Die Geradengleichung in Parameterform

Überblick zu den Inhalten in diesem Kapitel

\(\require{color}\definecolor{energy}{RGB}{114,0,172}\newcommand{\R}{{\rm I\!R}} \newcommand{\vvv}[3]{\left(\begin{array}{c} {#1}\\[-1em]{#2}\\[-1em]{#3} \end {array}\right) }\newcommand{\vv}[2]{\left(\begin{array}{c} {#1}\\[-1em] {#2} \end {array}\right) }\renewcommand{\vec}[2][black]{{\color{#1}{\overrightarrow{#2}}}}\newcommand{\MMM}[3]{\left(\begin{array}{rrr|r} #1\\ #2\\ #3\end{array}\right)}\)Jede Gerade besteht aus unendlich vielen Punkten. Jeder Punkt  \(\color{green}X\)  einer Geraden  \(\color{orange}g\)  kann durch seinen jeweiligen Ortsvektor  \(\vec[green]{OX}\)  beschrieben werden.

Zu jedem Punkt  \(\color{green}X\)  gehört sein Ortsvektor  \(\vec[green]{OX}\).

Er wird definiert durch denjenigen Repräsentanten,

  • der vom Ursprung  \(O\)  des Koordinatensystems
  • zum Punkt  \(\color{green}X\)

verläuft.

Das Praktische an diesem Ortsvektor  \(\vec[green]{OX}\)  ist, dass er dieselben Koordinaten wie der Punkt  \(\color{green}X\)  besitzt.

Hat der Punkt  \(\color{green}X\)  die Koordinatendarstellung  \(\color{green}X(x|y|z)\), so lautet die Koordinatenschreibweise seines Ortsvektor \(\vec[green]{OX}={\color{green}\vvv{x}{y}{z}}\).

Z. B.:  \({\color{green}X(7|11|-3)}\quad\Rightarrow\quad\vec[green]{OX}={\color{green}\vvv{7}{11}{-3}}\)

Das Ziel ist, ein Schema zu finden, wie die Ortvektoren aller Punkte von derselben Geraden rechnerisch ermittelt werden können.

Aufgaben zur Erinnerung

Entscheiden und begründen Sie, ob folgende Aussagen korrekt sind.

1) „Eine Gerade wird durch die Angabe zweier Punkte eindeutig beschrieben.“

2) „Liegen die Punkte  \(P\),  \(Q\),  \(R\)  alle auf einer gemeinsamen Geraden, so sind die Verbindungsvektoren  \(\vec{PQ}\)  und  \(\vec{PR}\)  linear abhängig.“

Die Aussage ist nur dann richtig, wenn die beiden Punkte NICHT IDENTISCH sind.

Die Aussage ist korrekt, denn 2 Vektoren sind „kollinear“ (also linear abhängig), wenn ihre Repräsentanten parallel zu einer gemeinsamen Geraden sind, und das ist bei den Pfeilen  \(\vec{PQ}\)  und  \(\vec{PR}\)  der Fall, weil die Punkte  \(P\),  \(Q\),  \(R\)  alle auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

Überlegungen zu 3 Punkten auf derselben Geraden

Wir betrachten 3 verschiedene Punkte  \(\color{red}A\),  \(\color{red}B\)  und \(\color{green}X\)  derselben Geraden  \(\color{orange}g\):

Die Verbindungsvektoren  \(\vec[blue]{AX}\)  und  \(\vec[blue]{AB}\)

  • sind linear abhängig und
  • lassen sich als Differenz der Ortsvektoren des Endpunkts und des Anfangspunkts berechnen.

Kurz:

Es gibt einen reellen Faktor \(k\),  so dass gilt:

\(\phantom{\Rightarrow\quad}\underbrace{\vec[blue]{AX}}_{\vec[green]{OX}\,{-}\,\vec[red]{OA}} = k\cdot\vec[blue]{AB}\)

\(\Rightarrow\quad\vec[green]{OX}\,{-}\,\vec[red]{OA} = k\cdot\vec[blue]{AB}\)

Somit lässt sich der Ortvektor für den Punkt  \(\color{green}X\)  isolieren.

Wir können dadurch erkennen, dass

  • der Ortvektor von JEDEM Punkt  \(\color{green}X\)  der Geraden  \(\color{orange}g\)
  • allein mithilfe der Ortsvektoren von  \(\color{red}A\),  \(\color{red}B\)
  • und einem reellen Faktor  \(k\)

berechnet werden kann.

\(\Rightarrow\quad\vec[green]{OX}\,{-}\,\vec[red]{OA} = k\cdot\vec[blue]{AB}\quad|+\vec[red]{OA}\)

\(\Rightarrow\quad\vec[green]{OX} = \vec[red]{OA} + k\cdot\!\!\underbrace{\vec[blue]{AB}}_{\vec[red]{OB}\,{-}\,\vec[red]{OA}}\)

\(\Rightarrow\quad\vec[green]{OX} = \vec[red]{OA} + k\cdot\left(\vec[red]{OB}\,{-}\,\vec[red]{OA}\right)\)

Interpretation der Gleichung für den Ortvektor von  \(\color{green}X\)

Um vom Ursprung  \(O\)  zu irgendeinem Punkt  \(\color{green}X\)  der Geraden  \(\color{orange}g\)  zu gelangen, kann man

  • sich zunächst von  \(O\)  zum Punkt  \(\color{red}A\)  bewegen, und
  • von dort weiter in Richtung des Vektors  \(\vec[blue]{AB}\)  bis zum Punkt  \(\color{green}X\).

Um exakt beim Punkt  \(\color{green}X\)  anzukommen, muss man den Vektor  \(\vec[blue]{AB}\)  noch entsprechend skalieren, indem man ihn mit einem geeigneten Wert  \(k\)  multipliziert.

In mathematischer Schreibweise:  \(\vec[green]{OX}=\vec[red]{OA}+k\cdot\vec[blue]{AB}\).

Interaktives graphisches Beispiel

Im nebenstehenden Geogebra-Applet sehen Sie eine Gerade  \(\color{orange}g\), die durch die Punkte  \(\color{magenta}A\)  und  \(\color{red}B\)  verläuft, und den Punkt  \(\color{green}P\), der auf der Geraden  \(\color{orange}g\)  liegt.

Aufgabe 1

Beobachten Sie, wie sich durch das Bewegen der Punkte  \(\color{magenta}A\),  \(\color{red}B\)  und  \(\color{green}P\)  die Koordinaten der Vektoren in der vektoriellen Geradengleichung verändern.

Aufgabe 2

Beobachten Sie außerdem, wie sich durch das Bewegen des Punkts  \(\color{green}P\)  der Wert für den Parameter  \(k\)  verändert, der nötig ist, um in der vektoriellen Geradengleichung den Ortsvektor von  \(\color{green}P\)  zu beschreiben.

Die Position der Punkte  \(A\),  \(B\)  und  \(P\)  können Sie verändern:

  • mithilfe der Maus, wobei durch mehrmaliges Anklicken zwischen der Verschiebung in z-Richtung oder in x-y-Richtung abgewechselt werden kann,
  • oder mithilfe der Pfeiltasten auf der Tastatur.

 

Vektorielle Geradengleichung

Ist  \(g\)  eine Gerade, und sind  \(A\)  und  \(B\)  voneinander verschiedene Punkte, die auf der Geraden  \(g\)  liegen, so gilt:

Die Gerade  \(g\)  ist die Menge aller Punkte  \(X\)  mit der Eigenschaft, dass sich ihr Ortsvektor durch die Gleichung   \(\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+k\cdot\overrightarrow{AB}\)  darstellen lässt, wobei der Parameter  \(k\)  alle Werte aus  \(\R\)  durchläuft.

kurz:     \(g=\{X\ |\ \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+k\cdot\overrightarrow{AB},\ k\in\R\}\)

kürzer: \(g\mbox{:  } \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+k\cdot\overrightarrow{AB},\ k\in\R\)

Wichtige Bezeichnungen:

  • Die vektorielle Gleichung  \(\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+k\cdot\overrightarrow{AB}\)  heißt Parameterform der Geradengleichung.
  • Der Vektor  \(\overrightarrow{AB}\)  heißt Richtungsvektor der Geraden.
  • Der Vektor  \(\overrightarrow{OA}\)  heißt Aufhängevektor der Geraden.
  • Der Punkt  \(A\)  wird als Aufhängepunkt (oder Aufpunkt) der Geraden bezeichnet.

Anwendungsmöglichkeiten

Mithilfe von Geradengleichungen kann man z.B.

  • die Koordinaten weiterer Punkte berechnen, die auf der Geraden liegen.
  • überprüfen, ob irgendein Punkt auf der Geraden liegt.
  • untersuchen, wie zwei Geraden zueinander im Raum liegen und in welchem Punkt sie sich evtl. schneiden (diese Untersuchung der Lagebeziehung erfolgt in einem späteren Kapitel).

Bemerkungen

Es gibt für ein und dieselbe Gerade unendlich viele verschiedene Parameterformen der Geradengleichung, denn

  • jeder Punkt der Geraden kann als Aufhängepunkt verwendet werden.
  • jeder Verbindungsvektor zweier Punkte der Geraden kann als Richtungsvektor verwendet werden.

Beispielaufgaben

In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte  \(P({-2}|3|{-1})\)  und  \(Q(4|{-3}|{-3})\)  gegeben. Die Gerade durch  \(P\)  und \(Q\)  wird mit  \(g\)  bezeichnet.

1.1 Ermitteln Sie eine mögliche Parameterform einer Gleichung der Geraden  \(g\).

Wir benötigen einen Aufhängevektor und einen Richtungsvektor:

Da die Gerade  \(g\)  durch den Punkt  \(P\)  verläuft, können wir diesen als Aufhängepunkt wählen und erhalten somit dessen Ortvektor  \(OP\)  als Aufhängevektor für die Geradengleichung:

\(\vec{OP}=\vvv{-2}{3}{-1}\)

Als  Richtungsvektor verwenden wir den Verbindungsvektor von  \(P\)  und  \(Q\):

\(\vec{PQ} = \vec{OQ}\,{-}\,\vec{OP} = \vvv{4}{-3}{-3}\,{-}\,\vvv{-2}{3}{-1}=\vvv{6}{-6}{-2}\)

Somit können wir eine mögliche Geradengleichung für die Gerade  \(g\)  angeben:

\(\vec{OX}=\vvv{-2}{3}{-1} + k\cdot \vvv{6}{-6}{-2}\)

1.2 Untersuchen Sie, ob auch der Vektor  \(\vvv{1,5}{-1,5}{-0,5}\)  ein geeigneter Richtungsvektor für die Gerade  \(g\)  ist.

Da der Vektor  \(\vec{PQ}\)  garantiert ein Richtungsvektor von  \(g\)  ist, können nur Vielfache von  \(\vec{PQ}\)  ebenfalls Richtungsvektoren von  \(g\)  sein:

\(\vec{PQ} = \vec{OQ}\,{-}\,\vec{OP} = \vvv{4}{-3}{-3}\,{-}\,\vvv{-2}{3}{-1}=\vvv{6}{-6}{-2}\)

Ist  \(\vvv{1,5}{-1,5}{-0,5}\)  ein Vielfaches von  \(\vvv{6}{-6}{-2}\) ?

\(\vvv{1,5}{-1,5}{-0,5}=\ell\cdot\vvv{6}{-6}{-2} \begin{array}{l}\Rightarrow\quad\ell=1,5:6 = 0,25 \\[-1em] \Rightarrow\quad\ell=-1,5:(-6) = 0,25 \\[-1em] \Rightarrow\quad\ell=-0,5:(-2) = 0,25 \end{array}\)\(\quad\Rightarrow\quad\ell=0,25\)

Folglich ist auch  \(\vvv{1,5}{-1,5}{-0,5}\)  ein Richtungsvektor von  \(g\), da  \(\vvv{1,5}{-1,5}{-0,5}=0,25\cdot\vec{PQ}\).

1.3 Entscheiden Sie rechnerisch, ob der Punkt  \(C(7|{-6}|{-4})\)  auf der Geraden  \(g\)  liegt.

Wir nutzen die Geradengleichung, die wir in Aufgabe 1.1 gefunden haben:

\(\text{g: }\vec{OX}=\vvv{-2}{3}{-1} + k\cdot \vvv{6}{-6}{-2}\)

Damit  \(C(7|{-6}|{-4})\)  auf der Geraden  \(g\)  liegen kann, muss er einer der Punkte  \(X\)  der Geraden sein. Also müsste sich sein Ortvektor  \(\vec{OC}\)  gemäß der obigen Geradengleichung darstellen lassen. Genau das überprüfen wir jetzt:

\(\Rightarrow\quad\vec{OC}=\vvv{-2}{3}{-1} + k\cdot \vvv{6}{-6}{-2}\)
\(\Rightarrow\quad\vvv{7}{-6}{-4}=\vvv{-2}{3}{-1} + k\cdot \vvv{6}{-6}{-2}\)
\(\Rightarrow\quad\vvv{7}{-6}{-4}\,{-}\,\vvv{-2}{3}{-1} = k\cdot \vvv{6}{-6}{-2}\)
\(\Rightarrow\quad\vvv{9}{-9}{-3}= k\cdot \vvv{6}{-6}{-2} \begin{array}{l}\Rightarrow\quad k=9:6 = 1,5 \\[-1em] \Rightarrow\quad k=-9:(-6) = 1,5 \\[-1em] \Rightarrow\quad k=-3:(-2) = 1,5 \end{array}\quad\Rightarrow\quad k=1,5\)

Es gibt also einen Wert für  \(k\),  so dass die Geradengleichung zu einer wahren Aussage wird. Folglich liegt der Punkt  \(C\)  auf der Geraden  \(g\).

1.4 Untersuchen Sie, ob die Gerade  \(h\)  mit der Gleichung  \(\vec{OX} =\vvv{2}{-2}{1} + m\!\cdot\!\vvv{-3}{3}{-1}\),   \(m\in\R\) parallel zur Geraden  \(g\)  verläuft.

Damit 2 Geraden  \(g\)  und  \(h\)  parallel sein können, müssen ihre Richtungsvektoren linear abhängig sein (also muss der Richrungsvektor der einen Geraden ein Vielfaches des Richtungsvektores der anderen Geraden sein).

\(\text{h: }\vec{OX} =\vvv{2}{-2}{1} + m\cdot\vvv{-3}{3}{-1}\)
\(\text{g: }\vec{OX}=\vvv{-2}{3}{-1} + k\cdot\vvv{6}{-6}{-2}\)

Richtungsvektor von  \(h\):  \(\vec{r_h}=\vvv{-3}{3}{-1}\)
Richtungsvektor von  \(g\):  \(\vec{r_g}=\vvv{6}{-6}{-2}\)

Ist der eine ein Vielfaches des anderen?

\(\ell\cdot\vvv{-3}{3}{-1} = \vvv{6}{-6}{-2} \begin{array}{l}\Rightarrow\quad\ell=6:(-3) = -2 \\[-1em] \Rightarrow\quad\ell=-6:3 = -2 \\[-1em] \Rightarrow\quad\ell=-2:(-1) = {\color{red}2} \end{array}\)

Die letzte Zeile liefert einen anderen Wert für  \(\ell\)  als die beiden vorherigen Zeilen. Also ist  \(\vec{r_g}\)  kein Vielfaches von  \(\vec{r_h}\). Die beiden Richtungsvektoren sind somit linear unabhängig.

Folgerung: Die Geraden  \(g\)  und  \(h\)  sind NICHT parallel (kurz:  \(g\nparallel h\)).

2. Weisen Sie nach, dass der Punkt  \(P_t({3t-3}|{-2}|t)\)  für jeden beliebigen Wert von  \(t\)  aus \(\R\)  auf einer einzigen Geraden liegt.

Wir beschreiben den Punkt  \(P_t\)  durch seinen Ortsvektor:

\(\vec{OP_t} = \vvv{3t-3}{-2}{t}\)

Nun zerlegen wir den Ortsvektor in eine Summe von 2 Vektoren, und zwar

  • in einen konstanten Vektor, und
  • in einen, der vom Parameter  \(t\)  abhängt:

\(\vec{OP_t} =\vvv{-3}{-2}{0} + \vvv{3t}{0}{t} \)

Anschließend ziehen wir den Parameter  \(t\)  aus dem hinteren Vektor und erkennen, dass sich der Ortsvektor von  \(P_t\)  mit dem typischen Term einer Geradengleichung berechnen lässt:

\(\vec{OP_t} =\vvv{-3}{-2}{0} + t\cdot\vvv{3}{0}{1}\)

Offenbar bilden sämtliche Punkte  \(P_t\)  eine Gerade, die sich mit der folgenden Gleichung beschreiben lässt:

\(\vec{OX} =\vvv{-3}{-2}{0} + t\cdot\vvv{3}{0}{1}\)

Interaktive Aufgaben

Im folgenden Geogebra-Applet können Sie versuchen, zu zwei vorgegebenen Punkten  \(A\)  und  \(B\)  eine mögliche Gleichung der Geraden  \(g\), die durch die Punkte  \(A\)  und  \(B\)  verläuft, in Parameterform einzugeben. Anschließend erhalten Sie eine Rückmeldung, ob die von Ihnen eingegebene Geradengleichung richtig ist oder nicht.

Wichtig:

Überzeugen Sie sich davon, dass Sie unterschiedliche Aufhängevektoren und Richtungsvektoren für ein und dieselbe Gerade verwenden können.

 

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