Schnittpunkte ganzrationaler Funktionen

\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\newcommand{\fs}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\fss}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\)Wir betrachten die beiden Funktionen \(f\) mit \(f(x)=x^3+5x^2+x-4\) und \(g\) mit Funktionsterm \(g(x)=3x^3+5x^2-x-4\) auf der Definitionsmenge \(D_f=D_g=\IR\). Die beiden Funktionsgraphen sind im folgenden Koordinatensystem dargestellt. Gesucht sind die Koordinaten der Schnittpunkte \(S_1\), \(S_2\) und \(S_3\) der beiden Funktionsgraphen.

Wie bei allen Funktionensarten setzen wir die beiden Terme \(f(x)\) und \(g(x)\) zur Berechnung der Schnittpunkte gleich.

\[f(x)=g(x)\]

Nun bringen wir alle Terme auf eine Seite, so dass auf einer Seite der Gleichung \(0\) steht.

\[x^3+5x^2+x-4=3x^3+5x^2-x-4\]

\[0=2x^3-2x\]

Ab diesem Schritt können wir alle Verfahren nutzen, die wir schon für die Nullstellenberechnung kennen. In diesem Fall bietet sich das Ausklammern an.

\[0=x(2x^2-2) \Rightarrow x_1=0 \]

Die Klammer kann ebenfalls \(0\) ergeben. Die passenden Werte lassen sich mit der Lösungsformel berechnen, wobei es in diesem Fall auch durch algebraisches Auflösen möglich ist.

\[2x^2-2=0\]

\[2x^2=2\]

\[x^2=1 \Rightarrow x_2=1, x_3=-1\]

Über einen der beiden Funktionsterme lassen sich noch die \(y\)-Koordinaten berechnen:

\[y_1=f(x_1)=0^3+5 \cdot 0^2+0-4=-4\Rightarrow S_1 (0\vert -4 )\]

\[y_2=f(x_2)=1^3+5 \cdot 1^2+1-4=3\Rightarrow S_2 (1\vert 3 )\]

\[y_3=f(x_3)=(-1)^3+5 \cdot (-1)^2+(-1)-4=-1\Rightarrow S_3 (-1\vert -1 )\]