Weitere Abstandsberechnungen

Benötigtes Grundwissen

Voraussetzung für ein erfolgreiches Verstehen dieses Kapitels sind grundlegende Kenntnisse zu den folgenden Themen:

  • Skalarprodukt
  • Kreuzprodukt (Normalenvektor zweier Vektoren)
  • Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren (Parallelogramm-Flächeninhalt)
  • Spatprodukt von drei Vektoren (Parallelotop-Volumen)
  • Normalenvektoren von Geraden und Ebenen
  • Normalenform, Koordinatenform und Parameterform der Ebenengleichung
  • Berechnung der Koordinaten des Schnittpunkts einer Geraden und einer Ebene

Überblick zu den Inhalten dieses Kapitels

(1) Berechnung des Abstands zweier windschiefer Geraden g und h

(1.1) mithilfe einer zu beiden Geraden parallelen Ebene (ohne Ermittlung der Lotfußpunkte)


(2) Berechnung der Punkte, in denen sich zwei windschiefe Geraden g und h am nächsten sind

(2.1) mithilfe eines geeigneten Gleichungssystems

(2.2) mithilfe geeigneter Hilfsebenen

(1) Berechnung des Abstands zweier windschiefer Geraden

(1.1) Berechnung des Abstand mithilfe einer zu beiden Geraden parallelen Ebene

Aufgabe

a) Beobachten Sie in dem folgenden Geogebra-Applet, wie der Abstand zweier windschiefer Geraden rechnerisch ermittelt werden kann, indem eine Ebene genutzt wird, die zu beiden Geraden parallel ist (und sogar die eine Gerade enthält).

  • Sie können sich schrittweise durch die Beschreibung bewegen, indem Sie wiederholt auf die blaue Schaltfläche mit dem grünen Pfeil klicken.
  • Die Lage der Punkte A, B, C und D können Sie verändern (mehrmals anklicken, um zwischen horizontaler und vertikaler Verschiebung umzuschalten, oder auf der Tastatur die Pfeiltasten bzw. Bild auf und Bild ab verwenden – auch in Kombination mit der Umschalt-Taste für eine feinere Schrittweite).

b) Um zu prüfen, ob Sie die Methode verstanden haben, sollten Sie für weitere Situationen (dazu auf die „Neu“-Schaltfläche klicken) versuchen, die Lösung selber zu berechnen. Anschließend können Sie Ihre Lösung mit den Werten aus der Beschreibung vergleichen.

 

 

(2) Ermittlung der Punkte, in denen sich zwei windschiefe Geraden am nächsten sind

(2.1) Berechnung der Koordinaten der gesuchten Punkte mithilfe eines geeigneten Gleichungssystems

Aufgabe

a) Beobachten Sie in dem folgenden Geogebra-Applet, wie diejenigen Punkte zweier windschiefer Geraden rechnerisch ermittelt werden können, in denen sich die beiden Geraden am nächsten sind. Aus der Bedingung, dass der Verbindungsvektor der beiden gesuchten Punkte jeweils senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren stehen muss, entstehen 2 lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten, deren Lösungen schließlich zu den gesuchten Punkten führen.

  • Sie können sich schrittweise durch die Beschreibung bewegen, indem Sie wiederholt auf die blaue Schaltfläche mit dem grünen Pfeil klicken.
  • Die Lage der Punkte A, B, C und D können Sie verändern (mehrmals anklicken, um zwischen horizontaler und vertikaler Verschiebung umzuschalten, oder auf der Tastatur die Pfeiltasten bzw. Bild auf und Bild ab verwenden – auch in Kombination mit der Umschalt-Taste für eine feinere Schrittweite).

b) Um zu prüfen, ob Sie die Methode verstanden haben, sollten Sie für weitere Situationen (dazu auf die „Neu“-Schaltfläche klicken) versuchen, die Lösung selber zu berechnen. Anschließend können Sie Ihre Lösung mit den Werten aus der Beschreibung vergleichen.

 

 

(2.2) Berechnung der Koordinaten der gesuchten Punkte mithilfe geeigneter Hilfsebenen

Aufgabe

a) Beobachten Sie in dem folgenden Geogebra-Applet, wie diejenigen Punkte zweier windschiefer Geraden rechnerisch ermittelt werden können, in denen sich die beiden Geraden am nächsten sind, indem jeweils geeignete Hilfsebenen mit den Geraden geschnitten werden. Dieses Verfahren ist relativ rechenaufwändig.

  • Sie können sich schrittweise durch die Beschreibung bewegen, indem Sie wiederholt auf die blaue Schaltfläche mit dem grünen Pfeil klicken.
  • Die Lage der Punkte A, B, C und D können Sie verändern (mehrmals anklicken, um zwischen horizontaler und vertikaler Verschiebung umzuschalten, oder auf der Tastatur die Pfeiltasten bzw. Bild auf und Bild ab verwenden – auch in Kombination mit der Umschalt-Taste für eine feinere Schrittweite).

b) Um zu prüfen, ob Sie die Methode verstanden haben, sollten Sie für weitere Situationen (dazu auf die „Neu“-Schaltfläche klicken) versuchen, die Lösung selber zu berechnen. Anschließend können Sie Ihre Lösung mit den Werten aus der Beschreibung vergleichen.

 

 

Zurück