystems vorgehen, um die Lagebeziehung zweier Ebenen zu ermitteln, wenn

  • von der einen Ebene die Gleichung in vektorieller Form und
  • von der anderen Ebene die Gleichung in Koordinatenform

vorliegt?

Überlegungen:

  • Um die Schnittmenge von 2 Ebenen im 3-Dimensionalen zu ermitteln, kann man überprüfen, ob es Punkte gibt, die in beiden Ebenen gleichzeitig liegen.
  • Liegt ein Punkt  \(X(x_1|x_2|x_3)\)  in der Ebene  \(E\), so kann sein Ortvektor  \(\overrightarrow{OX}={\small\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}}\)  mithilfe der vektoriellen Ebenengleichung beschrieben werden:
    \(E\mbox{: }\ {\small\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}} = {\small\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}} + k\cdot {\small\begin{pmatrix} p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}} + \ell\cdot {\small\begin{pmatrix} q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix}}, \ \ k, \ell\in {\sf I\!R}\)
  • Die Koordinaten von  \(\overrightarrow{OX}\)  lauten also  \(\begin{array}{l} \color{red}{x_1} = \color{red}{a_1 + k\cdot p_1 + \ell\cdot q_1} \\\color{forestgreen}{x_2} = \color{forestgreen}{a_2 + k\cdot p_2 + \ell\cdot q_2}\\\color{blue}{x_3} =\color{blue}{ a_3 + k\cdot p_3 + \ell\cdot q_3}\end{array}\)
  • Liegt ein Punkt  \(X(x_1|x_2|x_3)\)  in der Ebene  \(F\), so liefert die Koordinatengleichung der Ebene  \(F\)  eine wahre Aussage:  \(F\mbox{: }\ A\cdot x_1 + B\cdot x_2 + C\cdot x_3 = D\)

Folgerung:

Ist  \(X(x_1|x_2|x_3)\)  ein Punkt, der in beiden Ebenen gleichzeitig liegt, so muss die Koordinatengleichung von  \(F\)  eine wahre Aussage liefern, wenn man dort die Koordinaten von  \(\overrightarrow{OX}\) aus der vektoriellen Gleichung von  \(E\)  einsetzt:

\(\left.\begin{array}{l} \color{red}{x_1} = \color{red}{a_1 + k\cdot p_1 + \ell\cdot q_1} \\\color{forestgreen}{x_2} = \color{forestgreen}{a_2 + k\cdot p_2 + \ell\cdot q_2}\\\color{blue}{x_3} =\color{blue}{ a_3 + k\cdot p_3 + \ell\cdot q_3}\end{array}\right\}\)  einsetzen in  \(F\mbox{: }\ A\cdot\color{red}{x_1} + B\cdot \color{forestgreen}{x_2} + C\cdot \color{blue}{x_3} = D\)

Man erhält eine einzige lineare Gleichung mit den beiden Variablen  \(k\)  und  \(\ell\):

\(A\cdot (\color{red}{ a_1 + k\cdot p_1 + \ell\cdot q_1}) + B\cdot (\color{forestgreen}{a_2 + k\cdot p_2 + \ell\cdot q_2}) + C\cdot (\color{blue}{a_3 + k\cdot p_3 + \ell\cdot q_3}) = D\)

Auswertung:

Nach dem dem Zusammenfassen und Vereinfachen kann Folgendes passieren.

Merkmal: Folgerung für die Lösungsmenge: Folgerung für die Lagebeziehung:
Es entsteht eine falsche Aussage
(z.B. 0 = 1).		 Es gibt folglich keine Lösung. Also sind beide Ebenen echt parallel.
Die Gleichung lässt sich nach  \(k\)  oder  \(\ell\)  auflösen. Folglich ist nur 1 Parameter frei wählbar. Die Lösungsmenge ist also ein eindimensionales Gebilde. Also schneiden sich beide Ebenen in einer Geraden
Es entsteht eine wahre Aussage
(z.B. 0 = 0).		 Folglich sind beide Parameter frei wählbar. Die Lösungsmenge ist somit ein zweidimensionales Gebilde. Also sind beide Ebenen identisch.

Bemerkung:

Diese Vorgehensweise ist deutlich weniger schreibaufwändig als die Vorgehensweise für 2 Ebenengleichungen in vektorieller Form.

3) Wie kann man mithilfe eines Gleichungssystems vorgehen, um die Lagebeziehung zweier Ebenen zu ermitteln, , wenn von beiden Ebenen die Gleichung in Koordinatenform vorliegt?

Überlegungen:

  • Um die Schnittmenge von 2 Ebenen im 3-Dimensionalen zu ermitteln, kann man überprüfen, ob es Punkte gibt, die auf beiden Ebenen gleichzeitig liegen.
  • Liegt ein Punkt  \(X(x_1|x_2|x_3)\)  in der Ebene  \(E\), so liefert die Koordinatengleichung der Ebene  \(E\)  eine wahre Aussage:  \(F\mbox{: }\ A\cdot x_1 + B\cdot x_2 + C\cdot x_3 = D\)
  • Liegt ein Punkt  \(X(x_1|x_2|x_3)\)  in der Ebene  \(F\), so liefert die Koordinatengleichung der Ebene  \(F\)  eine wahre Aussage:  \(F\mbox{: }\ P\cdot x_1 + Q\cdot x_2 + R\cdot x_3 = S\)

Folgerung:

Ist  \(X(\color{red}{x_1}|\color{forestgreen}{x_2}|\color{blue}{x_3})\)  ein Punkt, der in beiden Ebenen gleichzeitig liegt, so muss sowohl die Koordinatengleichung von  \(E\)  als auch die Koordinatengleichung von  \(F\)  eine wahre Aussage liefern, wenn man die Koordinaten von  \(X(\color{red}{x_1}|\color{forestgreen}{x_2}|\color{blue}{x_3})\)  einsetzt:

\(E\mbox{: }\ A\cdot\color{red}{x_1} + B\cdot \color{forestgreen}{x_2} + C\cdot \color{blue}{x_3} = D\)
\(F\mbox{: }\ P\cdot\color{red}{x_1} + Q\cdot \color{forestgreen}{x_2} + R\cdot \color{blue}{x_3} = S\)

Man erhält also ein lineares Gleichungssystem aus 2 Gleichungen mit den drei Variablen  \(\color{red}{x_1}\),  \(\color{forestgreen}{x_2}\)  und  \(\color{blue}{x_3}\):

\(\begin{array}{rl} I) &\ A\cdot\color{red}{x_1} + B\cdot \color{forestgreen}{x_2} + C\cdot \color{blue}{x_3} = D\\ II) & \ P\cdot\color{red}{x_1} + Q\cdot \color{forestgreen}{x_2} + R\cdot \color{blue}{x_3} = S\end{array}\)

Die Darstellung des Gleichungssystems in Matrix-Form ist deutlich kompakter:

\(\left(\begin{array}{rrr|r} A & B & C & D \\ P & Q & R & S \end{array}\right)\)

Auswertung:

Nachdem man durch eine geeignete Gauß-Umformung in der 2. Zeile für wenigstens eine Null an erster, zweiter oder dritter Stelle gesorgt hat, ist die Lagebeziehung bereits erkennbar.

  • eine falsche Aussage (z.B. 0 = 1), so besitzen die Ebenen  \(E\)  und  \(F\)  keine gemeinsamen Punkte. Folglich sind sie echt parallel.
  • eine wahre Aussage (z.B. 0 = 0), so stimmen die Ebenen  \(E\)  und  \(F\)  in allen Punkten überein. Folglich sind sie identisch.
  • keine der beiden oberen Fälle, so besitzen die Ebenen  \(E\)  und  \(F\)  zwar unendlich viele gemeinsame Punkte, stimmen aber nicht in allen Punkten überein. Folglich schneiden sie sich in einer gemeinsamen Geraden.

Nach dem dem Zusammenfassen und Vereinfachen kann Folgendes passieren.

Merkmal: Folgerung für die Lösungsmenge: Folgerung für die Lagebeziehung:
Es entsteht eine falsche Aussage (in einer Zeile nur Nuller links vom Gleichheitszeichen, eine Nicht-Null nach dem Gleichheitszeichen)- Es gibt folglich keine Lösung. Also sind beide Ebenen echt parallel.
Die 2. Gleichung lässt sich nach  \(\color{red}{x_1}\),  \(\color{forestgreen}{x_2}\)  oder  \(\color{blue}{x_3}\)  auflösen. Folglich ist zusammen mit der 1. Gleichung letztendlich nur 1 Variable frei wählbar. Die Lösungsmenge ist also ein eindimensionales Gebilde. Also schneiden sich beide Ebenen in einer Geraden
Es entsteht eine wahre Aussage (also eine reine Nullerzeile). Folglich sind zwei Variablen frei wählbar. Die Lösungsmenge ist somit ein zweidimensionales Gebilde. Also sind beide Ebenen identisch.

Bemerkung:

Diese Vorgehensweise ist deutlich schneller als die beiden anderen Vorgehensweise, bei denen mindestens eine Ebenengleichung in vektorieller Form vorliegt.

Erinnerung: Lösen von Gleichungssystemen

Da für die Ermittlung der Schnittmenge zweier Ebenen die Fähigkeit, Gleichungssysteme effizient lösen zu können, von entscheidender Bedeutung ist, können Sie hier noch einmal Ihre Kenntnisse dazu auffrischen.

Wählen Sie zwischen    oder   .

 

 

Beispiele für erlaubte Eingaben:

Die klassischen Gauß-Umformungen:

  • i, ii – Zeile i mit Zeile ii vertauschen
  • -3 ii – Zeile ii mit -3 multiplizieren
  • iii/4 – Zeile iii durch 4 teilen
  • 3 ii + 2 i – Zum 3-fachen von Zeile ii das 2-fache von Zeile i addieren (die zuerst notierte Zeilennummer gibt die Zeile an, die geändert wird)

  Verkürztes Gaußverfahren:

  • iii) 0, 1, 3*4-2*1, 2-1 – Die 4 Zahlen von Zeile iii ersetzen (Wenn zu wenige Zahlen eingegeben werden, werden von links Nuller ergänzt – weil man bei der Eingabe so gerne die Nuller vergisst…)

Eigene neue Matrix eingeben (nz = neue Zeile, ns = neue Spalte):

  • nz3: 4, 5, -1, 7 – Zeile 3 wird mit den Werten 4, 5, -1 und 7 überschrieben
  • ns4: 1/2, 0, 5 – Spalte 4 wird mit den Werten 1/2, 0, 5 überschrieben

Weitere Kommandos:

  • #rk – Rang der Koeffizienzen-Matrix anzeigen
  • #re – Rang der erweiterten Koeffizienten-Matrix anzeigen
  • #h bzw. #h0 – Auswahlmöglichkeiten ausblenden bzw. anzeigen
  • #t bzw. #t0 – Tipps deaktivieren bzw. aktivieren
  • #l – Additionsverfahren deaktivieren (kleines L)
  • #d – Zeilen-Stufen-Normalform erzeugen

Anmerkung: Um die Grünfärbung der zuletzt veränderten Zeile zu entfernen, bitte ein Leerzeichen eingeben.

Ermittlung der Schnittmenge und Erkennen der Lagebeziehung zweier Ebenen

In dem folgenden Geogebra-Applet wird für zufällige Situationen vorgeführt, wie man vorgehen kann, um die Lagebeziehung zweier Ebenen zu ermitteln. Dabei wird jeweils

  • die Schnittmenge beider Ebenen mithilfe eines geeigneten Gleichungssystems ermittelt und
  • anschließend anhand der Lösungsmenge beschrieben, welche Lagebeziehung vorliegt.

WICHTIG:

Verfolgen Sie die Lösungswege für verschiedene Situationen (dazu auf die Neu-Schaltfläche klicken), und zwar so oft, bis Sie alle möglichen Fälle (identisch, echt parallel, in einer Geraden schneidend – in Kombination mit: beide Ebenengleichungen in Parameterform, beide in Koordinatenform, beide in verschiedenen Formen) nachvollziehen konnten.

Anleitung:

  • Zu jeder Situation können Sie sich einen Lösungsweg Schritt für Schritt vorführen lassen. Klicken Sie dazu auf die Schaltfläche mit dem Pfeil nach rechts. . Falls Sie die Aufgabe selber lösen wollen, überlegen Sie vor jedem weiteren Schritt, ob Sie nicht doch vielleicht ohne weitere Tipps auskommen.
  • Falls die Aufgabenstellung oder die Lösung nicht vollständig angezeigt wird (insbesondere, wenn Sie das Gefühl haben, dass am Ende der Lösung eine Folgerung fehlt), können Sie die Trennlinie zwischen dem Aufgaben- und dem Lösungsbereich und der 3D-Graphik mithilfe der Maus verschieben
  • Falls Sie die 3D-Graphik dazuschalten, müssen Sie im 3D-Fenster evtl. zoomen, um die Ebenen zu sehen (Klicken Sie dazu auf die Graphik-Schaltfläche).

Wählen Sie mithilfe der folgenden Schaltflächen, in welcher Form die beiden Ebenengleichungen vorliegen sollen (Solange Sie NICHT auf die Neu-Schaltfläche klicken, werden die beiden Ebenen dadurch nicht verändert, nur die Darstellungsform der Gleichungen wird geändert):

Sie können die Darstellungsform der Gleichungen auch im Auswahlmenü des Geogebra-Applets verändern.

 

 

Weiter
Zurück